книги из ГПНТБ / Арнольд К. Методы спутниковой геодезии
.pdf(Rl обозначает действительную часть), используя соотношения (29)
и (30), можно |
привести |
(55) к следующему виду |
||||
|
|
R\ |
1 |
|
|
|
где |
|
|
Р = 0 |
q |
|
|
|
|
|
(2l-2t)\ |
|
||
^ |
(0 = У, |
|
|
^ТГ s i n ' — " і X |
||
і! |
(l—t)! |
(г— m — |
||||
|
|
2t)\221-2' |
||||
X 2(?)«-"2(, -"7B + %"L7-«)(-«
|
целая часть от 1 / 2 |
( l — то), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
а |
|
Г |
Clm |
Il-mM |
Ч Є Т Н О Є |
|
, , , |
0 |
, . |
|
|
||
|
|
Si«m= |
\-%X^нечетноеcos |
|
^ - 2 p ) o > |
+ |
|
|
|||||||
|
Sim |
|
- i |
(Z — 2p-f- q)M~ |
-m(Q |
—9)]-f- |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СIm. ! I |
нечетное s i n |
K' - |
ад |
» + |
(* - |
2p + g) Л/ + |
m (G - |
Є)]. |
|
|||||
Уравнение (30) дает функции Gtpg |
(є). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Rlm отвечает |
требуемым |
свойствам, |
выражение |
(56) |
линейно |
||||||||||
по отношению к неизвестным параметрам гравитационного поля |
С1т |
||||||||||||||
nSim,a |
шесть элементов |
орбиты |
являются |
независимыми |
величи |
||||||||||
нами. Это значительно облегчает получение производных |
от |
R!m, |
|||||||||||||
по шести параметрам для уравнений Лагранжа (40). Функции |
|
||||||||||||||
Flmp |
(і), &1щ |
(е) |
и их |
производные |
по |
а, |
і, е |
при |
вычислении |
Rlm, |
|||||
I > |
2, можно |
считать в большинстве |
случаев постоянными |
внутри |
|||||||||||
интервала интегрирования от |
1 до 2 |
месяцев. |
|
|
|
|
|||||||||
Исключение составляет лишь главный член при вычислениях
возмущений, |
вызванных |
сферической функцией |
второго |
порядка |
С2 0 (второй |
зональной |
гармоникой. — Перев.), |
гак как |
этот член |
превышает другие члены примерно в тысячу раз. Он вызывает боль шие возмущения и теорию его влияния необходимо разработать, со блюдая значительно более высокую относительную точность, чем для возмущений от других сферических функций. При вычислении возмущений, вызванных С 2 , 0 все элементы орбиты следует рассматри вать как изменяющиеся со временем, об условиях, которые приводят к возмущениям второго порядка под действием фактора Cf.oi будет сказано ниже.
3.7. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Изменения возмущений со временем выражены в уравнении(56)
функцией |
Slmpq |
(со, |
М, Q, 8). |
изменяется средняя аномалия М, за |
Прежде |
всего со |
временем |
||
время оборота, |
т. е. примерно |
за 2 ч, она изменяется на 360°. |
||
Линейно изменяется также звездное время 0. |
|
|
Аналогично нельзя считать постоянными |
аргумент |
перигея со |
и долготу восходящего узла Q, под влиянием упомянутого уже глав |
||
ного члена в вычислениях возмущений С2.о |
они будут |
изменять |
свою величину линейно со временем, чем нельзя пренебречь. При этом линия апсид и линия узлов за одни сутки под действием этого возмущения поворачиваются на величину от 2 до 4°, так что они могут совершить полный оборот за время около 100 дней.
При интегрировании уравнений Лагранжа (40) можно с достаточ ным приближением использовать следующие линейные преобразова
ния: |
|
|
|
|
|
to = ©-£-fco0 j |
М = |
п • t + М0, |
|
||
Q = |
Q-* + Q0 , |
Є = |
Є-*+0о . |
|
|
Если для сокращения принять |
|
|
|
|
|
к = (1 — 2р)(л + (1 — 2р тЧ)М+ |
m(Q — 6), |
|
|||
то |
|
|
|
|
|
-fa |
Simpq— |
Simpq-(I |
— 2р). |
(57) |
|
Аналогичные выражения следуют для производных по М и Q. |
|||||
Если проинтегрировать эти частные |
производные по |
времени, |
|||
чтобы найти с помощью уравнений (40) по производным от возмуще
ний в элементах орбиты сами возмущения, то получим, например, |
||
J Ж S |
l m P i d t ~ ( г - 2 р ) ш - + ( г — 2 p + q ) n-\-m(й-—е-) S^P4- |
(58) |
Возмущения в элементах орбиты получают таким же точно обра |
||
зом, как функцию S i m p q . |
|
|
3.8. ВЕКОВЫЕ, |
ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ |
|
И КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ |
|
|
Возмущения орбит спутников оказалось целесообразным разде лить соответственно их периодам на три группы: вековые, долгопериодические и короткопериодические.
Вековые возмущения первого порядка в элементах орбиты увели чиваются линейно со временем, поэтому в течение нескольких недель они могут достичь значительной величины. Они вызывают самые большие возмущения в элементах орбит и появляется, если в выра
жении для Slmpq |
(56) |
имеем |
|
|
|
J —2р--=0; Z — 2 p - f - g = 0; го = |
0. |
(59) |
|
Из условия т = 0 следует, что только зональные |
гармоники |
С ; . 0 |
||
могут вызывать |
вековые возмущения. Тессеральные гармоники |
|
||
|
^ / т > |
$ш т—1,2, .... I — 1, |
|
|
секториальные гармоники
не могут вызывать никаких вековых возмущений, поэтому их влия ние на возмущения орбиты меньше,чем влияние зональных гармоник.
Оба важнейших вековых возмущения орбиты уже упоминались, а именно, вращения линий узлов и апсид, вызванные второй зональ ной гармоникой, т. е. изменения щ и Q. Если в (56) I = 2, т — О, р = 1, q = 0, то из уравнений возмущений получим следующие изменения о), й , М:
6CD = С2 |
?,nRE |
|
Ї |
|
|
|
|||
4 (1 — e2)2 а 2 |
(1 — 5 cos2 |
і) • t ' |
||
|
||||
8Й = С2 |
inR2E |
cos і • t |
(60) |
|
2 (1 —«2)2 a 2 |
||||
8M = C 2-0 |
2,nRE |
(1 — 3 cos2 |
i) • t |
|
4 (1 — e 2 )72 |
||||
|
|
|
||
где n — среднее движение |
спутника |
|
|
n = 2яГ
—число оборотов спутника, Г — период обращения спутника.
Долгопериодические возмущения по сравнению с вековыми часто имеют период от 100 до 200 суток. Эти возмущения вызывают дви жение линии апсид и они появляются, если в (56)
l — 2p + 0, l — 2p + q = 0, m = 0. |
(61) |
Изменение долготы узла нельзя отделить от изменения звездного времени. Так как звездное время имеет короткий период в одни сутки и появляется в (56) только в разности й — 9, то вращение линии узлов не будет вызывать никаких долгопериодических возму щений. Так как в (61) т — 0, то при долгопериодических возмуще ниях принимают во внимание только зональные гармоники. Для вековых и долгопериодических возмущений, вызываемых в элемен тах орбиты в течение одного оборота спутника зональными гармо никами до шестого порядка, Мерсон вывел подробные формулы.
Представим долго периодическое возмущение в случае эксцен триситета
|
|
А е * = |
j |
dt dL |
|
(62) |
|
|
|
|
I E |
|
|
и аналогичными выражениями для других |
элементов орбиты |
і, й , |
||||
со, М, р; запишем для потенциала |
|
|
|
|||
7 = кМ |
1 |
R |
Pi |
(sin ф) |
•Сl-o, |
(63) |
|
||||||
если при этом |
учесть, что / =-- sin 3 і, р — а (1 — е 2 ), то по Мерсону |
|
[10] получим следующие соотношения: |
|
|
|
Де* — 2я 2 ' ^RE\i |
(64) |
|
в., =: 0, |
|
|
е 3 = — - | ( 1 - е 2 ) sin і COS со ( l — - | / ) , |
|
|
Є 4 = - Ц ( 1 - е 2 ) ( і - | 7 ) 7 е в т 2 с о , |
|
e o - - f - ( l - e 2 ) s i n i [ ( l - { 7 + ^ 7 2 ) ( l + | e 2 ) c o s c o - |
||
|
+ | ( l - f 7 )/e2 cos |
3co], |
Єй --= 52532 |
( l - e 2 ) 7 [ ( l - 3 7 + | | 7 2 ) ( l |
+ { e 2 ) e s m 2 c o + |
(65)
i 8 = 0,
-|- ^ 1 — -|-/^ e cos ©cos г, |
|
|
| | ( l - { 7 ) e 2 s i n 2cosin2i, |
|
|
15 • e cos I |
! - 1 / + Х / 3 |
) ( 1 + f e 2 ) C 0 S C ° + |
|
||
+ H 1 ~ f O / " e 2 c o s 3 c o ] '
525
64
esin2i [ ( l — 3 / + - Ц - / 2 ) |
e2 )esin2co + |
Q 2 =А |
— — cos i , |
( ^ ) |
1 |
^ , |
(66) |
ДО |
= 2 я 2 ^ |
|
й з = |-(і —- j - /)esincoctgi ,
^ c o s ^ [ ( l - l 7 ) ( l + f ^ - f ( l - l 7 ) ^ c o s 2 c o ] , ctgi l - ^ - / + ^ / 2 ) ( l + f e2 ) e sin CO -f-
+ { ( і - ^ 7 ) / Є з 8 і п 3co],
|
^ c o s , [ ( i - | / + f 7 2 ) ( i + ^ 2 + | |
0 - |
||
|
- | ( l - 6 7 + | | 7 2 ) ( l + ~ e 2 ) e 5 c o s 2 t o - |
|
||
|
- f |
( ^ f / ) / ^ - s 4 c o ] , |
|
|
Дсо* = 2л 2 Л (—~) ю ь |
|
(67) |
||
«., = 3 ( 1 - 1 / ) , |
|
|
|
|
со3 = |
-|- е'1 sin со sin г j^(l — -|"/) + (-^- cos2 і — cosec2 г) e2 J , |
|||
©4 = — § [ (16 - |
62/ + 4 9 » |
-f (67 - 772) cos 2co |
+ |
|
+ (l8_637 + i f - 7 2 ) e 2 + ( - 6 |
+ 357--f-72 )e2 cos 2co], |
|||
to5 |
= J ^ e - 1 sin со cosec j [ ( - | f 2 / - | 7 2 ) 7 + |
|
||
+ |
—Ц-1 + Ц- 7 2 - ^ / 3 ) e 2 + ( - l + | 7 ) 7 V c o s 2 c o + |
|||
+ ( f - 7 7 + - ^ 7 2 - ^ - f ) ^ + ( l - f - 7 + f - 7 2 ) 7 e 4 c o s 2 c o ] ,
|
|
525 |
129 T 2 |
297 |
7 3 |
|
|
C 0 |
6 = |
64 |
f ( i + 8 7 + ^8 f '/ 2 |
- i32r f' ) + |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
+ ( 2 - 6 / - f - f |
72)7cos2co + 6 ( |
i |
- f 7 + ^ f 7 2 - ^ § f)* |
+ |
|||
|
|
+ ( - 2 + 2 5 7 - ^ / 2 |
+ ^ 7 3 |
) е 2 cos2co + |
|
||
+ 1 (l-^7)72 e2 cos4co + ( 2 - ^ 7 |
+ - f ? — ™ ? ) < * |
+ |
|||||
|
|
+ ( - l + f - 7 - ^ 7 2 |
+ -^73 )^cos2co + |
|
|||
AM* = 2n 2/ /(-^-)V
^ 2 |
= | ( l - e 2 ) I - ( l - f 7), |
|
|
Мг |
= — — Є 8 ) » / . ( 1 — 4 e » ) ( l — j |
/ |
) e"1 sin (в sin i , |
^ 4 = H ( l - e 2 ) , / ! [ ( l - 4 ^ ) ( l - { 7 ) 7 c o s 2 c o T |
|||
|
+ ( - l + 5 / - - f 7 2 ) e 2 ] , |
||
M 5 |
= ^ ( l - e 2 ) , / ^ - 1 s i n i [ ( l - | - 7 + |
^ 7 2 ) x |
|
x ( 1 |
~ Te 3 ~ f e 4 ) s i n ю + 1 ( 1 - J~f) |
$ |
~ 2 e 2 ) № s i n 3 c o ] ' |
|
35 |
|
|
|
16 |
|
|
|
x ( i - f e 2 - f e 4 ) + f O - ^ + f 7 2 ) x |
||
|
x ( l - f e 2 - I - e * ) 7 c o S 2 c o + f |
( l - f 7 ) . |
|
X ( l — |-e2 )7 2 e2 cos4co],
А ^ = 2я2/ /(-у-)'л.
p 2 = o,
p 3 = |
Зр |
~f"7) e cos со sin i , |
p 4 |
= f - p ( l - { 7 ) 7 e 2 s i n 2 c o , |
|
^5 = — р е в і п і [ ( l - | - 7 + | - f ) ( l + A e » ) c o s e » +
+|-7)7e2 cos 3co],
Pe= - ^ p e 7 [ ( l - 3 7 + § 7 2 ) ( l + - | e 2 ) e s i n 2 c o +
Члены в выражениях (64) — (69), зависящие не от со, а от а, і, е, вы зывают вековые возмущения. Члены, содержащие синусы или коси нусы по аргументам со , 2со , Зсо , 4ц>, . . ., вызывают долгопериодические возмущения.
Важно установить, что в е, і, а не появляется никаких вековых возмущений.
Интегрирование выражений (64)—(69) дает вековые и долгопериодические возмущения Ае, ... для больших промежутков вре мени, если при этом ввести в качестве единицы времени период обра щения спутника. Интегрирование производят по формулам следу ющего вида:
j* cos uu>-dt = S 1 °( ^.M |
+ const, |
(70) |
t |
a |
|
Ae = J Ae* (a) • dt =-^r |
J Ае* (со) dco. |
(71) |
to |
(00 |
|
Например, вековое и долгопериодическое возмущения в долготе восходящего узла Q, вызываемые зональной гармоникой четвертого порядка, по (71) будут
7* (-тТв [ f c o s Ч1 |
- тs i n 2 |
0 ( 1 + Ї е ")' ~ |
||
- —|г cos і ( 1 - |
1 |
sin 2 і) |
е2 sin 2со]. |
(72) |
Если п имеет размерность (сутки)"1 |
= d'1, |
то t здесь |
измерено в сут |
|
ках, а со' означает суточное изменение со, полученное путем диффе ренцирования первого уравнения из (60). со' появляется в уравне нии (70) в знаменателе. Оно равно
со- = 3 / 2 [~ffn ( 1 - 1 - sin 2 і) .
Если і = 63° 26' (критический наклон), то со" = 0 и возмущения на основании (70) имеют особенность со = const. Это устранимая осо бенность, она исключается, если интегрировать в (64)—(69) не ана литическим, а численным методом или вообще избрать другой путь интегрирования.
Полная величина возмущений орбиты, вызванных гравитацион ным полем Земли, получится, если в уравнения Лагранжа (40) под ставить возмущающий потенциал (56) и затем интегрировать по вре мени аналитическим или численным методом. Если исключить из этой полной величины вековые и долгопериодические возмущения, то останутся возмущения короткопериодические.
Короткопериодические возмущения появляются, если в уравне нии (56)
1-2р + дф0
или
тфО,
или
I — 2p + g=f0 и тфО.
Эти короткопериодические возмущения, вызванные полем силы тя жести Земли, имеют периоды
|
/тт 1 т \ rp 1 гр |
|
п |
|
|
где |
Г — период обращения спутника, a d — продолжительность |
су |
ток |
(точнее период 6 — Q). |
|
|
Амплитуды коротко периодических возмущений редко превышают |
|
7 0 - 1 0 0 м. |
|
|
|
Они значительно меньше, чем вековые и долгопериодические |
воз |
мущения, и поэтому определить их намного труднее. Так как при короткопериодических возмущениях появляется условие т =f= 0, то путем анализа этих возмущений получают возможность определения тессеральных и секториальных гармоник. Мы остановимся подробно на этой проблеме при обсуждении динамической спутниковой гео дезии.
Здесь нельзя подробно представить аналитические выражения для короткопериодических возмущений, так как они слишком сложны для этого.
При практических вычислениях их получают из уравнении (56) и (40) на электронных вычислительных машинах.
Для отдельных волн в короткопериодических возмущениях спут ника «Авангард 1» (а = 8,7 Мм; е = 0,19; і = 34°) Каула [6] вы числил табл. 2. Она содержит полученные статистически вероятные
значения для коэффициентов |
С1т и Sіт соответствующей сфериче |
ской функции. |
|
|
Т а б л и ц а 2 |
Амплитуды некоторых |
короткопериодических возмущений |
в орбите спутника «Авангард-1»
1 |
т |
Р |
я |
Д Я ( т ) |
2 |
2 |
1 |
0 |
- 1 1 5 |
3 |
0 |
1; 2 |
0 |
+ 2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
- 4 |
4 |
1 |
2 |
0 |
- 1 0 5 |
4 |
2 |
2 |
0 |
- 2 5 |
6 |
1 |
3 |
0 |
+ 7 4 |
Дм (т) |
А М і (т) |
Дг ( т ) |
Да ( т ) |
Де ( т ) |
+ 3 0 |
- 6 5 |
+ 7 7 |
0 |
0 |
- 1 0 |
—9 |
- 3 |
—4 |
0 |
+ 3 3 5 |
- 2 1 2 |
+ 2 |
0 |
—54 |
+ 2 8 9 |
- 5 |
+ 3 7 |
0 |
0 |
+ 9 2 |
- 5 |
- 4 1 |
0 |
0 |
- 5 8 |
0 |
- 3 |
0 |
0 |
3.9. ВОЗМУЩЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
При интегрировании по периоду обращения спутника для опре деления вековых и долгопериодических возмущений из уравнений (64) — (69) в интегралах были приняты приблизительно постоянными элементы орбиты е, і, а. Это оправдано для сравнительно низких гар моник / 3 , / 4 , .... Но возмущения, вызванные / 2 , значительно больше и существенно влияют на элементы орбиты, получающиеся на осно вании интегральной формы (62). Итак, при более строгом способе рассмотрения элементы орбиты при интегрировании нужно считать
переменными. |
Из (62) |
получаем |
|
|
|
||
|
I (е' |
1 L 0 , . . . . . . . . d L + ] [ І I е - |
ж } • - й ° ) + |
||||
|
о |
|
|
о |
|
|
|
тт |
dt |
|
dt |
u |
от |
r |
такое соотно- |
Причем e- ^rr |
= e - — — : — г - |
линейно зависит |
J ? , |
||||
^ |
dL |
|
d(co+u) |
|
|
z ' |
|
шение действительно и для производной от этой величины по эле
ментам орбиты |
а, е, |
.... С другой |
стороны |
(а — а0), |
(е — е0) тоже |
||||
линейно зависят о т / 2 |
. Второй интеграл Ае ¥ ¥ |
в правой части послед |
|||||||
него уравнения содержит/£. |
Итак, мы имеем возмущения второго по |
||||||||
рядка. Так как члены |
с величинами / 2 |
- / 3 |
, / 2 |
- J * , |
J \ , J t , |
J s - J ^ - - - |
|||
слишком малы, в большинстве случаев ими пренебрегают. |
|
||||||||
Возмущения |
второго порядка |
Де¥ ¥ , Д і ¥ ¥ , |
... для одного |
оборота |
|||||
спутника даны |
Мерсоном |
[10] в |
следующем виде: |
|
|
||||
|
|
Ае** |
= 2JTJ22 ( 4 Г ) |
е2 2 , |
|
|
(73) |
||
е 2 2 = _ 3 s i n o e [ - | ^ l — | - / ) (1 + e c o s © ) 2 - |
|
||||||||
- 7 ( l - e 2 ) { ( l - | 7 ) _ ( | - f |
/ ) } в с о з с о ] , |
|
|||||||
|
|
|
|
R |
\ 4 |
|
|
|
|
i 2 2 = _ | s i n 2 i [ ( l - { 7 ) e s i n c o + ( - 1 ^ + | | 7 ) e 2 s m 2 c o ] ) |
|||||||||
|
A£2** = 2 я / | [ |
) ^ 2 2 , |
|
|
|
||||
^ 2 2 |
= f cos і [(^|--57) + |
(4-107)ecos(o |
+ |
|
|||||
4 Заказ 2132 |
49 |
ПЕ \ 4
» 2 2 ^ f [ ( - 2 , - f 7 - l f ) ^ C O S C O + ( f 7 - ^ / 2 ) +
+ ( - 2 + f / + | f ) c o s 2 c o + ( - f + ^ 7 - f 7 2 ) e c o s ( o
+ ( - { + f 7 ) e - c o s 3 c o + . . . ] ,
A M ^ = 2 K / | ( ^ ) V
^ 2 2 = f (1 - Є 2 ) " ' 7 * [ ( 1 - | f / + | " 7 2 ) < ^ COS CO +
+(f /--f-^+C1 -!/-iHc o s 2 c o +
+ ( { - i V ^ e c o s 3 c o + - - - ] '
А/з** = 2л7| ^ — j /з2 2 >
P « = - 6 / > e / [ ( l - | / ) s i n c o - ( ^ ~ | | 7 ) e s m 2 c o ] .
Чтобы вычислить полные возмущения за один оборот спутника, воз мущения Де,.,, А і „ , ... надо сложить с возмущениями Ае,, А і ¥ , — Конечно, возмущения второго порядка очень малы.
3.10. КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ВТОРОЙ ЗОНАЛЬНОЙ ГАРМОНИКИ
Прежде всего следует подробно остановиться на зависимости большой полуоси орбиты спутника а от периода обращения спутника. Если Г ш — аномалистический период, т. е. время между двумя по следовательными прохождениями спутника через перемещающийся со временем перигей, и если
2я
то, пренебрегая членами высших порядков, получаем
R2 |
( - 1 + | s i n * * ) , |
(74) |
1 + { Л ^ / 1 - е 2 |
||
п |
|
|
где а и п — средние значения, свободные от короткопериодических возмущений, не относящиеся к определенному оскулирующему эллипсу.