книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

О п р е д е л е н и е .

Классами

Чженя с,- (X) єн Н2І

(X, Z)

комп­

лексного многообразия

X

называются классы Чженя

касательного

расслоения в к X. Если X рассматривать как гладкое

многообра­

зие, то над X определено

векторное расслоение R£C СО слоем

Сгя

(см. 4.6). Имеются гладкие изоморфизмы

2- © 2>

(И)

Г 0 Т ,

(12)

2 л р г ф я * г .

(13)

Р+Ч—г

фициентами.

Разложение

(13) соответствует однозначному

пред­

ставлению такой формьг в виде суммы форм

степени

г

и

типа

(p,q)

с р +

q = г.

Наконец,

упомянем о главном

касательном

расслоении

к

ком- -

плексному многообразию X. Оно ассоциировано с касательным

GL(M, С) -расслоением 0

и может

быть построено, как

в

3.5. Его

слоем

в точке х єн X является

множество всех

изоморфизмов

фик­

сированного

векторного

пространства

С „ с векторным

простран­

ством

Zx

контравариантных касательных векторов к I

в

точке

х.

4.8. Пусть X — ^-мерное

гладкое

подмногообразие

m-мерного -

гладкого

многообразия У. По определению X является

замкнутым

подмножеством в У со следующим свойством: каждая точка

х є і

обладает

открытой

окрестностью

U в У, имеющей гладкие

коорди­

наты

Щ, «2,

• • • » ит,

В КОТОрЫХ Uf]X ЗЭДаеТСЯ ураВНеНИЯМИ Uft+i

=

Обозначим через /: X—>У

вложение подмногообразия

в много­

образие,

и рассмотрим контравариантное касательное

расслоение

R£ для У. Пусть L — ассоциированное

расслоение над У со слоем

®(k,m

— &;R), построенное в п. 4.1 g.

Поле касательных /г-плоско-

стей

к X

определяет гладкое

сечение

для j * L .

Следовательно,

по

слоение RQ(X) К X. Факторрасслоение

R v называется нормальным

расслоением

подмногообразия

X в У. По теореме

4.1.4

r R 6 ( y )

= R e W 0 R v .

(14)

Аналогичный

результат имеет

место,

если X

и

У ориентированы.

В этом случае нормальное расслоение будет

GL+(m — k, R) -рас­

слоением. В

частном случае,

когда

m — k — 2,

нормальное рас­

ния R v

определен класс

Чженя.

Т е о р е м а

4.8.1.

Пусть

/:

X—*Y — вложение

ориентированного

компактного

( т — 2)-мерного

гладкого

многообразия

X в

Ориен­

тированное

компактное

m-мерное

многообразие

У.

Пусть

h

е

є Я2 (У, Z) — класс

когомологий,

определенный

по

отношению

к

данным

ориентациям

(пг — 2) -мерным

классом

гомологии,

пред­

ставленным

подмногообразием

X. Пусть

R v — нормальное

расслое­

ние для

X в

У.

Тогда

с , ( ^ ) = /'Л.

(15)

Д о к а з а т е л ь с т в о . По

утверждению

4. lb IV),

примененному

к вложению SO(m)czGL+(m,

R),

касательное

GL+(m, R)-pacoioe-

ние к У можно рассматривать

как SO (m) -расслоение. Следователь­

но, У допускает риманову

метрику. С помощью этой

метрики

мож­

но построить замкнутую трубчатую окрестность В для X в У. Эта

окрестность

В

будет

расслоением

над

X

с

единичным

кругом

| г | ^ 1 ,

г є С

в качестве

слоя, ассоциированным

с

нормальным

U(1)-расслоением R v

{Том [2]). Пусть

В—

компактное

простран­

ство, получающееся

из

В

стягиванием границы

S

многообразия

В

в точку; В можно также получить из У стягиванием

замкнутого

подмножества

У— (В — S)

в

точку. Отображение

г:

У —• В

опре­

деляет гомоморфизм в когомологиях г*: Н*(В,

Z)—>Я* (У, Z). По­

этому в обозначениях

теоремы 4.3.2

4.9. Пусть X — Xk — комплексное подмногообразие

комплекс­

ного многообразия Y=Yn(kr^Zn).

По определению X — замкну­

тое подмножество в У и каждая точка Ї Є

І имеет

открытую

окрестность

U в У с комплексными координатами Z\,

z2, . . . ,

z„,

для которой

U(]X задается уравнениями zh+\

— ...

— zn =

0.

Рассмотрим

вложение /: X-*Y

и касательное

GL(n, С) -расслое­

ние 9(У) для

У. Как и в 4.8, ограничение /*0(У)

расслоения 8(У)

на X допускает подрасслоение и факторрасслоение.

Подрасслое-

нием

является

касательное расслоение

В(Х)

к X.

Факторрасслое­

ние v

является

комплексно-аналитическим нормальным расслое­

нием для X в У. Если все расслоения рассматривать как гладкие

расслоения,

то

/*9(У) является суммой Уитни 9(А') и v.

Рассмотрим

теперь частный случай,

в

котором

X =

А'п _1 яв­

ляется комплексным подмногообразием

в

Y =

У„ комплексной ко­

размерности 1.

В этом случае X называется неособым

дивизором

в Y. Имеется

покрытие

У открытыми

множествами

Uiy

такими,

что X[)Ui

определяется

уравнением fi =

0.

Здесь

ft

— голоморф­

отличны от нуля в каждой точке y^Uif]X.

Функции

fij =

fifjl

голоморфны

и не обращаются в нуль на UiOUj.

Коцикл

{/г з } опре­

деляет комплексно-аналитическое С*-расслоение [X]

над

У,

зави­

сящее только от дивизора X. Например, расслоение цп

из 4.2

опре­

деляется неособым дивизором P„_i(C) в Р„(С) .

Т е о р е м а

4.9.1.

Пусть

X — неособый

дивизор

компактного

комплексного

многообразия

У,

и пусть / г є Я 2

( У Д ) — класс

кого­

мологий,

определенный

ориентированным

(2п—2)-мерным

циклом

X. Тогда

сЛ ([X]) =

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы используем

те же

обозначения,

что

и в доказательстве теоремы 4.8.1. Расслоение

[X] тривиально

над

У—X, поэтому существует

расслоение [X] над

В, такое,

что [X]

=

=

г*[Х]. Как

и в теореме 4.3.2,

cl{[X})

=

r-cl([X])

= r*(g'st(l))

=

h.

Наконец,

пусть

X =

X2k

— ориентированное

гладкое

подмного­

образие

почти

комплексного

многообразия

У = У„

(2k<.2n),

предположим, что на X задана почти

комплексная структура.

Пусть / — вложение X в У.

О п р е д е л е н и е .

X

называется почти

комплексным

подмного­

образием

в У, если существует

гладкое GL(п — k, С)-расслоение

v

над X,

такое,

что

GL(« — k, С) cz GL+(2ft — 2k, R)

I)

при

вложении

расслоение

v

отображается в нормальное расслоение к X в У;

П)

f e ( y )

=

9(A*)©v.

Это определение почти комплексного подмногообразия

несколь­

ко грубо, однако оно достаточно для наших целей.

Согласно

сказанному в п. 4.8, условие

I)

всегда

выполняется

в

случае

п —

k=

1. Ясно, что

комплексное подмногообразие

ком­

( С ' т и н р о д

[1], 39.7

и

41.8;

другое

доказательство

намечено

в 4.11).

Т е о р е м а

4.10.1.

Пусть

Vn

— компактное

почти

комплексное

многообразие

и c n e / i 2 n ( V „ , Z )

— его 2п-й

класс Чженя.

Есте­

ственная

ориентация

Vn определяет целое число сп [У„]

(см.

0.3),

которое

равно

эйлеровой

характеристике

многообразия

Vn.

Эйлерова

характеристика

для Р„(С)

равна п + 1 .

Этот

факт

Понтрягина для Р„(С).

Т е о р е м а

4.10.2.

Пусть

hn

є

Я 2 (Р„ (С), Z)—образующий

элемент,

определенный

в

4.2.

Класс

Чженя

комплексного

много-

п

образия

Р„(С)

равен

(1 +

hn)n+l

=

^] ("

1"1 )hl n .

Класс

Понтря-

гина гладкого

многообразия

РП{С)

равен

(l +

hn)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

теореме

4.10.1 формула

для

класса

Чженя

верна для

n =

1.

Предположим,

что

формула

уже

дока­

зана для P„_i(C), и рассмотрим

вложение

/:

P„_i(С)—>• Р„(С).

Используя теорему 4.9.1,^формулу

умножения

Уитни

и

тот

факт,

что j*hn

— hn-.u

получаем

Гс (Р„ ( с ) ) = с (Р„_, (С)) • г

(і + К)

= г

а

+

К)п+\

Но

/*: H2i(Pn(C),

г ) - > Я 2 ' ( Р „ _ 1 ( С ) ,

Z)

является

изоморфизмом

для

i^.n—1,

следовательно,

с(Рп

(С)) =

(1 +

hn)n+1

mod Я 2 П ( Р „ (С),

Z).

По

теореме 4.10.1

сп (Р„ (С)) — (п + 1) /г". Этим

завершается

дока­

4.11.

Пусть

X—

компактное

ориентированное

многообразие

и

і — SO (q)-расслоение

над X. Конструкцию теоремы 4.3.2 можно ис­

пользовать для

определения класса

Эйлера e ( ^ ) e W ' ( I , Z )

для

\.

Пусть В-+Х—

расслоение с единичным

шаром

D'7

=

|(A;1,

xq)

q

e R ' ;

Д] x ? « ^ l }| в

качестве слоя, ассоциированное

с

| ; В — мно-

«=1

>

и ориентацией, согласованной с ориентациями

гообразие с краем

X и R9 . Граница S

многообразия В является расслоением над X

со слоем

Пусть s: X—>В— S — вложение

X

в качестве

нуле­

вого сечения в В. Имеется гомоморфизм

Гизина

s.:

Я ' (X, Z) -> Hc+q

(В -

S,

Z),

і >

0,

определенный,

как в 4.3. Пусть X'—

другое

компактное

ориенти­

рованное

многообразие

и /: X'—>Х — непрерывное

отображение.

Тогда по SO (q) -расслоению

/*| также

можно

построить В', S',

s',

и имеется

естественное

отображение

/: б 7

— 5 ' — —

5.

В

этих

обозначениях

имеет

место

Т е о р е м а

4.11.1

( Т о м [1]). Гомоморфизм

Гизина

является

изоморфизмом

для

і ^

0, и

диаграмма

Н' (X,

Z)

- £ >

W (Х\

Z)

s

s'\

*

HifiB-S,

V

Z)^Hitq{Bf-S',

У

Z)

коммутативна.

Пусть

1 є Я ° ( Х , Z) —единичный

элемент.

Класс

Эйлера

е(|)

для £ определяется

равенством

e(g) =

s*s*l. Согласно

4.lb,

класс

Эйлера

определен

также

для

любого

QL+(q,

R)-расслоения

|

над X.

Т е о р е м а

4.11.2.

Пусть

X,

Y —

компактные

ориентированные

многообразия,

f:

Y—*Х — непрерывное

отображение,

| —

SO(q)-

расслоение

над

X,

а

| ' — SO (q') -расслоение

над

X.

Тогда

I)

2е (|) =

0,

если

q

нечетно;

II)

е(П)

=

Ге&);

III)

e{im')

=

e(l)e(V);

IV)

еЦ) =

с1(1),

если

q — 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из определения s, следует, что

st(s*b-c)=

= b • s,c

для

b <= Н'с(В — S,

Z),

с є

Н1

(X, Z). Следовательно,

st (2е (£)) = 2st

( s \

1) =

2st 1 • st 1 = 0

для

нечетных

q,

так

как

w-произведение антикоммутативно. Так как

s* — изоморфизм,

то

2е(|) — 0

для

нечетных q. Этим доказано I ) . Утверждение II)

следует

из теоремы

4.11.1. Чтобы доказать

I I I ) , рассмотрим

рас­

ничные шары

С для £ ®

Пусть t: В—*С,

t'\ В'—*С — вложения,

определенные

прямой суммой, и u — ts =

t's' — вложение X

в С,

определенное нулевым сечением. По теореме 4.11.1

s,s"l — t%l

и,

следовательно,

Значит,

и'иА

=s'f(0)

• s'r'(U) = sX(s"l) •

s'Y.is'l).

Таким

образом, e(£ ® \')

= e(Qe(l'),

как и требовалось. Утверж­

дение

IV) следует из изоморфизма

S O ( 2 ) = £ / ( l )

и теоремы 4,3.2.

З а м е ч а н и я .

1) Определение класса Эйлера, теорема 4.11.1

и теорема

4.11.2 в

действительности сохраняют

силу

для

SO(q)-

расслоения

|

над

произвольным

допустимым

пространством X

(см.

4.2). Следовательно,

(16)

также справедливо в

этом

случае.

2) В случае когда | есть О (q)-расслоение,

определение

s* не­

применимо, так как расслоение

В уже ориентированным

естествен­

ным

образом

не

является.

Если

же

все

группы

когомологий

берутся

с

коэффициентами

Z2 , то теорема 4.11 остается

справед­

ливой

и

в

этом

случае,

и

S*S , ( 1 ) GW « ( JC,Z 2 )

есть

q-й

класс

Уитни

wq(l)

для

£. Можно

определить

полный

класс

Уитни

q

W(Q

—

2

wt

&)• Он обладает следующими свойствами:

I)

Для

всякого

непрерывного

О (q) -расслоения

|

над

допусти­

мым

пространством

X и для всякого

целого

числа

і ^

0

определен

класс

Уитни до* (£) е Н1 (X, Z 2 ) ;

©о (і)

есть

единичный

элемент,

w0(l)=

1.

(&)•

Н)

о»(/*£) =

IV) ш(т]п ) =

1 + hn,

где

т]„ —

О(1)-расслоение

над

п-мерным

вещественным

проективным

пространством

P n ( R ) ,

определенное

аналогично

U (1) -расслоению

тг\п

из 4.2, a hn

— ненулевой

элемент

из

tf'(P»(R),Z2).

многообразие

с касательным

рас­

В

случае

когда X — гладкое

слоением

R0, класс Уитни

w(X) — w(nQ)

иногда

называют

клас­

сом Штифеля — Уитни.

Доказательства существования и единственности классов Уитни

вполне аналогичны соответствующим

доказательствам

из 4.2 для

классов Чженя. Имеется также определение W\, аналогичное опре­

делению

Сі в теореме 4.3.1. Точная

последовательность

i-^soto)->o(<7H?>z2^i

определяет

гомоморфизм

р»: НХ(Х, 0(q)c)

^-НХ(Х,

Z 2 ) , такой,

что

р„(|) =

Следовательно, гладкое

многообразие

ориентируемо

тогда

и только тогда, когда

W\(X) = 0.

3)

Вложение

SO (q) <zz O(q)

определяет

класс

Уитни

и

класс

Понтрягина

для SO(q)-расслоения

£. В этом

случае

Доі(|)

совпа­

дает

с е(1)

по модулю 2. Если |

есть

SO (2q) -расслоение,

то (см.

4.5) SO (4д)-расслоение

p(if>(£)) отличается

от | ф

|

на множитель

(—1)9, учитывающий изменение ориентации, и, следовательно,

Ря (!) = (~ D* с*я (Ч> (&)) = (~ 1)а* е (£ Ф I ) =

е

(If.

Наконец, если £ является U(^-расслоением

над X,

то р(£) будет

SO (2д)-расслоением. В

этом случае

до2г(р(|))

совпадает

с

редук­

цией по модулю

2 классов

Cj(|),

и І02і+і(р(І)) = 0,

Библиографические

замечания

99

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ

ЗАМЕЧАНИЯ

Доказательства лемм 1.5.2 и 1.7.3, а также приложения

мультипликативных

последовательностей к когомологическим операциям можно

найти у А т ь и и

Х и р ц е б р у х а [4].

вливается

только

для паракомпактных

пространств

(теорема 2.10.1). Для произ­

вольного

топологического пространства

X первое определение групп когомологий

с коэффициентами

в пучке, удовлетворяющее аксиоме точности когомологической

последовательности, было дано Г р о т е н д и к о м

[2]. Эти группы определяются

с помощью гомологической

алгебры, или, эквивалентно, с помощью вялых резоль­

вент ( Г о д е м а н

[1]). В

случае когда X паракомпактно, когомологий Гротен-

связаны спектральной последовательностью

( Г о д е м а н [1], гл. II, 5.9.1).

Более полное изложение теории расслоенных пространств дано в

книгах

С т и н р о д а [1] и Х о л ь м а н а [1]. Очень

удобно заменить все условия

на базу

слоение. Такое

изложение в терминах нумеруемых

расслоений было дано

Д о л fa-

д о м

[3]; более того, расслоенные пространства

рассматриваются как

частный

случай

более общих

(не обязательно

локально

тривиальных)

расслоений. Резуль­

таты

§

3 обобщены

в

других

направлениях

Г р о т е н д и к о м

[1],

Ф р е н к е ­

л е м

[1], X о л ь м а н о м

[2].

Пусть G — топологическая

группа, Е — главное расслоение,

ассоциированное

с G-расслоением

т) над паракомпактным пространством Y,

и [X, Y] — множество

гомотопических классов (см. 4.lb) непрерывных отображений

X-+Y.

Рассмотрим свойство

(*)

Отображение

Т: [X, Y]-*-Hl(X,

Gc), заданное равенством

T(f)

=

f*r\, яв­

ляется естественной

эквивалентностью.

X тогда -

Свойство

(*)

выполняется

для

всех паракомпактных пространств

и только тогда, когда Е стягиваемо

( Д о л ь д

[3], 7.5). В этом случае

простран­

вается классифицирующим

пространством

B(G) для G. Такие

пространства

всег­

да существуют ( М и л н о р

[1], Д о л ь д

[3], 8.1). Расслоение

Е называется

уни­

версальным расслоением.

В общем случае классифицирующее

пространство

бес­

конечномерно. Например,

В (U (q)) =

lim @ (q, N; С), В (О (<?)) =

lira

© (q, N; R).

N->°o

N-><x>

Предположим, что E линейно связно и гомотопические группы nf(E)

три­

виальны для I

і ^

п. Доказано,

что в этом случае

условие

(*)

выполняется

для

некоторых

категорий

пространств

X. Д о л ь д ([3], 7.6)

доказал

это

для

паракомпактных

пространств

X,

являющихся

локальными

ретрактами

клеточных комплексов размерности

^.п;

К а р т а н

([1], сообщение VIII)

доказал

это для локально компактных паракомпактных X размерности

^ п ; С т и н р о д

([1], 19.4)—для конечных клеточных комплексов размерности

^ я . В этих

слу­

чаях главное расслоение Е называется

п-универсальным

Если

G — компактная

группа Ли, то такие расслоения всегда существуют и имеют

в качестве

базы

конечномерное

гладкое многообразие ( С т и н р о д

[1],

19.6). Например,

расслое­

ние

U (q +

N)/U (N) над © (q, N; С) является 2Л?-универсальным (см. 4.2), а рас­

слоение 0(k

+

N)IO{N)

над ®(k, N\ R)

(N — 1)-универсально.

Основные

теоремы

о

классах

Уитни и Чженя

имеются у

С т и н р о д а

[1].

инвариантами ( Т о м [1]). Классы

Понтрягина не являются топологическими ин­

вариантами ( М и л н о р

[6]). Однако С. П. Н о в и к о в [1] недавно

доказал, что

рациональные классы Понтрягина

являются топологическими инвариантами. Оп­

ределение рациональных

классов

Понтрягина для комбинаторных

многообразий

(необязательно гладких) было дано

Т о м о м

[3} и

Р о х л и н ы м

и Ш в а р ­

ц е м

[1].

В

приложениях к алгебраической

геометрии

над

более общими

полями важ­

В

изложении

Г р о т е н д и к а

[4]

классы

с,(|)

также

определены

через

С] (|)

с использованием метода расщепления. Каждое

GL(q, С)-расслоение

£ опре­

деляет

в обозначениях: п. 3.1с расслоение

X -*- X со слоем

P a _ i ( C )

и

точную

последовательность

0 - >г) - >а|)*| - »|ч> - 0

расслоений

над X. Так

как

т|* ®

I

является

GL(q—1,

С)-расслоением,

то

0 =

cq (ц* ®

I) =

с„ (тГ ®

ч>*1) =

У +

V * i

(£) +

• • •

+ Гсч

(І),

где у = —С] (г)). Так как

— мономорфизм,

то

эта формула

(формула

Хирша)

может

быть взята

в качестве определения классов с*(£) для

< >

1. Этот

же ме­

Сформулированы

некоторые

результаты

из

теории

кобордизмов

Т о м а [2]. С их

помощью доказывается, что

индекс многообразия

Mih выражается

многочленом

от

классов

Понтрягина

этого

мно­

гообразия (теорема 8.2.2). Этот

результат

используется в п.

19.5

чаться через x[Vn].

Если А—

аддитивная

группа

и х єн Hn(Vn,

А),

то х[Уп ]єнЛ. Это определение естественным

образом

распростра­

няется и на случай,

когда х єн Нп

(Vn,

А) ® В.

Тогда x[Vn]<=A

<8> В.

При фиксированном х это значение x[Vn]

зависит от ориента­

ции. Однако если

Vй

связно,

то

оно определено

с

точностью до

знака.

Пусть теперь размерность n—\k

многообразия

Vа

делится

на 4,

и пусть р{ — классы Понтрягина

для

Vn,

р{ єн Я 4 ' (Vn,

Z) (см. 4.6).

Для каждого произведения p.p.

...

р.

веса

k =

/, +

. . . + /, можно

образовать целое число pfp.

. . .

р/

[V").

Всего

существует

n(k)

таких чисел, что

n(k)

— число

разбиений

числа

k.

Эти числа

назы­

ваются числами

Понтрягина многообразия

V".

Рассмотрим кольцо

многообразие

Vik

индуцирует

гомоморфизм

модуля

23ft в

кольцо

коэффициентов

В;

сопоставленным элементу

а е

23ft элементом

из

В будет a[Vik]

єн 23.

Если размерность п многообразия Vй

не

де­

лится

на 4,

то

мы

полагаем

все числа Понтрягина

для

Vй рав­

ными

нулю.

5.2.

Пусть

Vn

и

Wm — два

ориентированных

многообразия,

и

пусть

Vn X Wm

— их

произведение, ориентированное

ориентацией,