книги из ГПНТБ / Арнольд К. Методы спутниковой геодезии

площадь F. Вместо р2 в качестве эквивалентного параметра чаще принимают момент t0, в который спутник проходит через перигей.

Между элементами орбиты и постоянными интегрирования суще­ ствуют следующие соотношения:

Если эти соотношения подставить в уравнение (8), то получим ин­ теграл энергии

где v — линейная скорость спутника.

Для второго закона Кеплера с учетом уравнения (6), подставляя

Иногда при расчетах со заменяют долготой перигея Q -f- со (см. рис. 2).

С помощью уравнения (7) легко приходим к третьему закону Кеплера. Действительно, если (t2 — £х) = Т — период обращения спутника, то соответствующее ему значение 2-(F2 — Fj) — удвоен­ ная площадь орбитального эллипса, равная 2nab. Если заменить р1г используя (12), то с учетом b2 = а2 (1 — е2 ) получим

В то время как шесть элементов орбиты в задаче двух тел постоян­ ны, истинная аномалия v в соответствии с уравнением (14) изменяется со временем. Однако не рекомендуется определять истинную анома­ лию v как функцию времени путем интегрирования уравнения (14). Напротив, получают значение радиуса-вектора г в качестве функ­ ции времени, заменяя в уравнении (13) v с помощью (14), а также исключая гравитационный параметр кМ на основании третьего закона Кеплера (17)

Чтобы космическому аппарату в непосредственной близости от Земли придать такую скорость v2, что его кинетической энергии хватит для преодоления земного тяготения, и он сможет достичь планет Венеры или Марса, необходима, разумеется, значительная энергия.

соблюдения энергетического баланса космического аппарата, име­ ющего достаточно кинетической энергии, чтобы как раз преодолеть земное притяжение, необходимо

2 г

причем если г - V оо, то должно v ->-0. Отсюда вторая космическая скорость или скорость освобождения будет

2.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ СПУТНИКА, ВЫРАЖЕННЫЕ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ

В прямоугольной геоцентрической системе координат, в которой одна координатная плоскость совпадает с плоскостью орбиты и ось х"" которой есть радиус-вектор перигея, движение спутника опи­ сывается следующими уравнениями:

направлению к восходящему узлу, получим для координат в этой

Вращая эту систему вокруг оси х"' по ходу часовой стрелки на величину угла наклона і, а затем вращая полученную таким образом систему по ходу часовой стрелки еще вокруг оси z на величину дол­ готы восходящего узла, так что система х"'', у"', z"' преобразуется в систему х, у, z (см. рис. 2), получим координаты спутника в инерциальной системе х, у, z.

i; + co= L .

Переход от системы x"", у"", z"" к системе х, у, z можно пред­ ставить также следующими матричными преобразованиями.

Если повернем систему вокруг оси z против хода часовой стрелки на угол а (если смотреть с положительного направления оси z на пересечение осей), то координаты х, у, z преобразуются так (рис. 4, а)

Рис. 4. Повороты системы координат с помощью мат­

бв

Вращая систему против хода часовой стрелки вокруг оси х, пре­ образуем координаты следующим образом (рис. 4, в):

С помощью этого уравнения, зная г, г", кМ и а, находят эксцент­ риситет е.

Истинную аномалию v получают по г, р, є из уравнения (11) для радиуса-вектора.

Другое уравнение для v получим, если преобразуем (11) к виду ecos v = — — 1

и потом v продифференцируем по времени. Если при этом подставить вместо v выражение, полученное на основании второго закона Кеп­ лера (14), то

По cos v и sin v однозначно определяют истинную аномалию. Аргумент широты L получается как скалярное произведение век­

тора г и радиуса-вектора восходящего узла и.

г • п

По составляющей z уравнения (24) находят выражение для L

Если истинную аномалию v выразить через эксцентрическую ано­ малию Е, то получается (Брауэр, Клеменс [1])

и наоборот

£ = y - 2 ( p s i n z ; - - | - p 1 2 s i n 2v + ~ р3 sin З і ; - . . . ) .

Истинную и эксцентрическую аномалии v и Е выражают через сред­ нюю аномалию М следующим образом: