книги из ГПНТБ / Кожевников С.Н. Гидравлический и пневматический приводы металлургических машин

Наоборот, если известны функции, определяющие прямую и обратную волны давления, то

v = — [Ф„ {х — ct) — гр {х + ct)].

Функция р(х, t) или v(x, t) должна удовлетворять начальным условиям, т. е. известному распределению давления (или скорос­ ти) и его производной по длине трубопровода при t = 0:

с

Интегрируя в пределах от постоянной а до х, имеем

фронт которой перемещается в положительном направлении оси

что фиксированное значение функции ф(х — ct) для определенно­ го Ъ перемещается в направлении оси х со скоростью с (рис. 141).

200

Функция i|)(х + ct) описывает обратную волну, фронт которой движется со скоростью х = —с в сторону, противоположную дви­

жению прямой волны.

При конечной длине трубопроводов или отдельных его участ­ ков на волновой процесс оказывают влияние граничные условия и условия сопряжения участков. Граничные условия могут опре­ деляться конструктивными и физическими особенностями схемы или выражаться как внешние возмущения, не зависящие от осо­ бенностей гидросхемы. Они могут быть постоянными или завися­ щими от времени, в частности описываться дифференциальными уравнениями, интегрирование ко­ торых необходимо производить совместно с волновым уравне­ нием. Каждое из препятствий,

y(x-ct)

Р

Рис. 141 Рис. 142

встречающееся на пути распространения волны, вызывает ее полное или частичное отражение. В результате прямая и обрат­

(рис. 142). Давление в начальном сечении трубопровода может

201

Скорость жидкости в начальном сечении

Из этого выражения следует, что при наличии начального дав­ ления в трубопроводе, удовлетворяющего условию / Р (t) — ро > О, жидкость поступает из источника питания и по трубопроводу рас­ пространяется волна деформации сжатия. Это имеет место при подключении аккумулятора или мультипликатора к трубопрово­ ду. Если имеется обратное неравенство, то жидкость течет из трубопровода в резервуар за счет уменьшения ее деформации.

Волна давления, зарождающаяся в сечении трубопровода

.V = 0, продвигается со скоростью с, поэтому в произвольном се­ чении х трубопровода значения функции давления будут воспро­ изводиться с запаздыванием на время х/с. Поэтому можно напи­ сать

р(х, t)=fp(t-^

При мгновенном возрастании давления во входном сечении иа величину Др функцию давления следует выразить через единич­ ную функцию ст. Если

с

Таким образом, по трубопроводу будет продвигаться волна давления с фронтом, равным начальному перепаду давления.

2. Образование волны давления может произойти в результате возмущения скорости движения жидкости в определенном сече­ нии гидравлического тракта, причем это сечение может быть рас­ положено как в начале или в конце трубопровода, так и в какомлибо промежуточном сечении. В первом случае при неограничен­ ной длине трубопровода возникает одна волна, во втором

.202

случае — две волны, параметры которых связаны между собой. Пусть закон изменения скорости в сечении х = 0 задан функ­ цией fv(t) = и (0, t). Скорость в любом сечении при наличии воз­

мущения

Возмущение скорости в трубопроводе может быть произведе­ но в результате перемещения поршня, открытия или закрытия ор­ гана управления, мгновенной остановки поршня и др. Особенно опасной может быть ситуация при неудачном выборе закона дви­ жения управляющего органа (распределителя) при закрытии.

Пусть начало координат совмещено с началом трубопровода у распределительного органа и перед закрытием имеет место установившееся истечение жидкости при постоянном давлении. Начальные условия для этого случая будут

203

Из этих уравнений следует, что давление в магистрали подни­ мается от ро в начале закрытия управляющего органа до р т а х =

= ро + wv0.

На рис. 143 показан волновой процесс в трубопроводе при за­ крытии управляющего органа в пространстве трех измерений, т. е. в координатной системе [v, х, t]. В качестве апликаты принята скорость v, абсциссы и ординаты — координата х по оси трубо-

ние трубопровода можно брать любым, то можно считать, что все сечения формируют линейча­ тую поверхность с образующей, параллельной характеристике

X _

/—

Сечение этой поверхности плоскостями, параллельными плос­ кости [и, t] и проходящими через абсциссу Х{, дают кривую, изо­ бражающую закон возмущенного движения жидкости в этом се­ чении в функции времени t. Сечение плоскостями, параллельны­ ми плоскости [v, х] для различных ti дают картину распределения возмущенного движения по длине трубопровода в момент време­ ни t = ti. На рис. 143 в системе координат [v, х, t] вместо давле­ ний отложены апликаты p/w.

При ограниченной длине трубопровода происходит отражение волны — полное или частичное, что зависит от условий на конце: если трубопровод заканчивается неподвижным препятствием, то скорость жидкости для этого сечения равна нулю, т. е. v(l, t) =0; если трубопровод заканчивается цилиндром с подвижным порш­ нем или упругим объемом, то граничные условия для случая поршня с цилиндром на конце при х = / могут быть записаны из условия неразрывности потока в этом сечении, т. е.

204

При линейном упругом объеме в конце трубопровода из того же условия неразрывности потока имеем

Процесс отражения волны более наглядно можно представить, если считать, что в начальный момент давление скачкообразно

возросло на величину Др. Тогда для времени 0 < t < — будет

с

иметь место только прямая волна и давление, согласно уравне­ нию (85),

обратная волны. Поэтому для рассматриваемого интервала вре­

возникает обратная волна противоположного знака, в результате чего скорость гасится, т. е. нулевой фронт волны продвигается в сторону отрицательного направления оси х. Для создания в точ­ ке х = / обратной волны со стороны неподвижной стенки действу­ ет импульс давления, равный по величине прямой волне давления Др. В результате после отражения волны давление позади про­ двигающегося фронта р = ро + 2Др, т. е. избыточное давление после отражения удваивается.

Указанным обстоятельством можно воспользоваться для оцен­ ки параметров гидромеханизма с тем, чтобы установить, нужно ли считаться с волновым процессом при динамическом исследо­ вании или им можно пренебречь. Введем безразмерные время

пата х, определяющая положение фронта волны, зависят от вре­ мени t и скорости с звука:-

х = ct или •£/ = схТ\.

Отсюда

г = Ч,

205

дх Ах

деления может быть принята постоянной, т. е. давление по длине

трубопровода может в данный момент времени принято в форме

Если обозначить

рАх

и Ci = FAx '

то для каждого из сечений от 1 до /г • 1 можно записать

207

Poi, pn-i, n — изменяющиеся во времени давления жидкости между сечениями 0 и /, /г — 1 и п трубопровода.

Граничные условия для трубопровода можно записать в виде

Число участков, на которое должен быть разделен трубопро­ вод длиною /, определяется наивысшей частотой р т а х возмущения или постоянной времени, если нагрузка изменяется монотонно.

Для однородной рядной дискретной системы частотный спектр описывается уравнением [14]

— = 1 —cos - — ,

причем наивысшая цикловая частота соответствует / = п— 1. Поэтому

Если р„ = efSmax, то число участков п определяется из выра­ жения

Так, при аппроксимации первой формы колебаний жидкости в трубопроводе с точностью до 10 или до 5% необходимо принимать два или три участка. Вторая форма с той же точностью воспро­ изводится при делении на четыре или шесть участков. При со­ ставлении расчетных схем обычно исходные данные задаются с точностью до 10%, а величины гидравлических потерь — с точ­ ностью до 25%, поэтому указанные пределы точности вполне достаточны.

Системы уравнений (88) и (89) получены при обычном допу­ щении о неразрывности потока жидкости. При кавитации сплош­ ность потока нарушается. Признаком наступления кавитации является падение давления на участке до величины, равной дав­ лению парообразования р п в жидкости при данной температуре, т. е.

после чего давление на участке практически не изменяется. Ана­ логом этого явления может служить модель системы рядных дис­ кретных масс с односторонне действующими упругими связями. В этой модели, как и в гидравлической системе, упругие связи ра­ ботают только на сжатие и при наступлении кавитации давление в них остается постоянным. Для практических расчетов можно

208

положить ра = 0. Тогда условию кавитации будет соответствовать условие разрыва связи. Методы исследования систем с односто­ ронне действующими упругими связями описаны в работе [21].

ЭЛЕКТРОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выше указывалось, что при решении дифференциальных урав­ нений, описывающих процессы в гидравлических системах, воз­ никают большие трудности вследствие нелинейности этих систем и, как правило, их относительно высокого порядка. Эти затрудне­ ния снимаются, если для конкретного анализа используются ана­ логовые математические машины непрерывного действия. Стан­ дартные блоки математических машин можно собрать так, чтобы процессы в схеме протекали в такой же последовательности и в таком виде, как и в реальной системе, подвергаемой анализу.

При исследовании динамических процессов в машинах с по­ мощью моделирующих установок задача сводится к определению переменных напряжений в отдельных элементах электрической схемы, пропорциональных соответствующим механическим пере­ менным. Связи между электрическими переменными описывают­ ся одними и теми же дифференциальными уравнениями, что и для механических переменных. Например, если между двумя механи­ ческими величинами существует интегральная связь, то такая же связь должна быть и между электрическими напряжениями.

Решение дифференциальных уравнений сводится к простым математическим операциям, таким, как алгебраическое сложение и умножение (деление), интегрирование и дифференцирование. Если составить электронную модель из отдельных элементов, в которых элементарные процессы протекали бы по закономерно­ стям, определяемым исходными дифференциальными уравнения­ ми, то такая электронная модель могла бы быть использована для выяснения закона изменения искомых величин, т. е. в качестве не­ прерывно действующего вычислительного устройства. Интересу­ ющий нас результат можно получить значительно быстрее в виде графика изменения во времени напряжения в какой-либо точке схемы такой же формы (во всяком случае в пределах точности работы устройства), какую бы мы получили, производя числен­ ные расчеты искомой переменной.

Основными решающими элементами моделирующих установок являются блоки операционных усилителей и блоки постоянных коэффициентов, выполненные по типу потенциометров. При ана­ лизе нелинейных уравнений возникает необходимость воспроиз­ водить некоторые заданные функции'искомых величин, входящих в уравнения в качестве переменных коэффициентов. Эти опера­ ции в аналоговых установках выполняются блоками переменных коэффициентов. Кроме того, электронные аналоговые установки комплектуются блоками типовых нелинейностей, позволяющими воспроизводить изменение структуры модели вместе с изменени-