книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

В соответствии со сказаны; м выше здесь

f it7 рль

и

- f ьъ - произвольные функции переменных

, 01^ , х 5

и

ности, -связанные с

решением рассматриваемой

задачи.

Пусть

при сделанных ранее

предположениях функции

\

не

Д и

зависят

от времени ^

, и пусть

U )~ произгольная зна­

копостоянная

положительная

функция.

Теорема 5.2.

Любо!, из

законов

управления

u

* ~ 7Г G' Ц

■+■

(5.12)

является

стабилизирующим законом для

системы (ЬЛ 1)9 если'

на множестве

существует

опреде­

ленно положительная функция

\1 О )

,

удовлотворяющая условию

JL Ш

/Г 13

JL

КЪЪ

и многообразие

^

о не

содержит

возмущенных движений

•хС9

замкнутой системы (5Л I),

(5,12).

Доказательство. На движениях системы (5.11),

замкнутой

любым из

законов

управления (5.12),

\j

=, - Л С^9.

Так как при этом многообразие

^

0

не содержит воз­

мущенных движений замкнутой системы,

то справедливость сфор­

мулированной теоремы нг. посредственно следует из теоремы

3.3,

в условиях

которой т._ збовашгз

бесконечно

большого низ­

шего предела может быть опущено.

Заметим,

что

t

область, определенная неравенством

К^ C to i

& W

(5 ЛА)

принадлежит

области притяжения

системы (5Л 1),

(5.12),

ес.-и

'«оос. С VI

сэу

при

Нолич*)

^

icvu

C.\J

L" j

при

Uос.Ц

sj)

,

и

- системы

(5 .1 ),-(3 .5 ), если

sup

(_\kx,t;

при цбсди ч»

;х>/ &)

<

OVf (XJlxv4j ПрИ

\[хД с S } ^ о )

Пример. Рассмотрим спс

ему

^

-v ^

•>

(5.Т5)

ПуСТЬ

\d- **-

о)о

Л

- oL '

NM

•г. ч

тогда

V =* Ос}" 4 ОС^

и в соответствий

с теоремой-5.2 множество законов

управлени?

\к~

t P (,Coah ^ ) 4

;

(5.1-6)

.4 * -РпЛ'*1>0Ч )0Ч

обеспечивает стабилизацию системы (5ПГОз если

~* *'Vзос^о)

f

ci}о) *' 0

*?>*. iot<{ 4-й."

/+« Определение-свойств стабилизирующих законов» Шю-

жеотво

•;

табидизируюшдх-

законов управления (5.3) определено

0

о точностью-до произвольных функций -л

. Ч] и

р

. &?~

?естзеьно, что св йства полученных зав: ’ов.-оу^есжееяным

образа» зависят, от'выбора ш*званшх иункдий*

Тесня ла 5 . Г»

Пусть на множестве (2-Лч)

(^v:ЧТ7

' "J^

( X ,ir)

> 0

и пусть

* i • 4

vw"a'-‘

®-ST '+

.

(5 Л&)

” ^

- любой зако^

унравлеь ии

из получекногемножества

(3. >). На

ВСОл ДВ;

.ениях -сйот^мыi

(5 .1 ;,

начипаш.йхоя в оодаоти

(5 л 4 ),

'Sa

закон управлею;.

(5.18)

доставляет минимум функциикалу

ос

Ц)

I[ ‘ГЧ ^ >t;-

plX,U) -Р^ TU.^j

-(5.1-9)

Ф •v' .t) -

% ч.ХД) - 5 t

,-t)+

( p, P>) —

; &<v ~~ 4j

'

' ^

a

> M ■

и

< 3 X /

к

/’ iJ Л'!

1W

•N 'v

.=•

"V ( '$

?»x.

5,<гОЛ

A . _

'

-

2, ' «>. ■

Лаи дика&атель»* ея

?•г;оj>ejhu. босноаьзуемоя методом дя-

' i JKOPO

ЯрОТраК. .ИРОНИЯ

и Hi. йдеы .закон

упразлеийй^ CupfcH-

mt-ymnt а^иьптоийчеекуь v--.*o$w

j i i с*истоме (5Л ;

и ыики-

х у и ^ у - я к д й о н а д о

•

{ Ь Л 9 ; *

Л

- F

■зь^ттно

f ?]

г,

решение

&^ой

з д д а - и

м о ж е д

С а д В

Я 0 Л ‘У*ЧУК4)

•„.. тг

\

• */■

г

2.

.г

Л

.1 .. "I

‘ Г

{

;

oU.tmtf*:. >

‘> ' С х

} о

^

т д л , ]

И ф

ЬО

GiK'jiaCHO

ТфИ'ЧИЙП v

jfiv.ril-'-OvibHOCl’>? odilJiU^nЭ p ДО ЛбИ'ВО-*

р-яет •ураганеи;г.о

*«*• [ф 1.х5с)-

J-- {.р.и) а- j

д^ц)

zA,*

/ й $° ,, Г . Л

д 3 \

4- •'---

-:•*• -г (*?•\L }

-*■

~ ~ V- О,

Чг^ГУ

и

Ъ Ъ

_ лЬ, . .v

A .,. г. ■ > t'bb

пс{*-\ • /,. <<• с')

,,о

“

-- 4A,*;t)-

-Г цр?) “

Л \ U }V ‘ (5«21)

’-’^дОиаТОЛ-ЬНО ,

I

\ л 5'oV

. ,

vj.

„А

1А

Д <• II +Р^А)

т ^

УРС Х;^

<,д _

UO

что и доказывает сформулированную теорему.

Гшетим, что при выполнении

«равенства

лю­

бой из за онов управления (5*12)

является законом,

оптима­

щем функционале

явл-згся

неотрицательной. Имея произвол в

выборе функций S

, М ,

Vs! и £>

им можно распорядиться

таким образом, чтобы функция

- у- Cppuj ч-

с«,ч)

то, что

требование минимчма функционала (5.19) имеет смысл

и тогда,

когда условие

Фг

X" СМ) 4 д-

^ О

не выполняется. Более того, в отдельных случаях функция

може

быть и определенно отрицательной, но требо­

вание м нимума.

функционала (5Л 9) всегда

имеет смысл, когда

асимптотически устойчива на множестве (5.5). Естественно,

что в этом случае управление по любому из найденных законов

нуждается ъ дополнительной аргументации,

Подобная

ситуация,

например, возникает в системе (5.15) при

ы - 0 ,

когда р^ль

управления (5Л 6), грубо говоря,

сводится \Н выбрасыванию

А

возмущенных движений системы с многообразия

о

■J

«>

Рассмотрим

одну из сторон исследуемо# проблемы,

связан-

ную с теоремами 5 Л , 5.3. Пусть

<з

- закон

управления,

U-Coc; y

\

обеспечивающий асимптотическую устойчивость системы (5 I)

при некотором векторе

и ц р ° с ^ Uф о

. Обоз­

начим ч е р е з -

совокупность устройств,

необходимых для

формирования U0

, и рассмотрим, ситуацию,

возникающую в слу­

г

^ ъ

Анализ выра Г.ения

(5.22)

и условий

теоремы (5Л ) показы­

вает, что при решении

конкретных

зада,

ота ,‘илизации сущест­

вует принципиальная возможность

отказа

тсти формирующих

устройств, не прит дящего . потопе устойчивости

замкнутой

системы. Справедливость сказанного

шовываетол

на следую­

щем утверждении: закон управления

р ,2 2 ) яр-;яется

ста лизи­

рующим законом для системы (5 Л ),

если на мигает

не'

р«р«.

л

?'*-Ьъ /

- f11рч p,i р,» рХ + рг\

§ 6.

Синтез абсолют!")

устойчивых систем

I. Постановка задачи.

Рассмотрим нелинейную регулируе­

мую систему

** э с -

itc c

+ Ъ

(6Л )

где, как

и раньше, те

- вектор переменных ос.л, . . . ,

ьс.^ ,

по которым стабилизируется

система, А и В -

постоянные

(vtxvt)

и I*

- матрица,

U- - вектор управления,

^£(ц,-у -

не­

прерывная вектор-функция, характеризующая исполнительные

устройства. При решении конкретных задач стабилизации ха­

рактерно тигии

исполнительных устройств могут быть определе­

ны лишь с той

или иной точностью, и в само» общем случае

относительно функции

^

может бытт

известно только, что

и ЯРИ всех

u .to

,

ь

^

(6,2)

где

- заданные положительные числа,

допустимыми законами управления для системы (6Л ) счи­

таются

законы вида

0L =. JV сс

(6,3)

где 1C -

постоянная (rv^x-vv) _ матрица.

Задача 6 Л .

Дано множество допустимых законов управления

(6,3).

Требуется

и з.(6,3)

выделить

законы управления, обес­

печивающие асимптотическую устойчивость системы (6Л ) при

любых начальных возмущениях

и любых характеристиках

исполнительных устройств (6.2).-

2,

Стерилизация

линейных регулируемых систем. Решен

поставленной задачи начнем с построения множества законов

управления (6,3),

обеспечивающих стабилизацию линейной сис­

темы

i

» • д ОС•* Вес»

(6*4)

Такой подход к

ис шдованию р .осматриваемой

проблемы

(6Л ), является

решением задачи

о

стабилизации

и для сис­

темы (6.4),

если

t V

^ \)г_ «

Пусть

\М

Q эе,

f где d

-

произвольная

определенно

ше,

любой из законов упивления

U.

^

o'VJ

р ,

. п}

2,

& -&Х.

ЛC'Xjtr) и

обес! гчивает стабилизацию системы

(6о4),

если М определе

ьно положительная фу. кция и

V±

-V

("ЪЫ

-гз о) ^

в-с < - -x'Q* - ( д Д

х ) -V

г. Vvx>D D

Неравенству

(6.5), очевидно, можно удовлетвогить, положив

Jv «■<и>'л%Ь> «

} \1

s. 'Л Г X. ,

где

Г

-

постоянная

матрица* В

этом

случае

*!* ГВБУх.

и (6.5)

эквиалентно.матричному

неравенству

О ^

-

Q -

Г А -

А

Г +

2.Д Г SB1Г.

( 6 . 6 )

Порождаемые

Г

законы

стабилизации

находятся в я-иде

Ы-

-

(Л Е -v1 pVx,t)J t Гх,

(6.7)

гд*3

Е

-

единичная матрица.

Полученные

законы

буд^ г оп­

ределены на множестве допустимых законов управления, если,

СОХраНИВ

СВОЙСТВО

Р ^ 2 - 0 * В (6.7, ПОЛОЖИТЬ

Р -