книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

формы

называется

индексом

многообразия

MAh и

обозначается

через x(Mih). Для многообразия,

размерность

которого не делится

на 4, полагаем

х(М)

равным

нулю. Функция

т обладает

перечис­

ленными в 7.3 свойствами. Именно, имеет место

Т е о р е м а

8.2.1.

Справедливы

следующие

утверждения:

I) х (Vя + Wn) = х (Vя) + х (Wn), х (- Vn) = - т (Vя),

II)

т (У" X W"1) = х (Vn) • х (Wm),

III)

г (Уя ) =

0, если

У " - к р а й .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

I)

Следует из определений

для

Vn-\-Wn

2k

H2k(ЛЛ

R)^2ffs (Vя , R) ® H2k~s(wm,

R).

(1)

Элементы x,y^H2k(Mik,

R) называются

ортогональными,

если

хг/|.M4 f t ] = 0. Выберем

базис

{yfj (соотв.

{ayj} в группе

Я 5 (F", R)

(соотв. Hl{Wm,

R)),

такой,

что

ufoj?- s

=

6f /

для

s ^

у и

wjwm-t

— ^

д л я

^

.

Рассмотрим

группу

Л =

Я 2

(Vn,

R) ® Я 2

( Г т , R),

полагая,

Л =

0, если

пит

нечетны.

Группа А ортогональна группе В, где £ получается из суммы (1)

выкидыванием всех

слагаемых,

входящих в А В группе В возь­

мем

в качестве

базиса

{uf ® w2k~s^

(о ^

s ^

п, s Ф

. Тогда

(Vs. ® да2*-5) (w?: ® wf~s')

[Mik]\

=

Г ± 1 , если

s +

s' =

tt, і — і',

\=Y,

n

в противном случае.

v «

/

A

«

/

'.

{ 0,

Отсюда

легко видеть,

что билинейная

форма

xy[Mih),

ограничен­

ная

на В, в приведенном выше базисе

при подходящем

упорядочи­

диагонали идут блоки

+ ( j

о ) ' а в с е

о с т а л ь н ы е элементы равны

нулю. Следовательно,

индекс

нашей

формы, ограниченной

на В,

равен 0. Так как Л и В ортогональны и их сумма равна H2h(Mih,

R),

то отсюда следует, что х (Mik)

= г (А),

где т(Л) — индекс нашей би­

где {Lj} есть /п-последовательность

многочленов,

соответствующая

степенному

ряду

Y~z

— T F = - •

Таблица

thy z

многочленов

Lj

приведена

в п. 1.5.

нескольких первых

З а м е ч а н и е .

Согласно замечанию в конце

п. 7.3, при доказа­

тельстве утверждения

I I теоремы

8.2.1 можно

было бы

ограни­

читься доказательством того, что индекс произведения

Р 2 / ] ( С ) Х - -

• • • X Рг/г (С)

равен 1.

§

9. Виртуальный индекс

9.1. Пусть Мп — компактное

ориентированное гладкое

многооб­

разие

и /: Vn~k~*Mn

— вложение

компактного

ориентированного

гладкого подмногообразия Vn~k

в

Мп.

к Vn~h, Мп

Если R0(V'r i "f t ), R 0(M") — касательные расслоения

со­

ответственно и v — нормальное

расслоение к

Vn~h

в Мп, то по 4.8

/ • • Є ( Л * я ) = 1 1 Є ( У ' , - * ) © у .

Пусть p(Vn~h),

р(Мп)

— полные

классы Понтрягина для Vn~h,

Мп.

Тогда

по 4.5, I I ) , I I I )

имеем

\*р (Мп) = р (vn~k) р (v)

по модулю

кручения.

(1)

Заметим,

что в коммутативном

кольце четномерных

когомоло­

гий всякий элемент, 0-мерная компонента которого равна

1, обла­

дает

обратным

(относительно

умножения).

Так

что, например,

слоения v к Vn~k,

то с помощью формулы

(1) можно найти

классы

Понтрягина

для Vn~h.

Если k =

1, то нормальное расслоение три­

виально и классы Понтрягина для Vn~k

равнц i*pi(Mn)

(ср. соот­

ветствующее рассуждение при доказательстве теоремы 7.2.1).

9.2. Для приложений

наиболее

важен

случай

k = 2. Пусть, как

и в 9.1, /: Vn~2 -> Мп

— вложение,

и пусть

v(=H2(Mn,

Z) —

класс

когомологий, соответствующий

классу

гомологии,

реализован­

ному

подмногообразием

Vn~2. Полный класс Понтрягина нормаль­

ного

расслоения

к У " - 2

равен

p(v) =

/*(l

-4- v2)

(теорема

4.8.1),

поэтому из формулы (1) получим

p(vn-2) = rl(i

+

vrlp(Mn)}.

Пусть {Lj(pu

...,pj)}

есть «-последовательность, соответствующая

степенному

ряду

Vz

у=г\ по определению

«-последовательности

(1.2)

имеем

thy z

...,Pl(vn)«У'

%Lt(Pl(vn~\

Y 2 L < b i ( м п ) ,

...,Pt(Mn)

(=0

L

<=o

для М 4 А + 2

за исключением р0

= 1 равны 0, то

x(alxi

+ а2х2

+

. . . +

a2k+ix2k+\)

—

=

и«+ 2

[th (a^j

+ . . .

+a 2 ft+ix 2 & + 1 ) ]

=

=

-

W

T r

^ + 2 ^

+

•••

+ a 2 * + , W 2

f e

+

, ]

=

=

0,02 • • •

a 2 f e + ith ( 2 f t + 1 ) (0) .

Тем самым мы доказали, что индекс компактного

ориентированного

гладкого многообразия Vik,

которое

можно

вложить в

произведе­

ние (2k + 1)-двумерных ориентированных сфер S2 так,

чтобы

ин­

декс пересечения с каждым сомножителем равнялся

1, равен

зна­

чению

(2kJr\)-u

производной

функции th(x)

в

точке

0. По

при­

веденной

в

9.3

теореме Тома такое

многообразие

V4h

существует

для любого

k.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Все

результаты о кобордизмах, использованные в этой главе,

принадлежат

Т о м у

[1], [2]. Правда, у него несколько иные предположения гладкости, однако

можно

показать/ что все

его результаты (в

частности,

теорема 7.2.2) остаются

лекциях

М и л н о р

а [9].

оо

Том определил

также кольцо неориентированных кобордизмов 9Ї = ^

5^"

Здесь

Щп

№=0

представляет собой группу компактных неориентированных

глад­

лентности: Vn ~

2wn,

если

Vn +

W" является

краем компактного

неориентиро­

ванного многообразия

Хп+1.

По классам Штифеля — Уитни

аи,- є Н' (Vn, Z2) опре­

деляются

числа

Штифеля — Уитни w^w^

...

Wj

є

Zj. Том

доказал,

что

Vn ~ 2Wn

тогда

и только тогда,

когда Vй

и Wn

имеют

одинаковые

числа Шти­

феля— Уитни, и

что

У1 является

кольцом

многочленов

Z2[X2, *4 , х5,

хв, хе, х9 >

...]

над

Z2 с одной образующей xt

для каждого

і ф

2Г — 1. Кроме того, он показал,

что

в качестве четномерных образующих х2п

можно взять

вещественные проек­

тивные пространства

P2n(R) ( Т о м

[2]). Явное

построение

других

образующих

для

было дано Д о л ь д о м

[1] (см. также

М и л н о р [7]).

Теперь полностью известна

структура колец Q и Q, определенных в 6.2. М и л ­

н о р

[3] доказал следующий, более точный вариант теоремы 6.4.3: П изоморфно

градуированному

кольцу Z [ г ь

г2 , . . . ] , причем изоморфизмом служит отображе­

ние, сопоставляющее

одночлену

г, компактное ориентированное гладкое много­

образие Vі',

такое, что

.і,

{

±1>

если 2 / +

1 не

является

степенью

простого

числа;

s (Vі1)

= \

[

±q,

если 2/ -)- I есть степень

простого

числа q.

Группу Я4 * можно представить в виде прямой суммы

где

Т> •— подгруппа

элементов

конечного порядка в Q'

(и

Т' =

если / Ф О

и явно построил образующие для

Qik.

После

этого

У о л л

[1]

доказал,

что

Т'

не содержит элементов порядка 4 и нашел полную систему образующих

для

Q.

Из

его

результатов следует,

что

Vn

~

Wn

тогда

и только тогда,

когда Vn

и

Wn

имеют

одинаковые

числа

Понтрягина

и Штифеля — Уитни. Относительно

даль­

нейшего развития

теории

кобордизмов

см. А т ь я

[4], К о н н е р

и Ф л о й д

[1],

М и л н о р

[4], У о л л

[2]1 ).

Из

теоремы об индексе

8.2.2

следуют

различные

факты о

поведении

индекса

ориентированного

гладкого

многообразия V. Например, пусть /:

W - > V

— глад­

кое покрытие степени п. Тогда pi(W)

— f*pi(V),

и из теоремы об

индексе

выте­

кает, что

%(W) =

nx(V).

Остается

ли

верным этот результат, если V и

W — то­

пологические многообразия

(не гладкие) ?

Пусть Е, В, F — компактные связные ориентированные

многообразия

(необя­

зательно

гладкие),

и

пусть

Е->В

расслоение

со

слоем

F,

для

которого

фун­

даментальная группа

Яі(В)

действует тривиально на кольце когомологий

H*(F,

R).

Тогда имеется

прямое

топологическое

доказательство

того,

что

х(Е)

=

=

X(B)T(F)

(см. Ч ж єн

ь,

X и р ц е б р у х

и С е р р

[1]).

') Более поздние

результаты

по теории кобордизмов см.,

например, в обзо­

рах С т о н г а [ 1 ] и Б

р ё к е р а

и Т о м а Д и к а [I]. — Прим.

перев.

В этой главе Мп

будет компактным

гладким (класса

С°°) почти

комплексным

многообразием.

Касательное

GL(ra, С)-расслоение

к Мп

(см. 4.6)

будет обозначаться через 0(М„). Мы будем иссле­

довать

«род»,

ассоциированный

с мультипликативной

последова­

тельностью {Tj(c\,

Cj)}, определенной в 1.7, а также «обоб­

щенные роды»,

ассоциированные

с

«-последовательностью

{Т}(у\

с и

С))}

из

1.8.

непрерывное

GL(q, С)-расслоение

над

X

с

классами

Чженя

СІ е H2I(X,

Z).

Полный класс Тодда

для

|

по

определению

равен

t d d ^ i r ^ c , ,

с,),

(1)

/-о

где {Tj{cx,

С/)}—«-последовательность из 1.7.

Если £' — непре­

рывное

G L ^ ' , С)-расслоение

над

А',

то по

1.2 классы Тодда

удовлетворяют равенству.

t d ( g © £ ' )

= td(6)td(&').

(2)

Если ?

= 1

и С! (|) = d є Я 2

(X, Z),

то

td

(&)•=•

t d ( i ) = n

v<

Аналогично определяется (полный)

характер

Чженя для | , а именно:

c h ( | ) = i e v ' .

(3)

По 4.4.3

характер

Чженя

удовлетворяет равенствам

c h ( | 0

| ' ) =

сЬ.(|) + сп(Г),

ch (g <S> g') =

ch (g) ch (g')-

( 4 )

Если

q=\

и с, (I) = d є Я 2 (X, Z), то ch (g) =

ed . В общем

случае

оо

ch (&) =

</ +

S c h f c ( i ) ,

где

сп,(£) = ^ - є Я 2 * ( Х ,

Z ) O Q и sk

= ^

у?,

Симметрические

функции

sfe

и

с,- связаны

между собой

форму­

лами

Ньютона (ср. 1.4(10))

s f e - c 1 Sfc _ ,+

.... +(—l)*cf c fc

=

0,

Т е о р е м а 10.1.1. Пусть £ —

непрерывное CL(q, С)-расслоение

над допустимым пространством

X. Тогда

г =0

q

q

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если 2

с, (|) х-' = П (1 + Y;*)> то по 4.4.3

/=0

1=1

c h A T = S r ( Y ' - + - + 4

где

суммирование

ведется

по

всем

комбинациям

ix

ir

с

1 ^

г, < . . .

< ir^q.

Следовательно,

2 ( - i ) ' c h n * = n o - e - v o =

r=0

i= l

— (Yi • • • Y„) П 1 ^ Т ~ ' = ( t

d

С<

10.2. Пусть

Мп

— почти

комплексное

многообразие

(4.6). Оно

естественным

образом

ориентировано.

Если

« є Я * ( М „ )

и

и<2">

есть

2п-мерная

компонента

для

и, то

мы будем писать у,п(и)

=

=

и(2«) [Мп]. Пусть с, ^

Я2 г ' (Мп,

Z) —

классы

Чженя

для

9 ( М п ) ,

Всякое

произведение

CjCj

...Cj

веса ra =

/ i + . . .

+

j r

опреде­

ляет

целое

число

с/

Cj2 ...

Cj

[Мп].

Всего

существует я (ft)

таких

чисел, где я (ft) —

число

разбиений

числа п. Они называются

чис­

лами

Чженя для

Мп.

Например,

по теореме

4.10.1

число

Чженя

сп [Мп] совпадает с эйлеровой характеристикой для

Мп.

Рассмот­

рим

кольцо '23 =

В [си

с2 , . . . ] из 1.1

(см. также

1.3).

Как и

в 5.1,

всякий

элемент

b є= 23n

определяет

некоторый

элемент

£>[УИП]ЄЕ В.

Произведение

Vn

X W m

Двух почти

комплексных

многообразий

естественным образом снова почти комплексно. Пусть

/ — проек­

ция

Vп X W1 m

на

Vn,

a

g — проекция

на

Wm.

Касательное

GL(« -f- m, С)-расслоение

произведения

совпадает с суммой

Уитни

П Є ( У п ) ) Є б * ( Є ( № т ) ) . Как и в 5.2,

верна

Л е м м а

10.2.1. Пусть

{/(,•( Сі,

с,)}— некоторая

ш-последо-

вательность

(см. 1.2,

1.3;

/CJGE23; ).

Тогда

Кп+ш Wn

X Wm] = Кп [Vn] • КТ

[WM\.

Kn[Mn]

будем

называть

К-родом для Мп.

Рассмотрим

т-последовательности

(Г/(с,,

Cj)}, {Tj(y;

Cj,

Cj)},

определенные

в

1.7,

1.8

и

соответствующие

степенным

рядам

Q(*) =

-;

—.

г- и Q{y; х)=>-.

+ )>

—ху.

^ v

'

1 — е х р ( — л )

^ V i "

•*

1 — ехр (— X ( # +

1))

3