Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Вообще заметим, что для /(-рода мультипликативной последо вательности [Kj{c\, Cj)} с характеристическим рядом В(х) = = /C(l-f-x) равенство

K(E) = K(X).K(F(q))

можно доказать методом, использованным при доказательстве тео

ремы 14.3.1,	всякий	раз	когда	р(	П	B(\i	— yt)\	является
				\q>i>	i > \		)
элементом основного поля и не зависит от						С\	cq. Ясно тогда,
что этот элемент равен K(F(q)).				(Мы	используем здесь обозначе
ния из 14.1, п заменено на			q.)
/"„-род, как род в смысле 10.2,				обладает		тем свойством,		что род
произведения	равен	произведению родов				сомножителей		(лемма
10.2.1). Как мы только что видели, для случая расслоения								Е над X
с многообразием флагов			F(q) в	качестве		слоя	Т^-род ведет себя
мультипликативно:

Ту (Е) = Ту (X) Ту (F (q)).

Естественно возникает вопрос:	для каких расслоений Е над X
с данным слоем F имеет место	равенство TV(E) —	Tv(X)Ty(F)}
При этом подразумевается, что Е,	X, F — компактные	почти комп

лексные многообразия и что структура расслоения совместима с почти комплексными структурами. Мы приведем один частный случай, в котором Гн -род ведет себя мультипликативно.

Пусть £— гладкое

GL(<7, С) -расслоение

над компактным

почти

комплексным

многообразием

и L — ассоциированное

с |

главное

расслоение;

Е'

L/GL(1, q — 1; С)

является

ассоциированным

с \

расслоением

над

комплексным

проективным

пространством

Pg _i(C) в качестве слоя

и Е' можно естественным образом

снаб

дить почти комплексной

структурой.

Тогда

Ту(Е')

= Ту(Х)Ту(Рч-,

(С)).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

E =

L/A(q,C)

является

расслоением

над Е' со слоем F(q—1)

(см.

13.1(8)).

Так как Ту ведет себя

мультипликативно, когда

слоем

является

многообразие флагов,

то

Ty(E)

= Ty(X)Ty(F(q))

Ту

(Е) =

{Е') Ту (F (q — 1)).

Далее,

Ту (F (q)) =

Ту

(F (q -

1)) Ту ( Р . - , (С)).

Отсюда

следует,

что

Ty(Ef)

= Ty(X)Ty(Pq-l(Q),

(12)

поскольку

Ty{F(q—

1))

начинается

с 1.

По поводу дальнейших результатов о мультипликативных свой

ствах

Города

см. работу

Б о р е л ь

и Х и р ц е б р у х

[1].

	БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Аналог кольца кобордизмов для почти комплексных многообразий			предложен
М и л н о р о м	[3]. Его можно определить с помошью	понятия слабой	комплекс
ной структуры	( Б о р е л ь и Х и р ц е б р у х [1], часть	III) . Слабая	комплексная

структура на вещественном векторном расслоении g состоит в задании тривиаль ного векторного расслоения а и комплексной структуры на \ © а, т. е. комплекс

ного векторного расслоения ті и изоморфизма	р(ц)	= \| © а	(см. 4.5). Компакт
ное гладкое многообразие X называется слабо	почти комплексным,			если его ка
сательное расслоение R 0 снабжено слабой почти комплексной структурой. В этом
случае р(т)) = д9 © а, и с(г\) называется полным		классом	Чженя	слабо почти
комплексного многообразия X. Слабая комплексная структура индуцирует ориен
тацию в X и определяет целые числа c{ct	...cl	[X], 2(і'і + Ч +		• • • + h) =

=dim X, которые называются числами Чженя для X.

	Определение	слабой	почти	комплексной структуры можно	распространить
на	многообразия	с краем	и с его помощью определить отношение		эквивалентно
сти	V ~ W между слабо		почти	комплексными многообразиями. Классы эквива

лентности образуют кольцо комплексных кобордизмов Г. Изложение этого круга вопросов, непосредственно обобщающееся также и на другие структуры на мно

гообразиях,	дано М и л н о р о м		[4]. Из результатов				С. П. Н о в и к о в а [2] и
М и л н о р а	[3] следует, что V ~ W тогда и только						тогда, когда		V и W имеют
одинаковые числа Чженя. В частности, род Тодда						T(V)		является инвариантом
класса комплексных кобордизмов для V.						Z[ylt		уг, ...],
М и л н о р [3] доказал, что Г изоморфно кольцу									причем изомор
физм Z[(/i,	г/г, ... ] - > Г получается,			если одночлену			уп	сопоставить		компактное
почти комплексное многообразие Yn				с такими	свойствами: У„ имеет					касательное
GL(«, С)-расслоение		G и, в обозначениях из 10.1,
			± 1 ,	если п +	1 не является степенью
s(Yn)=sn(Q)		[¥]••		никакого	простого			числа,
			± q,	если п +	1 является степенью

				простого	числа		q.
На самом деле		в качестве	многообразий У„ всегда можно брать							многообра


зия, получающиеся операциями перехода			к обратному, взятия сумм и произведе
ний из многообразий следующего типа			(см. Х и р ц е б р у х				[6]):	комплексные
проективные	пространства Рг(С), для которых s(P r (C))				=	/• + 1, и гиперповерх
ности Н(Г, j)	степени (1,1)	в P r ( C ) x P i ( C ) ,		г >	1,	t >	1,	для которых
s (Н(Г , t)) = — ^Г ~^ ' j . Таким		образом, в качестве		образующих			Yn	для Г можно

взять линейные комбинации алгебраических многообразий. Многообразия Y2k


порождают	часть без кручения Q в Q (см. библиографические замечания к гл. I I ) .
Из теоремы	20.2.2 следует, что род Тодда			всякого алгебраического		многообразия
является целым		числом;	следовательно, то же верно и для линейной комбина
ции алгебраических многообразий. Поэтому				из приведенного выше результата вы
текает, что Т (X)		является целым числом		для любого компактного почти ком
плексного многообразия X. Аналогично вторая часть теоремы 14.3.2 выполняется
без множителя 2п~г. Это же можно обобщить					на случай виртуальной Г„-харак-
теристики непрерывного GL(q, С)-расслоения \|					над X: виртуальная	7Yхарактери
стика Ту(Ьи		Ьг\,Ц),	где i j e № ( I , Z ) ,	является многочленом		по у с целыми

коэффициентами. Дальнейшие теоремы целочисленности, которые можно вывести из целочисленности рода Тодда, можно найти в частях II и III работы Б о р е л ь и Х и р ц е б р у х [1]. Другой подход к теоремам целочисленности для произволь ных гладких многообразий см. в А т ь я и Х и р ц е б р у х [1, 2] и в приложении 1 (§ 26).

Глава IV

ТЕОРЕМА РИМАНА —РОХА ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

В этой главе V — комплексное n-мерное многообразие. Доказа тельство теоремы Римана-—Роха основано на различных резуль татах о компактных комплексных многообразиях, принадлежащих Картану, Дольбо, Кодаире, Серру и Спенсеру. Эти результаты

собраны в § 15. В двух местах во время доказательства

прихо

дится

делать

дополнительные

предположения

о V: сначала,

что

V — кэлерово

многообразие

(15.6—15.9),

затем,

что

V—алгеб

раическое

многообразие.

§ 15.

Когомологий компактных

комплексных

многообразий

15.1.

Пусть W — комплексно-аналитическое

векторное расслое

ние над V, и пусть Q(W)

— пучок ростков

голоморфных

сечений W

(см.

3.5).

Q(W)

Группы'когомологий

V с коэффициентами

в пучке

рост

ков голоморфных

сечений расслоения W (ср. 3.5) будем для крат

кости

обозначать

через

Hl(V,

W).

Будет

показано,

что

они

равны

нулю

при

І,

большем,

чем

комплексная

размерность

многообра

зия V,

что

для

компактного

многообразия

V они

суть конечно

мерные пространства над С. Изоморфные расслоения W, W

имеют,

очевидно,

изоморфные пучки

сечений Q,(W)

и Q(W)

и дают

изо

морфные группы когомологий. На этом основании изоморфные расслоения будут часто отождествляться.

Тривиальное одномерное расслоение будет обозначаться через 1.

Пучок Q ( l ) — это	пучок ростков голоморфных функций Со. Этот
пучок будет также обозначаться через Q.
H°(V, W) является комплексным		векторным	пространством
всех глобальных	(т. е. определенных на	всем V) голоморфных се
чений расслоения	W. В частности, H°(V,	1) является комплексным
векторным пространством всех определенных на всем V голоморф
ных функций. Если V компактно, то H°(V, 1) имеет			размерность d,
где d — число связных компонент многообразия V.

15.2. Рассмотрим пучок Сш ростков.не обращающихся в нуль голоморфных функций над комплексным многообразием V (см. 2.5). Множество классов изоморфизмов комплексно-аналитических

С*-расслоений над V				образует абелеву группу #'(Y> Си ),						в	ко
торой групповая операция совпадает с тензорным									произведением
(см. 3.7).		D				V задается так называемыми
Дивизор			многообразия							меро
морфными функциями				положения			на V:
Пусть		U = { £ / J I E		/ — -	открытое покрытие			многообразия		V.	Для
каждого	і е	/	пусть	на	£/,•	задана мероморфная			функция	fit	не
равная	тождественно			нулю,		так	чтобы на	11І Г] V) функция			fj/fj
не имела	ни	нулей, ни		полюсов.

Следует еще определить, когда две такие системы мероморфных функций определяют один и тот же дивизор. Это, конечно,

делается	обычным	образом. Дивизоры можно определить также и
с помощью пучков.
Пусть	© — пучок ростков		не равных тождественно	нулю	меро-
морфных	функций	(пучковая	операция — обыкновенное	умножение
ростков);	С(в является подпучком пучка ©. После введения				пучка
$) = ©/С(а получим		точную последовательность
		0^+C»-»>@-*SD-».0.			(1)

Дивизоры — это элементы абелевой группы Н° (V, $)). Мы будем записывать эту группу аддитивно. Сложение двух дивизоров, за данных мероморфными функциями /., f. на одном и том же по крытии \\ = {Ui}{^I, соответствует умножению функций f.f. на Ur Точная последовательность (1) порождает когомологическую точ ную последовательность

в0

Н° (V,

) Я 0

(V,

£>) — > Я 1 (V, С^).

(2)

H°(V, ©)

является

мультипликативной

группой

не

равных

тож

дественно нулю ни на какой

компоненте

связности

мероморфных

функций многообразия V. Мероморфная функция

f є Я ° ( У , ©)

определяет дивизор

(/) — hf,

который называется дивизором

ме-

роморфной

функции.

Два

дивизора

называются

линейно

эквива

лентными,

если

их

разность

является

дивизором

мероморфной

функции

/ е Я ° ( 1 / , ©). Классы

дивизоров

по

отношению

линейной

эквивалентности

образуют

абелеву

группу

H°(V,'£))/hH0(V,®),

которая в силу точности последовательности

(2)

изоморфна

неко

торой подгруппе

группы

Я 1

(V,

Сш ).

Если

D — дивизор,

то

мы

обозначаем через [D] комплексно-

аналитическое

Сщ-расслоение

(6oD)_ 1 - Единственное

точностью

до изоморфизма ассоциированное

с [D]

комплексно-аналитическое

1-мерное расслоение обозначается

через {£)}.

Если дивизор D относительно покрытия

U =

{ L 7 J £ s /

задается

мероморфными

функциями

то [D] задается коциклом

ft, = fi/f„ ft,: UrfU,-* С.

(3)

Дивизор D называется голоморфным, если все функции го ломорфны. Это понятие, естественно, зависит только от самого дивизора D.

З а м е ч а н и е . Часто в литературе голоморфные дивизоры на зываются «неотрицательными», а если по крайней мере одна функ

ция fi

имеет нули, — «положительными».

Мы не

используем

эту

терминологию, так как будем употреблять

слово

«положительный»

в другом смысле

(18.1).

Голоморфный дивизор D называется неособым

дивизором,

если

он относительно

подходящего

покрытия

I I =

{Ui}

может

быть

за

дан функциями fi, удовлетворяющими следующим условиям:

Или

fi =

или в Ui можно ввести локальные

комплексные

координаты

так,

чтобы fi равнялось

одной

из

координат.

Пусть D — неособый дивизор

и dim V —

п.

fi(x)=0,

Множество

всех точек х

многообразия V,

для

которых

x^Ui

по крайней

мере для

одного

(а

значит, и для всех І,,

таких,

что Ї Є ( / І ) ,

является

комплексным

подмногообразием

раз

мерности п—1.

Мы

будем

обозначать это

комплексное подмного

образие тем же символом D в согласии с терминологией п. 4.9.

Пусть D — произвольный дивизор на

заданный функциями

fi.

Рассмотрим

множество L(D)

тех

мероморфных

функций

g на

У,

для которых все функции gfi голоморфны

в Ui. Множество L (D)

зависит, очевидно, только от дивизора. Ясно,

что

L(D)

относи

тельно

сложения

мероморфных

функций

является

комплексным

векторным

пространством.

Теперь может быть сформулирована

П р о б л е м а

Р и м а н а — Р о х а .

Определить

размерность

пространства

L(D).

Т е о р е м а

15.2.1. Для

всякого

дивизора

комплексного

мно

гообразия

комплексные

векторные

пространства

L(D)

HQ(V,{D})

изоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

H°(V,{D})

является

векторным

про

странством глобальных голоморфных сечений одномерного рас

слоения

{£)}.

Дивизор

представим

подходящем

покрытии

ll = {Ui}i^I

функциями

f..

Тогда можно

считать,

что {D} получен

из

\JUiXC

идентификацией « Х & ^ ^ / Х С

и X fi («)/// («) k е

Ut X

(см. (3) и 3.2. а)). Но

сечение

расслоения {D} задается

функциями

(si голоморфна

в Ui),

для

которых

SI~-JJSJ

в и{ П Uj. Сопоставим сечению s глобальную мероморфную функ цию

A ( S ) = | = | - E L ( D ) .

h(s)

принадлежит

L(D),

h является

изоморфизмом

H°(V,{D})

на L(D),

что и требовалось

доказать.

З а м е ч а н и е .

Пусть

| D | — комплексное

проективное

про

странство, ассоциированное

с векторным

пространством

H°(V,{D}).

Оно получается отождествлением а с са,

где а є Я ^ У , {D}),

а Ф О,

с є С ,

с ф 0. Тогда

dim | D | -4- 1 =

d i m H ° ( V , {D}). Из

приведенного

выше

доказательства

следует, что

если

V компактно

и связно,

то

точки

\D\

находятся

во

взаимно

однозначном

соответствии с

го

ломорфными дивизорами, лежащими в том же классе дивизоров, что и D.

Предыдущая теорема мотивирует следующее обобщение про блемы Римана — Роха. Пусть W — комплексно-аналитическое век торное расслоение над V, и пусть H°(V, W) — векторное простран ство голоморфных сечений расслоения W над V, введенное в 15.1.


О б о б щ е н н а я		п р о б л е м а		Р и м а н а	— Р о х а .	Опреде
лить размерность	векторного		пространства		H°(V,W).
15.3а. Пусть	dim V = п,		и пусть	№Т — комплексно-аналитиче

ское векторное расслоение ковариантных касательных р-векторов (см. 4.7). Тогда T — WT есть векторное расслоение ковариантных

касательных векторов, а		Х°Т — тривиальное одномерное		расслое
ние; КпТ	— также одномерное расслоение,		оно называется	канони
ческим	расслоением для	V и обозначается	через К.

Если V обладает мероморфной га-формой (с дивизором Е ) , то одномерное расслоение К ассоциировано с комплексно-аналитиче


ским С*-расслоением [Е], так что К = { £ } .						W над
Для комплексно-аналитического векторного					расслоения	W над
V группы когомологий		Нч( V, W<8)XpT)		будут	обозначаться	также
через HP<4(V,	W). Таким	образом,
	H°'Q(V,		W) = HQ(V,	W).
15.3b. Для	комплексного		векторного	расслоения W над		V мож

но следующим образом построить сопряженное векторное рас слоение W. Предположим, что W получено из непересекающегося

объединения		U f / i X C g	отождествлениями			с помощью		координат
ных преобразований
		gu: Ut(]U.,-*GL(q,				С).
Тогда	W обозначает то		векторное	расслоение, которое				получается
из того же объединения			отождествлением			с помощью
		§ц- ^ n £ / / - > G L ( < 7 , С).
Здесь gц(х)		— это матрица, которая			получается		из ga(x)		сопря
жением всех		коэффициентов.
Если W было комплексно-аналитическим, то							W не		обязано
быть	комплексно-аналитическим,			и	его	следует	понимать как

гладкое расслоение. Как гладкие векторные расслоения W и W антиизоморфны, т. е. существует гладкий гомеоморфизм W на W, который антиизоморфно отображает каждый слой Wx на Wx. При этом под антиизоморфизмом двух векторных пространств А и В понимается взаимно однозначное отображение к пространства А на В, такое, что

%(а + а') — %(а) + к (а'),				% (са) = с ('ла);			а, а ' є	А,	с є С .
В	локальном	представлении в			виде прямого			произведения
UІ X С, антиизоморфизм			к задается		сопряжением.
15.3с. Пусть гладкое векторное расслоение							W над X задано по
отношению к подходящему				покрытию		11 = {Ui}i є /		гладкими ко
ординатными преобразованиями
		fit-	UiftU^GLiq,			С).
Тогда структурную группу можно редуцировать к V(q)									(см. 4.lb),
т. е. существуют гладкие			отображения
такие, что		й«: Ut->GL			(q, С),

	ht{x)ftl{x)hj\x)<=U(q)				для		x^UiOUj.
Положим		gi = h\hi: Ut^GLiq,				С),

где f — транспонирование.						W* задается
Двойственное		векторное		расслоение					координат
ными	преобразованиями

( / " ' ) ' : ^ n ^ - G L f a , С).

Если

точке

из W, имеющей вид и X t в локальном

представлении

в виде

прямого произведения

Ui X С9 ,

сопоставить точку

uXgi{u)

•

то мы получим антиизоморфизм ty: W-*W*.

Мы будем называть -ф

эрмитовым

антиизоморфизмом,

соответствующим

данной

редук

ции структурной группы. Он позволяет

ввести

на

каждом слое

расслоения

W эрмитову метрику,

положительно

определенная

эрмитова форма которой равна \р(а)-а.

Здесь

a^Wx,

элемент

•ф(а)

принадлежит

двойственному

векторному

пространству,

\])(а)-а — значение линейной формы ty(a)

на а. Имеется

соответ

ствующий эрмитов антиизоморфизм

W*—>W.

15.4. В этом

пункте

мы дадим

обзор результатов

Д о л ь б о [1],

[2],

К о д а и р ы

[3], С е р р а [3] относительно групп

когомологий

HP-I(V,W).

Над комплексным многообразием V рассмотрим пучок і ростков гладких форм типа р, q.

Оператор d на дифференциальных формах многообразия V может быть записан в виде суммы

d = д + д,

где д — дифференцирование по переменным z, д — дифференциро вание по переменным Z.

Имеем

дд = дд = дд + аа = 0.

Оператор д отображает всякую форму типа (р, q) в форму типа (p,q-\-\) и индуцирует поэтому гомоморфизм пучков

Ядро гомоморфизма д: $ Р . ° — 1 есть Q(XPT)— пучок ростков голоморфных р-форм. Действительно, для формы типа (р, 0) обра щение в нуль под действием д эквивалентно голоморфности. С по мощью вложения Q(KPT) В 9ІР'0 И гомоморфизмов д получаем следующую последовательность пучков над V:

0-+&(ХРТ)-*%Р-°->%Р-Х-+

. . . ->%"•"-+

. . . .

(4)

Как только что показано, эта последовательность точна в своем

начале. Впервые

доказанная

Г р о т е н д и к о м

«лемма

Пуанкаре»

утверждает, что

вся

последовательность

(4) точна (см. К а р т а н

[4],

Д о л ь б о

[1]).

комплексно-аналитическое

Пусть

теперь

задано

векторное

рас

слоение W над V со слоем Сг . Рассмотрим гладкое векторное рас

слоение

W <8> №Т <8> №Т,

и обозначим пучок ростков гладких се

чений этого

расслоения

через 91P-9(U7). Имеем

(1) =

ЩР- Я.

Сечения

пучка %т>. i(W),

т. е. гладкие'сечения

векторного расслое

ния

W ® №Т

® XT,

называются

гладкими

дифференциальными

формами

(кратко: формами)

типа

(р, q)

с коэффициентами

в W.

Положим

Л Р ,

9 ( Г ) = Г(У, Щ"-'(№))-С-модуль глобальных

форм

типа

(р, q)

с коэффициентами

в W,

Ар' q = Ар' 4(I) — С-модуль обычных глобальных форм типа (р, q).

Локально форма типа (р, q) с коэффициентами в W может рассматриваться относительно локального представления W в виде прямого произведения Ui X Сг как набор г обычных локальных форм типа (p,q). На таком наборе г форм действует д. Так как преобразование от одного локального представления Ui X Сг

к другому Uj X Сг является голоморфным отображением U{ Г] Uj в CL(r, С) и так как д равен нулю на голоморфных функциях, то операция д не зависит от выбора локального представления. По этому д индуцирует гомоморфизм пучков

д: %Р-"(№)->%"•

4 + 1 (W),

'и из точной последовательности (4) следует сразу же, что точна последовательность

0->Q(W ®Xpf)^%P-U(W)-+%P'L{W)^...

-+KP-G(W)-^

. . . .

(6)

Пучок ростков гладких сечений любого векторного расслоения над V является тонким пучком (см. 3.5). Этим показано, что (6) является тонкой резольвентой для пучка Q(WG$>№T), и из тео ремы 2.12.1 вытекает следующая теорема.

	Т е о р е м а		15.4.1		(Дольбо — Серр).		Комплексное		векторное
пространство			HP>I(V,W)		естественным		образом	изоморфно		q-u
группе		когомологий		д-резольвенты		(6), т. е.
			HP'Q{V,		W)^ZP'Q{W)ld{AP-Q-\W)),					(7)
где	ZP'Q(W)		обозначает модуль			тех глобальных		форм	типа	(р, q)
с	коэффициентами			в	W, которые обращаются			в нуль	под	дей
ствием		д.

Из этой теоремы немедленно следует, что группы когомологий HP'4(V,W) равны нулю, если р или q больше, чем комплексная размерность многообразия V.

До конца	этого параграфа		будем	предполагать,	что V	ком
пактно. Пусть	п = dim V.
Рассмотрим двойственное к W векторное расслоение W*. Тогда
естественным	образом	для	a^AP^(W),	$^AR~S(W*)	можно
определить произведение а Л р, которое				лежит в ЛР+г> e+s (l).		Для
W — 1 речь идет об обычном внешнем произведении форм. Это
произведение обладает		свойствами

д (а Л Р) = да	Л Р +	( - 1 ) Р + "	а Л ар,
а Д Р ^ - і Г ^ Р Л а .
Для г = п — р и s = n—-q	имеем	а Л р є	Ап>"(1)
интеграл
і (а,	р) = J	а Л Р.

( 8 )

и определен

Если

— ду,

y<=AP'i-l(W)

и если,

далее,

<Эр =

то

из

(8)

теоремы

Стокса следует,

что

i(a, р ) = J

d ( Y Л Р) =

J d ( Y A 8 ) = 0.

Аналогично

i(a, В) = 0

для

$ = ду,

у є АП~Р'

«-«Н

Билинейная форма і индуцирует поэтому в силу

(7)

спарива

ние

HP'i(V,W)

И #"-*>."-«(У, W*)

со

значениями

в С. Таким

об

разом,

для

а<= HP-V(V,W)

И ^ ^ "

- « ( У ,

№*)

определено

чис

ло

i(a,b),

которое

зависит

только

от

а и

i(a,b)

линейно

по

по Ь.

Кодаира

распространил

теорию

гармонических

форм на формы

с коэффициентами в W. Введем в

W произвольную

(фиксирован

ную) эрмитову метрику. Этим (15.3с) индуцируется

изоморфизм

Т^Т*.

Этот

изоморфизм

теорема 3.6.1

дают изоморфизмы

ХРТ<%№^

ХРТ ® ХПТ* ® ХПТ ® Я ' Г а*

г* Г _ Р Г ® Я , Я " ' Г == А , П ~ ' Г ® Я " ~ Р Г .

В результате получается

оператор

двойственности

*: ХРТ ® XqY->XN-QT

® Я / ^ Г -

Изоморфизм

** расслоения Я*>Х ® А,«Т на себя

есть умножение

на

(—1)Р+Я.

Редуцируем

теперь структурную

группу

векторного

расслоения

W к унитарной группе, и получим тем самым эрмитовы антиизо

морфизмы

(ср. 15.3с)

Пусть

х — сопряжение,

являющееся

антиизоморфизмом ХТТ ® XST

на

Х8Т®)7Т.

Положим

= г|)®(х*)

и #

-ф—1

® (и *),

полу

чим

антиизоморфизмы

W ® Л Т ® JJT -* W

® Г ~ Р Г ® ХП~"Т,

# :

Г *

® A T

Л^Г ->

Я г е - г

Г ®

Л " ~ * Г .

Для

г = п — р

s = n — q изоморфизм

# #

есть

умножение

на

( - 1)"+' .

#и # индуцируют антиизоморфизмы соответствующих пучков

#: %р-4(W)-*%n~p'n~q(W*), #: %r-s(W')-+%n-r-n-s(W).

Так как расслоения W и W* комплексно-аналитические, то имеем гомоморфизмы пучков

д: %p'q{W)-+%p-q+x(W),

д: Яг-s (W*) - > s + 1 ( I T ) .

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ