книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

R6 (Vn

X Wm) = fR9 (Vn) 0 gp

(Wm),

где /: Г

Х Г

- >

Г

и

g: Vа

X Wm->Wm

-

проекции, a R9(Kn ) —

касательное

GL(rc,

Я)-расслоение

к У" (см.. 4.6).

Мы

обозначим через pt классы

Понтрягина для Vй через

р'{ —

классы

для

Wm

и

через

pi—классы

Понтрягина

для

V " X

Wm.

Тогда

в

целочисленном

кольце

когомологий

произведения

(по

модулю

кручения)

имеет

место

следующее равенство

(см.

4.5):

1+РЇ

+

РЇ+

.. • = Г ( 1 + Р 1

+ Р 2

+ . . . ) £ * ( 1 + ^

+

Р 2 + - - - )

(1)

Вводя

переменную

z,

можно

переписать

(1)

в

виде „много­

членного

уравнения"

со

оо

со

2

PbZk

= 2 Ї*(Pt)z'

2

g*(Р^)2;

по

модулю

кручения.

(2)

Кроме

того,

имеет

место

равенство

(Г (*) g* (У)) Wn

X Щ

=

х [Vn]

• у [Wm]

(3)

для всех

х є= Я " (7 я ,

Z) ® 5

и j / є Я т

(1Гт ,

Z) ® В.

Пусть

теперь

V4 f t

и

Wir

— ориентированные

многообразия

раз­

ного

произведения V4k X Wir можно выразить с помощью уравне­

ний

(2) и (3) через числа Понтрягина сомножителей.

ных последовательностей из § 1.

Л е м м а 5.2.1. Пусть

{Kj(pu

.. •, pj)}

— некоторая

m-последова-

тельность (см. 1.2), К, є

333-. Тогда

Kk+r[Vik

X

= Kk [Vik]

• Kr

Wir\.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из равенства

(2)

и из 1.2(3), (4), Сле­

^

* * н Ж . • • - p'Ur)=r{Kk{PvPk))•

g(Kr(P[>

• • •> К))-

Для /(-рода некоторой

m-последовательности {Kj{p\,

Pj)}

имеем

K(Vn+

Wn)

= К (Vа) + К (Wn),

(I*)

K(-Vn)

= -K(Vn).

(2*)

6.2. Мы введем теперь для ориентированных «-мерных много­

образий следующее отношение эквивалентности: Vй «

Wn

будет

означать, что соответствующие числа Понтрягина для

Vn

и Wn

совпадают. Для n ^ 0 m o d 4

все n-мерные многообразия

образуют

ных многообразий превращается в аддитивную

группу

Qn.

Группа

йп

при

n ^ 0 ( m o d 4 )

состоит

из нулевого

элемента.

Обозначим

прямую

сумму всех

групп

йп

через

Q, так

что

всякий

элемент

оо

а є й

однозначно записывается

в виде

а =

^

ап,

где

a „ e f i " и

ап

=

0 для достаточно больших

п. Имеем

оо

оо

Q =

2

Q" =

V

Q4ft_

(3)

№ c f i n + m .

(4)

Разложение в прямую сумму (3) определяет

на

Q градуиров­

ку, и имеет

место

Л е м м а

6.2.1.

Q

является

коммутативным

градуированным

кольцом

без

кручения.

6.3.

Для

классов

Понтрягина

pi(VAh)

можно

формально

напи­

сать (в смысле

п.

4.4)

k

Piz1 +

p2z2 + . . .

+ P k z k

1 +

=

П

(1 +

Р » .

(5)

Мы определим целое число s(V4h)

для

ориентированного

мно­

гообразия Vih

с

классами Понтрягина Pi(V4h)

при

помощи ра­

венства

s(V4 f t ) = (P? + P*+ . . .

+РІ)[У 4 *] .

О п р е д е л е н и е .

Последовательность

{Vik},

k — 0,

1

ориентированных

многообразий

называется

базисной

последова­

тельностью,

если s(V 4 f t )^=0 для

всех k.

Т е о р е м а

6.3.1.

Пусть

{V4k}

— некоторая

базисная

последова­

тельность ориентированных

многообразий. Далее,

пусть

В — ком­

мутативное

кольцо,

содержащее

поле

рациональных

чисел.

Тогда

для

любой

последовательности

а^

элементов

из

В

существует, и

только одна, ш-последовательность

{К,(р\,

/?,)} (с

коэффи­

циентами

из В,

см. 1.2), такая,

что соответствующий

К-род

прини­

мает на

V4k

значения

ah.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

каждой

m-последовательности

одно­

значно соответствует

степенной ряд

Q(г) = 1

+ 6,2 +

^ 2 2 4 . . . .

с коэффициентами

из В.

Нам надо показать, что существует в точности один степенной

ряд

Q(z),

такой, что для любого многообразия

V4h

из нашей по­

следовательности,

классы

Понтрягина

которого

записаны в

виде

(5), выполняется равенство

ft

где

Kk — это коэффициент

при

zk

в

I l Q ( M ) -

Это

равенство

имеет вид

«•=1

Й£ =

s ( V 4 f

t ) + многочлен от b\, Ь2,

bk-x

веса

k.

(6к)

З а м е ч а н и е .

Предыдущее

доказательство

показывает,

что

верно и

обратное:

если

для

некоторой

последовательности

{Vik}

ориентированных

многообразий

выполняется

заключение

теоремы

6.3.1, то {V4k}

образует

базисную

последовательность.

Т е о р е м а

6.3.2.

Комплексные

проективные

пространства

Ргь(С)

комплексной

размерности

2k образуют базисную

последо­

вательность,

а

именно

s(P2 f t (C)) =

2 * + 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

h — образующий

элемент

в

#2 (P2 ft(C), Z) .

Тогда

класс

Понтрягина

для

Р2ь(С)

равен

( l + / i 2 ) 2 h + 1

(см. теорему

4.10.2)

и

m-последовательность,

принад­

лежащая

степенному

ряду

1 +

zk, определяет «род»

(см. 5.2),

который на любом Vik

принимает

значение

s(V4k),

а

на

Ргл(С)

принимает, следовательно, значения 2k + \.

6.4. Мы

определим

в

этом

пункте

структуру

кольца

Q ® Q.

Всякое

ориентированное

многообразие

V4k определяет

элемент

из

Q4 f t <8> Q, который

мы обозначим

через (V4h).

По определению

тен­

зорного

произведения

всякий

элемент из Q4k

®Q

можно записать

Т е о р е м а

6.4.1.

Пусть

{У4*} — некоторая

базисная

последова­

тельность

ориентированных

многообразий.

Для

любого

разбиения

(/) = (/ь

/2> ...,

j r )

числа

k обозначим через

VU)

ориентированное

произведение

vu)=v4l>xv4l*x

. . .

XV4'r.

Тогда всякий

элемент

а

из

Q4 f t <8> Q однозначно

представим

в

виде

о =

И'*(/)(^ш),

f | / | S Q .

(7)

где сумма

распространена

наг все

разбиения

(/)

числа

k.

Далее,

для

любой

системы

рациональных

чисел а ( Л существует

элемент

а ЄЕ Q4 f e

<8> Q, числа

Понтрягина

которого

совпадают

с ау>.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

элементарным

теоремам

о

системах

линейных

уравнений

достаточно доказать, что соотношение

2>rU)(vU))

=

o

(суммирование

по всем

разбиениям

числа k) влечет

= 0.

Пусть

S г (/) (V(n) —

0-

Пусть

qu

q2, ...

— последовательность

перемен-

(/.)

числа

t ^

0

рассмот­

ных. Для любого целого неотрицательного

рим ту /n-последовательность, которая на

У4 Й

принимает

значе­

ние q\

(теорема

6.3.1). Имеем

(8)

При этом

обозначает

произведение

qs

qr ...

qf . Так как

q(j)

попарно различны, то из (8) следует, что все

равны

нулю

(определитель Вандермонда), что и требовалось

доказать.

Мы

приведем еще следующее

дополнение к

теореме

6.4.1.

Т е о р е м а

6.4.2.

Для

любой

последовательности

{V4h}

много­

образий

имеют место следующие

утверждения:

I) Из соотношения

(7)

следует, что

s(a)

= rhs(V").

(7*)

II)

Если

для

всех

k

любой

элемент

а из

U4h

<8> Q

представим

в виде

(7), то {Vі1} — базисная

последовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

I)

Пусть

{Kj} — m-последовательность,

принадлежащая

степенному

ряду

1 +

zk-

Эта

т-последователь-

ность

принимает

на

всех

элементах

а с= &4h

<8> Q значение

s(a),

а на всех элементах

из

Q4J j8> Q с

1 ^

/ <

k

значение

0. Отсюда

следует

(7*).

II)

Если бы s(V4h)

=

0 для некоторого k,

то s(a)

равнялось бы

нулю

на всех

элементах

из

а є Q4 f t

® Q,

что

неверно,

так

как

s(P2 f e (C)) =

2k +

1 (см. теорему

6.3.2).

Из теорем 6.3.2 и 6.4.1 вытекает

непосредственно

Т е о р е м а

6.4.3.

Градуированное

кольцо,

Q <S> Q

изоморфно

градуированному

кольцу

Q[zi, z2 ,

...]

многочленов

от переменных z%

с рациональными

коэффициентами.

Изоморфизм

сохраняет

гра­

дуировку,

т. е.

изоморфизм

отображает Q4 f t

® Q на

полиномы

от

Zi веса

k. Для

произвольной

последовательности

элементов

а,- <=

6 Й 4 '

с

s (а,-) ф

0, / =

1,

2,

отображение

а,-—*гг- индуцирует

изоморфизм

Q ® Q на

Q [ z b г2 ,

. . . ] ,

и

всякий

изоморфизм

Q <S) Q

на Q [zi,

z2 ,

. . . ] может быть так

получен.

З а м е ч а н и е .

Из

теоремы

6.4.1

следует,

в частности,

что для

образия

V4k.

В

п.

5.2 мы

уже указывали

на то,

что

не всякая

система

ci(j) Может

служить

системой чисел Понтрягина для неко­

торого

V4h.

Естественно теперь поставить вопрос: каково наимень­

шее целое

положительное

число

Nh,

такое, что

всякая

система

NhU(j), где

— целые, является

системой

чисел

Понтрягина для

некоторого

V4k}

Из работы М и л н о р а [3] следует,

что число Nh

равно знаменателю (x(Lf t )

многочлена

L k

(см. лемму

1.5.2).

6.5. В этом пункте мы

рассмотрим

кольцевые

гомоморфизмы

кольца

Q® Q в поле рациональных чисел Q. Пусть {Kj(pu

... Pj)}—

№

c

Q

" +

m

и

сф =

( - 1 Г >

для

a e Q ^ J e Q ™

(1)

Для приложений, которые мы имеем в

виду, не

обязательно

знать точную структуру кольца Q. Достаточно знать результаты

Тома об

Q ® Q,

которые

мы

и

опишем

в

следующем

пункте.

7.2. Мы хотим построить изоморфизм

Q ® Q — > Q ® Q

между

кольцом кобордизмов «по модулю кручения» и кольцом

& ® Q,

определенным в § 6. Первым шагом будет следующая

теорема

Понтрягина [2].

Т е о р е м а

7.2.1.

Числа

Понтрягина

многообразия

Vй,

являю­

щегося краем,

равны

нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Числа

Понтрягина

равны нулю

по

опре­

делению,

если размерность

многообразия

не делится

на

4.

Пусть

Vkh

является

ориентированным краем многообразия с краем

Xik+l,

и пусть

/ — отображение

вложения

V4k

в

X4h+\

Классы

Понтря­

гина

касательного расслоения

ф(Х1к+і)

к Х 4 Й + 1

обозначим

через

Рі є

# 4 І

(Х4 & +4 , Z).

Следует

обратить

внимание

на

то,

и

что

это

расслоение определено также и над точками края V4h

что

его

ограничение

на

край

является

суммой

Уитни

двух

расслоений,

а именно касательного расслоения к Vth

и

нормального

расслое­

ния

к V4h

в

Х4к+К

Последнее

расслоение,

очевидно,

тривиально.

Поэтому

по 4.5

I I I классы

Понтрягина

для

V4h

совпадают

с

j*p{.

Всякое число

Понтрягина

для

Vth

совпадает

со значением

4/г-мер-

ного

коцикла

в H4h(X4h+l,

Z)

на

цикле

Vik,

который

гомологичен

нулю, и поэтому равно нулю.

Теорема Понтрягина утверждает, что кобордантность влечет

отношение

эквивалентности

определенное в

6.2.

Поэтому

мы

получаем естественный кольцевой эпиморфизм Q на Q, который

индуцирует кольцевой

эпиморфизм

q>: Q ® Q->Q

® Q.

(2)

Т е о р е м а

7.2.2

( Т о м

[2]).

Группы

Qn

конечны

при

і ф 0(mod4). Группа

Q4k

является

прямой

суммой.

n(k)

(число

разбиений числа

k)

групп

Z

и некоторой конечной

группы.

стоит

из двух частей.

I)

Показывается,

что группа

изоморфна

гомотопической

группе nh+i(M(SO{k))),

i<k,

где

М(SO(k))—

некоторый комп­

лекс,

I I )

Гомотопическая группа яи+іМ ( S O ( & ) )

вычисляется

по

мо­

дулю конечных групп с помощью С-теории Серра. В части I

используются теоремы деформации и изотопии. Пусть B(SO(k))

—

классифицирующее пространство

для группы

S O (k)

(см. библио­

графические замечания к гл. I ) . Рассмотрим

расслоение

A(SO(k))

над B(SO(k)),

ассоциированное

с универсальным

расслоением,

слоем

которого

является единичный шар

Dh =

{(х\,

Хи)\

2

в Rs . Пусть M(SQ(k)) — комплекс, полученный стяги-

t=i

J

физм

ni+h(M(SO(k))).

Пусть Vі — ориентированное

гладкое

многообразие. Так как

i<.k,

то

имеется вложение Vі в

(k-\-i)-

мерную

сферу

Si+k.

С помощью соображений изотопии

можно по­

казать,

что

два таких

вложения

имеют

изоморфные

нормальные

расслоения,

и,

следовательно,

существует

отображение

/: N ->

- » - y 4 ( S O ( f t ) ) трубчатой

окрестности N для

Vі в Si+k, которое ото­

бражает

Vі

в

нулевое сечение

в

A(SO(k))

И границу

ON для Лг

в границу

для

A(SO(k)),

Рассмотрим

теперь составное

отобра­

жение

s' + f e - >

: ! ! + f e

= — - >

A ( s o m

= ^ ( s o ( * » .

S t + k - N

dN

dA(SO(k))

Это отображение

определяет элемент из

Tii+h(M(SO(k))),

который

образия

Vі.

С помощью деформаций можно показать, что гомо­

морфизм

I I

*Пі+и(М(SO(k))),

i<.k, является изоморфизмом.

Часть

основана на вычислении групп когомологий для

M(SO(k))

и

использует свойства комплексов Эйленберга — Мак-

лейна

и

алгебру Стинрода.

Явные

результаты

для

і <17

таковы:

Q° = Z, Q' = Q2 = Q3=

0 i

Q4=

Z (

Q5=

z2 , & = & =

Из теоремы 7.2.2 и формальных результатов §

6 следует те­

перь

непосредственно

Т е о р е м а

7.2.3 ( Т о м

[2]). Гомоморфизм

(2)

qp:Q(g>Q->Q<g>Q

является

изоморфизмом.

Таким

образом,

структура

алгебры

О, <8> Q дается

теоремой

6.4.3.

Два

ориентированных

многообразия

VAh

и

Wik имеют одинаковые

числа

Понтрягина тогда и

только

тогда,

когда

некоторое

целочисленное

кратное

многообразия

V 4 S

+ (—W4 h )

является

краем.

7.3.

Пусть задана

функция

гр,

которая

сопоставляет

каждому

ориентированному

компактному

дифференцируемому

многообра­

зию рациональное

число, не

равна

тождественно

нулю и

обладает

свойствами

I)

гр (Vn

+ Wn)

— гр (Vа)

+ гр (W% гр ( -

Vn) =

- гр (У"),

II)

гр (Кя

X Wn) =

гр (У") • гр ( Г п ) ,

III) гр(1/п) = 0, если

Vn является

краем.

Тогда гр(Уп ) равно нулю на

всех

ориентированных

многообра­

зиях,

размерность

которых

не

делится

на

4,

и

существует одна

и только одна пг-последовательность

{Kj(pi,

pj)}

с рациональ­

ными

коэффициентами

такая,

что для

всякого

ориентированного

многообразия Vih

имеем

^(V^)

= Kk(p{,

pk)[V*k},

т. е. гр совпадает

с К-родом

для

последовательности

{Kj}.

Согласно § 1, m-последовательность {К,} соответствует некото­

рому

степенному

ряду

Q(z)

=

1 + b\z

+ b2z2

+

. . . .

Коэффициен­

ность Ргй(С)

комплексных

проективных

пространств размерности

2k

(теорема

6.3.2).

З а м е ч а н и е .

Свойство

II) следует

из свойств

I ) ,

I I I ) и сле­

дующего частного случая

II'*) свойства I I ) :

II*) Существует по крайней мере одна базисная

последователь­

ность {Vih},

такая,

что

для любого произведения

многообразий

V4h

имеем

гр (1/4/> X Vі1*

X . . .

X

Vі1 г) = гр (F4/0

гр (V^) ...

гр

(Vі'')

ственных значений для Q(x,y).

Разность р+ — р~ называется

индексом Q (х, у).

8.2. Как известно, каждому

компактному

ориентированному

4&-мерному многообразию Mik можно следующим

образом сопоста­

бых элементов х,

y^H2k(Mik,R)

берем их w-произведение

ху и

по нему находим

вещественное число xy[Mik]

(см.

5.1).

Билинейная форма xy[Mih]

определена на

вещественном

век­

торном пространстве H2h(Mih,

R) и является

топологическим

ин­

вариантом ориентированного

многообразия

М 4 \

Индекс

этой