книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Гидравлический и пневматический приводы металлургических машин

Замена гидравлической системы с распределенными пара­ метрами — массой жидкости, линейными диссипативными сопро­ тивлениями и жесткостью — системой с сосредоточенными (дис­ кретными) параметрами позволяет произвести приближенную динамическую оценку некоторых процессов. Например, можно оценить повышение давления в гидравлической системе при вне­ запном или быстро изменяющемся перекрытии выходного отвер­ стия на сливной линии или при резком снятии и приложении нагрузки, при резком открытии проходного сечения распредели­ теля на напорной линии, при работе системы на мертвый упор

ив ряде других случаев.

Втаких случаях гидромеханическую систему можно пред­ ставить как колебательную, в которой носителем потенциальной анергии является деформируемая жидкость, трубопровод и уп­ ругие звенья, приводимые поршнем, а кинетической — масса та

Рассмотрим некоторые из перечисленных выше задач.

Мгновенное перекрытие сливной линии

Пусть выходное сечение b (рис. 139, а) на сливной линии мгновенно перекрыто. Массы, связанные с подвижным поршнем, и жидкость к началу перекрытия обладали определенной кинети­ ческой энергией, которая к моменту остановки системы обра­ тится в потенциальную энергию упругой жидкости и частично рассеется на гидравлических сопротивлениях.

Если начальная скорость поршня vno, то средние по сечению скорости жидкости в трубопроводах а и Ь, определенные из уравнения неразрывности потока в момент перекрытия трубопро­ вода Ь, будут соответственно

следующей более высокой частоте из дискретного спектра соот­ ветствует вторая форма колебаний с двумя узлами и т. д.

Рассматриваемую гидромеханическую систему можно заме­ нить механическим аналогом, показанным на рис. 139, б. На схеме плечи рычагов приняты пропорциональными площадями, чтобы сохранить соотношения, имеющие место в системе:

190

До перекрытия проходного сечения на линии b система нахо­

таком случае кинетическая энергия жидкости, заполняющей его

гидромеханическую систему в общем виде, можно представить, как это показано на рис. 139, в. Пренебрегая упругостью жидко-

191

вить уравнение движения, включив в число действующих на мас­

В этом уравнении

представляют собой приведенные к точке А массы поршня и жид­

Теперь можно написать совокупность уравнений, описываю­

192

Эти уравнения можно заменить системой, записанной относи­ тельно сил упругости:

Рк, k—\= Ск-\, k{Xk —

После деления каждого из уравнений (73) на массу, вычита­ ния из предыдущего уравнения последующего и умножения раз­ ности на соответствующую жесткость система приводится ч< виду

Рзг+РР*2--£*-Р12=-**-Ра-,

пр а,

При свободных колебаниях системы каждую из .координат или силу упругости участка можно представить как гармоничес­ кую функцию:

лга, = /4„T sin Э^; х0г = Ла ,sin fit; хаз = Aais'm fit,

где в — цикловая частота собственных колебаний, или

Вводя принятые значения сил упругости в систему (75) и со­ кратив sin fit, получим систему уравнений относительно неизве­ стных коэффициентов:

£ > 3 2 ( Г - р 2 з ) + - ^ - О а 1 = 0 ;

а г

Так как постоянные D отличны от нуля, то

'"пра,

Раскрыв определитель, можно получить бикубическое урав­ нение относительно цикловых частот .собственных колебаний. Корни Bi < р2 < В3 характеризуют 1-ю, 2-ю, ,и 3-ю формы коле­ баний в пределах первой фазы движения (замедленного) систе­ мы до полной остановки, когда следует ожидать появление наи­ больших давлений в линиях а и b трубопроводов. Частоты р2 и В3 характеризуют перемещения масс та, и та, относительно друг друга и массы тпр а,-

Уравнения (76) позволяют найти связь между амплитудами:

а.

Dl0 = D2i

( P S I - P ? )

194

Для определения постоянных необходимо написать дополни­ тельные уравнения в форме начальных условий. В рассматри­ ваемом случае в начальный момент изменяются условия только на участке Ь, а именно при t = 0:

а начальная скорость потока в перекрываемом трубопроводе. Теперь можно найти давление на всех участках гидросисте­

мы. В перекрываемом трубопроводе

риод.

Переходя от приведенной системы к реальной, для перекры­ ваемого трубопровода имеем

ИЛИ

P * m « = - 7 7 - i l ( 0 ) .

Из полученных соотношений можно сделать следующие вы­ воды.

1. Короткие трубопроводы дают при резком перекрытии бо­ лее высокие давления, приближая процесс к жесткому удару.

2.Давление в напорном трубопроводе повышается, поэтому объем, занимаемый жидкостью, уменьшается. Если не обеспе­ чить поступление жидкости на входе, то столб жидкости в нем может разорваться и в следующую за торможением фазу может наступить гидравлический удар в напорной линии а.

3.После остановки системы наступает фаза расширения жид­ кости, для которой следует принять новую схему, разделив мас­ су жидкости в трубопроводе Ь на 3 части, считая крайнюю из них неподвижной, .как это показано на схеме рис. 139, в пунктиром.

Систему уравнений (а их теперь будет четыре) можно составить аналогично предыдущему. Наиболее низкая частота станет не­ сколько выше той, что определена для предыдущей фазы. На­ чальные условия для новой системы определяются как конечные условия для предыдущей фазы. Поскольку эта фаза не пред­ ставляет интереса, мы ограничимся этими общими замечаниями.

Мгновенное снятие нагрузки

полостях цилиндров, и считая, что на входе и выходе имеются

Теперь можно составить систему дифференциальных уравне­ ний в перемещениях замещающих масс:

196

тивления на входе и выходе из цилиндра, а в упругих связях по­ лагать действующими диссипативные аилы, пропорциональные расходу, т. е. скорости.

Полученные уравнения образуют систему обыкновенных не­ линейных дифференциальных уравнений, решения которых в квадратурах получить нельзя. Нелинейность характеризуется квадратичными членами, входящими в правые части первого и последнего уравнений.

Выбор параметров гидромеханической системы, в том числе и гидравлические сопротивления на напорной и сливной линиях, можно произвести в результате анализа решений системы диф­ ференциальных уравнений (79) на электрических аналоговых схемах или электронных моделирующих установках. Однако оценку поведения системы можно получить из анализа линейной

197

сбросе нагрузки на сливной линии квадратичное сопротивление

(сь = 0), а всю массу жидкости его-—приведенной к плунжер­ ной группе.

Если трубопровод b имеет малое сопротивление на сливе, то перемещению траверсы после снятия нагрузки не оказывается заметного сопротивления и перемещение отдачи траверсы будет значительно больше, чем в первом случае. Отсюда следует, что в 'машинах, работающих с резко падающей нагрузкой, целесо­ образно осуществлять питание при возрастании нагрузки через большое квадратичное сопротивление, лучше — через регулируе­ мое. На сливной линии должно быть обеспечено большое сопро­ тивление, создающее большую опорную реакцию при увеличе­ нии расхода после сброса нагрузки.

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПРИВОДА С УЧЕТОМ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТРУБОПРОВОДАХ

При наличии в гидросистемах трубопроводов большой протя­ женности многие неустановившиеся или переходные процессы недостаточно точно описываются системой обыкновенных диф­ ференциальных уравнений, составленных для заменяющей систе­ мы с дискретными параметрами, когда масса или часть массы жидкости присоединяется к массе твердого тела — поршня пли плунжера. Если рассматривать гидравлический тракт как звено системы с распределенными параметрами —массой и жестко­ стью, то изменения давления и скорости жидкости в трубопрово­ де описываются уравнениями в частных производных [3, 9, 36].

Скорость распространения волны давления или деформации в жидкости во много раз превышает скорость течения ее в про­ цессе работы гидромеханизма (скорость звука в воде при атмо­ сферном давлении 1435 м/с, в упругом трубопроводе — несколь­ ко меньше), поэтому без большой погрешности жидкость можно считать «замороженной», т. е. влиянием скорости жидкости на скорость распространения волн 'можно пренебречь. Тогда диффе­ ренциальные уравнения Н. Е. Жуковского [9] могут быть заме­ нены приближенными:

дх at at дх

Эти два уравнения легко приводятся « уравнениям относи­ тельно р или v, если, дифференцируя по х и по t, сравнивать

198

смешанные производные. Итак, можно получить

Эти выражения известны .как волновые уравнения, которыми описываются волновые процессы в стержнях при продольных колебаниях, в струнах, электрических проводниках с малым омическим сопротивлением. Решение уравнений в замкнутой форме можно записать в виде интеграла Даламбера:

здесь

с = У 77

Нетрудно убедиться, что при подстановке и в уравнения (81) последние обращаются в тождество, т. е. и является их решением.

Если найдено решение для скорости жидкости, т. е. uv = = v(x, t), то этим самым найдена и функция ир, определяющая закон изменения давления по времени вдоль трубопровода. Пусть

u0 = v(x, t) = q>v(x—ct)— tyv(x + ct).

Фронт волны перемещается со скоростью с, поэтому его коор­ динаты определяются из выражения х = ct или dx = cdt. Запи­ шем выражение полного дифференциала давления р:

Ранее были приведены соотношения между частными произ­ водными р и v по х и t:

Произведя подстановку в выражение для полного дифферен­ циала dp частных производных, получим

здесь w — p0c = \ r Epo — волновое сопротивление и x = ct. Таким образом,

p = w [q>v{x — ct) + tyu(x + ct)] + p0.

199