книги из ГПНТБ / Ермолов Р.С. Цифровые частотомеры

П р и измерении периода требования

к л о ж н ы м

с р а б а т ы в а н и я м

ф о р м и р у ю щ е г о устройства становятся

более

жесткими,

т а к к а к

появление д а ж е одного ложного с р а б а т ы в а н и я приведет

к

сбою

измерения . К а к видно из в ы р а ж е н и й (4-38) и

(4-39), число

сраба ­

тываний п р я м о пропорционально длительности.

П о к а з а н о [33], что если на каком - то

интервале

времени

число

сов

совпадает с

вероятностью

одного

выброса .

Отсюда,

имея

в виду, что выбросы помехи

приводят к л о ж н ы м

с р а б а т ы в а н и я м

формирующего

устройства,

правую часть

в ы р а ж е н и й

(4-38)

и

(4-39)

м о ж н о приравнять

веро­

ятности

одного

л о ж н о г о

с р а б а ­

тывания

p =

Nm.

Полученные

в ы р а ж е н и я

поз­

воляют

в ы б р а т ь

п а р а м е т р ы

из­

мерителя

и

сигнала

(a,

Af,

AUo,

Um) так ,

чтобы

вероятность

по­

явления

сбоя

измерителя

не

пре­

Рис.

4-4. Временной интервал, за­

в ы ш а л а заданного

значения.

Таким

образом,

с у м м а р н а я

данный двумя

импульсами

погрешность

цифрового

измери­

теля временных

интервалов

при

торых определяются

в ы р а ж е н и я м и

(4-2),

(4-31) или (4-32) и

(4-37). Среднеквадратическое значения

суммарной

относительной

погрешности

V

2 №

9

если принять, ЧТО

Ucp/Um<g.\.

Среднеквадратическое

значение

относительной

погрешности

при измерении среднего из п периодов

определяется

в ы р а ж е н и е м :

1

б 2

(4-41)

Период следования и длительность

импульсов. Н а рис. 4-4 по­

к а з а н один период следования импульсов

или

интервал, з а д а н ­

ный д в у м я импульсами . В

этом случае

интервал

7',

поступающий

отличаться от входного. Ф о р м и р у ю щ е е

устройство

при

помехах

имеет зону с р а б а т ы в а н и я шириной

2 Д £ / С р

на уровне

Ucp.

Выходной

интервал может быть представлен

в виде: Т ъ ы х — Т+ДГ.

П р и р а -

щ е н ие AT образуется из приращений в н а ч а л е

и в конце периода.

Эти п р и р а щ е н и я

(АТІ, АТ2)

представляют собой случайные вели­

чины,

определяемые в ы р а ж е н и е м : Д 7 \ = Д Г 2 = Д £ / С р / є ,

где є — ско­

рость

н а р а с т а н и я

переднего

фронта импульсов.

Нестабильность порога

с р а б а т ы в а н и я Д ^ с р

может

рассматри ­

закону

с нулевым средним

значением и дисперсией

о2 . Тогда и

к а ж д о е

из приращений Д7 \

и АТ2 представляет собой

случайную

ним

значением

и дисперсией о ^ =

ст2/е2. С у м м а р н о е п р и р а щ е н и е

AT

будет т а к ж е

случайной величиной, распределенной по нормаль ­

ному закону с

нулевым средним

значением и дисперсией о2 г —

= 2 о д 2 .

а г = ] / 2 а / е .

(4-42)

Р

=

^ у

ъ

*

ф ( _ з о ± м м _ ф

/ д ^

(4-43)

1

2

а

а Д/Г

(4-44)

С

помощью этих

в ы р а ж е н и й можно

в ы б р а т ь » п а р а м е т р ы изме­

рителя и сигнала так, чтобы вероятность появления

сбоя измере­

ния не п р е в ы ш а л а заданного

значения .

Д л я среднеквадратического

значения

суммарной

относительной

том в ы р а ж е н и й (4-31),

(4-32),

(4-2), (4-42)

м о ж н о

записать:

3T2fQ

9

при измерении одного периода и

^ г

= /Д-2

+ г т

^

+ Т

(4-46)

х'О

при измерении среднего из п периодов.

Д л я временного интервала,

заданного

в виде длительности им­

тические и случайные. К систематическим относятся

погрешности,

величина

которых во всех

измерениях

остается

неизменной.

Сами

по себе

систематические

погрешности

могут

быть

различными .

К числу их м о ж н о отнести

следующие

[35—38]:

1.

Погрешности, природа которых

известна

и величина их мо­

ж е т быть достаточно точно определена. Такие

погрешности

могут

быть устранены введением

поправки.

2. Погрешности, природа которых известна,

но

величина

доста­

точно

точно

неизвестна. П р и м е р о м такой систематической ошибки

может

быть

погрешность

датчика,

з а д а в а е м а я

в его паспорте.

Д р у г и м примером такой систематической погрешности

м о ж е т

быть

погрешность

цифрового частотомера,

обусловленная

отсутствием

моментом

н а ч а л а отсчета

образцового интервала времени, опре­

д е л я е м а я

в ы р а ж е н и е м (1

-8). Такие систематические погрешности

ности

возникают под воздействием

совокупности причин,

к а ж д а я

из которых не может быть

п р о а н а л и з и р о в а н а .

Всякое

измерительное

устройство характеризуется

величиной

погрешности. Эта

погрешность образуется из различных составляю ­

щих, среди которых могут быть к а к

систематические,

т а к

и

случай­

ные.

К а з а л о с ь бы

целесообразным

систематические

погрешности

исключить,

введя

соответствующую

поправку,

с к а ж е м ,

в

ш к а л у

прибора . Однако,

если д а ж е систематическая

погрешность

теоре­

исключена. Д л я того

чтобы точно исключить

систематическую

со­

с т а в л я ю щ у ю погрешности после

изготовления

и н а л а д к и измери­

тельного устройства,

необходимо

определить точное значение

этой

величина систематической

составяющей

погрешности

соизмерима

со случайно

составляющей . В этом

случае

систематическую

со­

с т а в л я ю щ у ю

можно о б н а р у ж и т ь только

в результате

статистиче­

ских испытаний. Точное ж е значение

ее останется неизвестным. По­

этому

исключать систематическую

составляющую

погрешности

путем

введения поправки

имеет смысл лишь

тогда, когда она

зна-

Таким образом,

если систематическая

с о с т а в л я ю щ а я погреш­

ности соизмерима

со случайной, то она

д о л ж н а суммироваться

мерительного

устройства образуется случайными

составляющими,

и величина

ее

может

быть

определена

с некоторой вероятностью.

К а к известно

из теории

вероятностей,

полной

характеристикой

случайной

величины

является ее закон

распределения . З н а я за ­

тельных

до положительных значений. При этом погрешность будет

з а д а н а в

виде доверительного интервала и доверительной

вероят­

ности. Д о в е р и т е л ь н а я вероятность определяет

степень

достоверно­

сти оценки погрешности

измерения . З а д а н и е

погрешности

только

ее величиной без у к а з а н и я доверительной вероятности

д о л ж н о счи­

таться неверным, так к а к при этом нет никаких сведений

о досто­

верности

заданной характеристики .

Если

р е з у л ь т и р у ю щ а я

погрешность измерительного

устройства

мальному закону,

то з а д а ч а

отыскания

доверительного

интервала

и доверительной

вероятности

решается

просто. З а к о н

распределе ­

персий слагаемых . Д л я любой величины доверительного

интервала,

з а д а в а е м о г о

в единицах среднеквадратического

значения,

с

по­

мощью т а б л и ц интеграла вероятности легко отыскивается

довери­

тельная

вероятность.

К а к

показывает практика,

большинство

составляющих

погреш­

ностей

измерительных приборов имеет нормальный или

близкий

к

нему

закон распределения . О д н а к о в цифровых

измерительных

приборах н а р я д у с составляющими с нормальным законом

распре ­

деления появляются составляющие с равномерным

распределением .

К а к

известно,

композиция

нормального и

равномерного

законов

д а е т закон, отличный от нормального, и определение

доверитель­

ной

вероятности

не может

производиться

с помощью

таблиц,

так

к а к

таковые

отсутствуют.

Н и ж е

приводятся результаты

расчета

д л я случая, когда погрешность образуется

д в у м я составляющими,

одна

из

которых

распределена

нормально,

а д р у г а я — равномерно .

Именно

к

нему

сводится

вопрос суммирования

погрешностей

в

цифровых

частотомерах

и

измерителях

временных

интер­

валов .

Доверительные вероятности в зависимости от значения отношения 6/0

В/о =

0,1

х/а

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

a s =

o K

1,0033

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1

1,6

1 1,8

2,0

1

і

Р

0,1898

0,3943

j 0,5677

j 0,7109

0,8230

! 0,9066

0,9631

0,9908

0,9997

1,0000

і

1,6

1,8

2,0

Й/0 =

О,2

х/а

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

а 2

= 1,0065 а

х/аг

0,199

0,398

0,596

0,795

0,994

1,192

1,391

1,590

1,788

1,987

Р

0,2024

0,3937

0,5632

0,7069

0,8197

0,9020

0,9575

0,9916

0,9998

1,0000

В/а =

0,4

х/а

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

a s

= 1,0265 а

х/а%

0,195

0,390

0,585

0,780

0,974

1,170

1,363

1,560

1,750

1,950

Р

0,1979

0,3833

0,5508

0,6921

0,8044

0,8886

0,9467

.

0,9900

0,9999

1,0000

В/а =

0,6

х/а

0,2

0,6

1,0

1,4

1,8

2,0

—

—

—

—

x / a s

0,189

0,567

0,945

1,320

1,700

1,890

—

—

—

—

a s

= 1,0583 а

Р

0,1882

| 0,5304

0,7810

0,9312

0,9956

1,0000

—

—

—

—

Р/а =

0,8

*/а

0,2

0,6

1,0

1,4

1,8

2,0

2,2

—

—

—

a s = l , l c

0,182

0,545

0,910

1,270

1,635

1,820

2,000

—

—

—

Р

0,1755

0,4999

0,7474

0,9029

0,9807

0,9974

1,0000

—

—

—

1

1

I

1

Р / а =

1,0

х/а

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,6

1,93

2,0

2,3

2,5

x/az

0,350

0,520

0,696

0,870

1,040

1,390

1,630

.

1,740

2,000

2,170

а 2

=

1,15 а

Р

0,3218

0,4680

0,5988

0,7087

0,8023

0,9264

0,9794

0,9868

1 0,9965

1,0000

Р/а =

2,0

х/а

0,2

0,6

1,0

1,6

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

х/аг

0,131

0,393

0,655

1,050

1,310

1,440

1,570

1,700

1,835

1,965

а 2

=

1,526 а

Р

0,1017

0,3023

0,4937

0,7385

0,8590

0,9039

0,9388

j

0,9645

0,9824

0,9938

Р/а =

4,0

х/а

|

0,2

1,0

2,0

3,0

4,0

4,5

5,0

—

—

—

х/а%

0,080

0,398

0,795

1,190

1,590

1,790

1,990

—

—

—

а 2

= 2 , 5 1 6 а

Р

0,0500

0,2500

0,5018

0,7494

0,9195

0,9761

0,996,9

1

—

—

—

Р/а =

6,0

х/а

\

0,2

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

J

7,0

—

—

х/аг

0,056

0,277

0,555

0,832

1,110

1,385

1,660

1,940

—

—

a s

=

9,606 а

Р

0,0334

0,1668

0,3336

0,5005

0,6684

0,8319

0,9538

0,9987

—

—

Р/а =

8,0

х/а

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

а 2

=

4,723 а

х/аг

0,212

0,423

0,635

0,846

1,06

1,27

1,48

1,69

1,9

2,12

Р

0,1248

0,2496

0,3744

0,4992

0,6240

0,7497

0,8720

0,9632

0,9968

0,9993

Р/а =

10,0

х/а

0,2

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

9,0

9,84

10,0

11,0

х/аг

0,034

0,170

0,340

0,511

0,682

0,852

1,532

1,680

1,700

1,870

а 2

=

5,857 а

Р

0,0200

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,8986

j

0,9660

0,9718

0,9987

і

Ф у н к ц ия распределения суммы двух

случайных величин с нор­

м а л ь н ы м

и р а в н о м е р н ы м распределением,

рассчитанная

по

общим

п р а в и л а м

[39], имеет вид:

Р(—х<Х<х)

Ф

Ф

•р

4Р

2х

ехр

о

/

я

2о 2

-ехр

2 о 2

(4-47)

где

о 2 — дисперсия

случайной

величины,

распределенной

нормаль ­

но;

2 р — интервал

значений (от — р до

+ р) случайной

величины,

распределенной равномерно;

Ф((/) — и н т е г р а л

вероятности

вида:

Н и ж е приводятся

результаты

расчета

вероятности

того,

что

случайная

величина

примет значение,

у к л а д ы в а ю щ е е с я в интервал

(—х,

х)

д л я нескольких значений

отношений

р/а, т. е. д л я

различ ­

ных мощностей одной и другой случайной

величин.

В табл . 4-1 и 4-2 через

a s обозначено

суммарное среднеквадра ­

тическое значение двух случайных величин,

определяемое

к а к

где

z =

p/a.

(4-48)

Н а

основании

табл . 4-1 был рассчитан

доверительный

интервал

с доверительной

вероятностью

0,98

д л я

различных

соотношений

нормальной и равномерной составляющих . Результаты

расчета

приведены

ниже:

Таблица

4-2

Доверительный интервал в зависимости от отношения

р7ст при р = 0,98

Р/с

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

х/ае

1,50

1,50

1,50

1,56

1,62

1,68

1,81

1,81

1,75

1,75

1,74

В табл . 4-3 приведены значения доверительной вероятности при

различных

соотношениях

нормальной и

равномерной

составляю ­

щих д л я доверительного интервала, равного х = 2а%.

К а к

видно

из табл . 4-2, 4-3, д л я случайной

величины,

представ ­

л я ю щ е й

сумму

двух

случайных

величин,

одна

из

которых

распре ­

делена

нормально, а

д р у г а я равномерно, при заданной довери­

тельной

вероятности

доверительный интервал

всегда

меньше,

чем

Таблица

4-3

Доверительная вероятность

в зависимости

от

отношения (З/ст

Р/о

0,1

0,5

1,0

1,5

1,73

2,0

2,5

3,0

4,0

6,0

10,0

р

0,9999

0,9999

0,9999

0,9998

0,9976

0,9965

0,9954

0,9955

0,9998

0,9999

0,9999

д л я нормально распределенной случайной

величины. Пр и

относи­

тельно

малом удельном весе

равномерной

составляющей

(р7а =

= 0,1 — 1,0)

доверительный интервал, не п р е в ы ш а ю щ и й

± 1 , 7

аъ

характеризуется

доверительной

вероятностью

р = 0,98.

Пр и

неиз­

сколько

расширяется, к а к только мощности

составляющих сравни­

ваются,

а

затем, по мере роста мощности равномерно

распреде ­

ленной

составляющей,

доверительный

интервал

сокращается снова

и в пределе определяется равномерно распределенной

составляю ­

щей.

К а к

видно из

табл .

4-3, д л я

доверительного

интервала

х =

= ± 2

а 2 в

д и а п а з о н а х

соотношений

р/сг = 0,1Ч-1,0

и

р / а > 3

дове­

рительная

вероятность

п р и б л и ж а е т с я

к

единице.

В

д и а п а з о н е со­

отношения

1 < р / о ^ З

доверительная вероятность несколько мень­

ше единицы, оставаясь, однако, не менее 0,99 с минимумом

в об­

ласти

значения отношения р,'а = 2,5.

Отсюда

м о ж н о

сделать

вывод

о

том,

что

если

погрешность

образуется

ка к сумма

двух

составляющих,

одна

из

которых

рас ­

пределена

нормально,

а другая равномерно, в широком

д и а п а з о н е

соотношений

мощностей

составляющих

( р / а > 0 , 1 )

с доверительной

вероятностью,

не меньшей

0,99, все в о з м о ж н ы е

значения

погреш­

ностей

будут

у к л а д ы в а т ь с я

в интервал

А = ± 2

а 2 -

4-4. Сравнительный анализ частотных и временных сигналов

Сигнал

в виде

частоты. К а к показано

в

§ 4-1,

погрешность

при измерении среднего значения частоты определяется

в ы р а ж е ­

нием

(4-5). В этом в ы р а ж е н и и коэффициент

/

характеризует до­

верительный интервал

д л я случайной

составляющей

погрешности.

Последняя образуется

из нормальной и равномерной составляющих .

Причем

с о с т а в л я ю щ а я

с

нормальным

законом

распределения

коном. Поэтому на основании

табл . 4-3 можно выбрать / = 2, чему

соответствует

доверительная

вероятность,

б л и з к а я

к

единице.

В ы р а ж е н и е

(4-5) довольно громоздко.

Анализ

веса

к а ж д о й со­

мерения

по в ы р а ж е н и ю (4-5) довольно

затруднительны .

Все эти

вопросы

решаются значительно проще

при переходе к

анализу

2

т.

(4-57)

Yf = T0fxV

Tofo

З

В таком виде ф о р м у л а погрешности

приобретает удобный

н а г л я д ­

ный

вид.

Н а рис. 4-5

отмечены

точки, рассчитанные по в ы р а ж е н и ю

(4-57).

К а к

видно

из

рис. 4-5,

в ы р а ж е н и е

(4-57) с

большой

точностью

описывает х а р а к т е р погрешности

и

с успехом

може т заменить вы­

р а ж е н и е (4-5).

Кривы е

рис.

4-5 п о д т в е р ж д а ю т

ф а к т роста

точности

измерения

нием времени

измерения

увеличивается и м а к с и м а л ь н о достижи ­

мая

точность,

и д и а п а з о н

частот, измеряемы х с заданной точно­

стью. О д н а к о

измерять широкий диапазон частот с одним и тем

ж е

временем

измерения

нецелесообразно, т а к как получается

приводит

к

тому,

что

в

начале д и а п а з о н а

точность

м о ж е т

ока ­

заться довольно

низкой,

а

в

конце д и а п а з о н а — слишко м

высокой.

Поэтому

выгоднее д и а п а з о н измеряемы х

частот

р а з б и в а т ь

на

под­

диапазоны .

Так,

задавшись ,

например,

минимальны м

значением

точности

Л / т і п = 1 0 0 0 и м а к с и м а л ь н ы м

Л / т а х = ЮООО,

на

основа­

нии рис.

4-5

д и а п а з о н м о ж н о разбить на поддиапазоны .

П е р в ы й

поддиапазон

удобно выбрат ь в пределах

от

1 до

10 кгц,

второй —

от 10 до

100

кгц

и т р е т и й — о т

100 до

1000

кгц.

Л о г а р и ф м и ч е с к а я

характеристик а точности для такой разбивки на поддиапазон ы

на

рис. 4-5

выделена

жирной

линией. Т а к а я

характеристик а

значи ­

тельно равномернее по сравнению с характеристикой д л я

однодиа -

пазонного случая .

Наконец ,

рис.

4-5

позволяет

оценить

роль к а ж д о й

из

состав­

л я ю щ и х ,

о б р а з у ю щ и х погрешность измерения частоты.

Л о г а р и ф ­

мическая

характеристика

точности трех

поддиапазонов

измерения

располагаетс я в

самом

н а ч а л е

соответствующих

однодиапазонных

сокую точность измерения, а с другой стороны, — у т в е р ж д а т ь ,

что

при

измерении

частоты

с точностью

порядка

10 0004-20 000,

ха­

рактерной д л я

большинства практических случаев, погрешность

м о ж е т описываться

только погрешностью нуля,

поскольку

состав­

л я ю щ а я , обусловленная

погрешностью

чувствительности,

оказы ­

вается значительно меньшей. Таким образом , очень часто

отпа­

дает

необходимость

учитывать систематическую с о с т а в л я ю щ у ю