книги из ГПНТБ / Ермолов Р.С. Цифровые частотомеры

Фирма «Бекмен Инструменте» в 1969 г. разработала

многофункциональный

прибор [29], который наряду с общепринятыми функциями

(измерение

частоты,

временных интервалов и т. п.) выполняет функции выходных

устройств систем

сбора данных. Прибор модели 1248 измеряет частоту до

136

Мгц, временные

интервалы, считает импульсы. Кроме того, прибор способен

раздавать

информа­

цию по командам как извне, так и от собственного программирующего

устрой­

Прибор способен

осуществлять

масштабирование

и выполнять функции цифро­

вого компаратора

с выходом

на сигнализацию.

Может измерять температуру

oR = \l{V$N)=\t{VZT0fx).

(4-1)

Д р у г а я с о с т а в л я ю щ а я погрешности, обусловленная

отсутст­

той /о, определяемая в ы р а ж е н и е м (1-8), характерна

д л я

цифровых

частотомеров,

у

которых

на

входе

счетчика

и

делителей

ча­

стоты включены схемы

совпадения,

у п р а в л я е м ы е

триггером

запу­

ска. Эта с о с т а в л я ю щ а я

погрешности

всегда отрицательна

по

знаку .

А б с о л ю т н о е

значение

ж е ее

имеет случайный

х а р а к т е р

и

может

принимать л ю б ы е

величины

с

равной

вероятностью

в

интервале

O-r-To'/To, где

ТУ = l / f — период

колебаний генератора

образцовой

частоты.

С о с т а в л я ю щ а я

погрешности,

обусловленная

з а д е р ж к а м и

в

де­

лителях частоты

и определяемая в ы р а ж е н и е м

(1-9), х а р а к т е р н а

д л я цифровых частотомеров

с переключением пределов, в которых

считать, что бшах — Зокв,

то

среднеквадратическое

значение

по­

грешности

от нестабильности

кварцевого

резонатора

а к в =

б/3.

(4-2)

О б щ а я

погрешность образуется всеми

перечисленными

состав­

л я ю щ и м и . Среди рассмотренных

составляющих одна, определяе­

мая в ы р а ж е н и е м (1-9), является

систематической. Кроме

того,

по­

грешность,

о п р е д е л я е м а я

в ы р а ж е н и е м (1-8), всегда

постоянна

по

этой погрешности может

быть

принято

\ 7 о = l/(2Vo) • Тогда

эта

со­

с т а в л я ю щ а я может

быть

учтена с ее знаком и отнесена к

система­

тической, или

V

-

т д е л т т г

1 _

(4-3)

І С И СТ

_ ,

_ , ,

•

4

'

* о

'о/о

С о с т а в л я ю щ и е погрешности, определяемые

в ы р а ж е н и я м и

(4-1)

и (4-2),

образуют

случайную

составляющую,

среднеквадратиче ­

ское значение которой

(4-4)

Н е р а с с м а т р и в а я пока

вопрос о доверительной

вероятности,

по­

лучаем

в ы р а ж е н и е

д л я общей

погрешности

цифрового

частотомера

средних

значений:

Yf = Тсисх ± / а с л =

±

/ і

/ ^

+

Т

'

( 4 " 5 )

1 о

1 oh

г

о і

о' х

у

где j — некоторый

постоянный

коэффициент,

я в л я ю щ и й с я

функ­

цией доверительной

вероятности, р а с с м а т р и в а е м о й

в

§

4-3.

лезного сигнала .

Рассмотри м сначал а погрешность от пропуска сигнала .

Пусть

полезный

сигнал имеет вид:

s (t) =

Um

sin (at.

(4-6)

Н а п р я ж е н и е , поступающее

на вход

ф о р м и р у ю щ е г о

устройства,

x(t)

= s{t)

+

l(t),

(4-7)

где

| ( 0 - — ф л у к т у а ц и о н н а я

помеха.

Ucp

Если ф о р м и р у ю щ е е устройство

имеет

порог

с р а б а т ы в а н и я

(рис. 4-1), то д л я

пропуска

одного

периода ТХ

полезного

сигнала

необходимо и достаточно, чтобы в течение времени

Т/2

функция

x(t)

был а меньше уровня

Ucv

или

I (t) <

Ucp -

Um

при 0 < t < TJ2.

(4-8)

Вероятность того, что в любой момент времени внутри

ука­

занного интервала помеха не превышает уровень UCP—UM,

м о ж н о

рассчитать, з н а я одномерный закон рапределени я / ( £ ) ,

п

о

фор­

муле:

Ucp~Um

f{l)dl.

Р =

Г

(4-9)

—со

О д н а к о

условие

(4-8) д о л ж н о

выполняться

в течение

времени

Тх/2.

Это существенно

у с л о ж н я е т

задачу .

Р е ш и т ь

ее

м о ж н о

при­

ближенно .

Р а з о б ь е м интервал

0—Тх /2

на участки

с

шагом

AT.

Если потребовать,

чтобы

время

AT" п р е в ы ш а л о

интервал

корреля ­

ции

помехи А 7 ' > Т к о р ,

то

значения

случайной

величины

І

в к а ж ­

дый

момент АТІ м о ж н о

р а с с м а т р и в а т ь

к а к случайные

независимые

величины с законом распределения f ( K - Вероятность того,

что ни

одно из значений %І В моменты

АТІ

не превысит

величины

£ / с р — U M

м о ж н о представить

в виде:

p[l(t)<

Ucp

-Um}=poPlp2

. . . рп = р п +

\

(4-Ю)

где

п=Тх/(2АТ).

С учетом

(4-9) в ы р а ж е н и е (4-10) принимает вид:

л + 1

P\l(t)<Ucp-Um]

і

f(l)dl

(4-11)

Если

измерение

частоты

производится

в течение

п р о м е ж у т к а

То,

и з а это время

на вход ф о р м и р у ю щ е г о

устройства

поступило W

периодов,

из которых

было

пропущено

Пі периодов,

то

отношение

n1 = N

Ф

U с р •

U г,

+ 1

(4-12)

где

Ф (х) =

-ІЧ2dt

интеграл

вероятности.

/ 2 л

В ы р а ж е н и е

(4-12) позволяет оценить погрешность, обусловлен­

ную

пропусками

полезного

сигнала. Оно показывает, что

пропуски

можно устранить соответствующим выбором величин

Ucv

и и„

Так, у ж е при

> 4 число

пропусков щ практически

равно

нулю.

Значительно

сложнее обстоит

дело с «лишними»

импульсами

на выходе формирующего устройства или с л о ж н ы м и

срабатыва ­

ниями. Н а рис.

4-2 представлена

сумма полезного сигнала

вида

на з а д а н н о м

уровне. Здесь

случайный

процесс X(t)

представляет

собой

сумму

гармонического

колебания

и нормального стационар ­

ного

ш у м а :

X(t)^Umsm«>t

+

l(t).

(4-13)

бросов;

N1^(0)

= -^-V—Ro

— среднее

число

выбросов

нормаль­

ного

стационарного

шума

в

единицу

времени на

нулевом

о"

d2R

(т)

I

D . .

уровне; Но=

d-r2

—

;

А ( Т ) — н о р м и р о в а н н а я

корреляционная

т = 0

функция;

a==Um/a;

Ь = аі£>і\/Г

— R0

;

ср (г) =

Ф ' (г) =

е - *<» ; ф * » ( г ) =

*L

ф

( г

) ;

К 2п

гіг2™

i F i ^ - — ^ - ; п + 1;

г " ^ 2 ) — в ы р о ж д е н н а я

гипергеометрическая

функция;

ст — среднеквадратическое

значение

шума .

Это в ы р а ж е н и е имеет вид

ряда . Число

членов,

которое

необхо­

димо

учитывать,

существенно

зависит

от

а,

равного

отношению

с и г н а л / ш у м .

Чем

больше

а,

тем

медленнее

сходится

ряд, т. е.

практические

расчеты для

р а с с м а т р и в а е м о г о

случая

о к а ж у т с я

ставлено в виде комбинации элементарных

функций, что не позво­

л я е т провести его строгий анализ и с ф о р м у л и р о в а т ь

обоснованные

требования к п а р а м е т р а м , определяющим

погрешность измерения .

О д н а к о м о ж н о получить приближенное

решение

поставленной

задачи . П р е ж д е чем приступить к решению

задачи, необходимо от­

помехи д о л ж н ы быть относительно малыми . В противном

случае

будет

происходить

большое

число

л о ж н ы х с р а б а т ы в а н и й

форми­

рующего устройства, и н о р м а л ь н а я работа прибора будет

нару­

шена .

В отсутствии помех при поступлении на вход полезного

сигнала

вида

(4-6)

ф о р м и р у ю щ е е

устройство

с р а б а т ы в а е т в

момент

(рис. 4-2)

при

s(to) = Ucv.

В присутствии помех ф о р м и р у ю щ е е

устройство может

сработать

впервые в

момент ti = t0—Ді,

а

в

по­

следний р а з

в момент t2=t0+A2.

В интервале t2—^=Д1+Д2

воз­

м о ж н ы

л о ж н ы е с р а б а т ы в а н и я

формирующего устройства. Д л я

мо-

мента ti можно

записать

условие с р а б а т ы в а н и я

формирующего

устройства:

S ( ^ 0 - A 1

) +

5 ( ^ O - A I ) = L/CP-

( 4 - 1 5 )

Аналогичное

в ы р а ж е н и е

можно записать и д л я момента

h. Ин ­

тервал времени

A i является

случайной величиной.

Кроме

того,

солютные

значения

A i

малы .

В таком

случае,

если

считать

функции

s(t)

и

l(t)

непрерыв­

ными и имеющими все произ­

водные

при

t = U,

то

слагае ­

мые

в

левой

части

в ы р а ж е ­

ния

(4-15)

м о ж н о

р а з л о ж и т ь

в р я д

Тейлора в окрестностях

точки U и ввиду малости А4

членами,

начиная

с

квадра ­

тичного,

м о ж н о пренебречь.

П р е о б р а з у е м

в ы р а ж е н и е

(4-15)

s(t0

— A j . ) - f - i ( £ 0 — A 1

) =

s ( ^ 0 ) +

Р и с

- 4 "3 -

м ° Д е

л ь процесса,

представля-

f~5Uo)—[s

/

(^о) ~Ь

t

к

и

ющего сумму

полезного

сигнала и вы-

S (^о)]^1=

^ср-

сокочастотной

помехи

Отсюда, с учетом равенства s(i0)

=

Ucp,

получаем

д =

Ш

=

ь

>

/ 4 . 1 6 ч

*'Со) + Г

Со)

'

S

С ошибкой в сторону завышения

можно

принять

A i = £/s'.

(4-17)

Совершенно

аналогичное в ы р а ж е н и е

получается

и

д л я интер­

в а л а Аг. Если шум

|

представляет

собой

нормальный

случайный

процесс

с нулевым средним и дисперсией

а2 , то интервалы Ai и Аг

мальному закону,

с дисперсией

* 2 д 1 = * 2 д 2 = < * 2 / ( 5 ' ) 2 -

( 4 - 1 8 )

Тогда за м а к с и м а л ь н о е значение интервалов А) и Аг

м о ж н о

принять

- \

А =

A im a x =

А 2 m a x =

3 a A 1 v З а Д 2 = 3<r/s\

(4-19)

Таким образом, л о ж н ы е с р а б а т ы в а н и я

формирующего

устрой­

ства при к а ж д о м

пересечении полезным сигналом уровня Ucv воз­

м о ж н ы на интервале времени, равном 2А.

Д л я решения

поставленной з а д а ч и случайный процесс

(4-13)

представим следующей

моделью

(рис.

4-3): шум l(t)

считаем

с нулем на уровне Ucp

и будем отыскивать

число пересечений

шума

с гармоническим сигналом

s(t).

Всякое ф о р м и р у ю щ е е устройство

имеет

некоторый

гистерезис,

т. е. порог

с р а б а т ы в а н и я его Ucv

не равен

порогу

отпускания

U07u.

Пусть UCp—Uorn=AUo.

Тогда

к

л о ж н ы м

с р а б а т ы в а н и я м приведут

такие

выбросы шума,

которые

по

р а з м а х у

будут

не

менее

разно ­

сти s(t)—Uojn

= s(t)—(/cp

+ Af/o.

И

если

помеха

рассматривается

с нулем на уровне

£/0 р, то з а д а ч а

сводится

к отысканию

числа вы­

бросов помехи на уровне A = s(t)

+

AU0.

В работах [32, 33] приводятся

в ы р а ж е н и я

д л я среднего

числа

выбросов нормального

случайного

процесса

в единицу времени на

з а д а н н о м

уровне:

= ±V^^

{-£;).

NAC)

( 4 - 2 0 )

При этом функция корреляции

случайного

процесса

имеет вид:

А ( т ) = . - о а # ( т ) .

(4 - 21)

В наше м

случае

функция

корреляции

може т

быть

принята

вида

( 4 - 2 1 ) ,

а уровень

C=A—s(t)+AU0.

Тогда

в ы р а ж е н и е

( 4 - 2 0 )

при­

нимает вид:

(A) = ^V^p70 ехр { -

t ' ^ +

f ^

' }

•

(4 - 22 )

Среднее число л о ж н ы х срабатывани й

формирующего

устрой­

ства на интервале

А1 + А2 нетрудно

найти,

проинтегрировав

послед­

нее Выражение В Пределах ОТ Літах ДО А г т а х :

д 2 ma x

^ 1 max

=

4

^

f

е

,

р

\

- Ш ±

Ш

у .

(4 - 23)

о

З а м е н и в на интервале 2 А синусоиду

прямой:

s (t) ^s'

(t0) t = a>Uт

cosarcsin \

t,

после интегрирования

получаем:

aV-R'0

Ф 3a + MJ0

- Ф

A t / 0

( 4 - 2 4 )

4nfUm

cosarcsin (U

Cp/Um)

a

где f—d)/{2n)—частота

гармонического

сигнала .

В ы р а ж е н и е

( 4 - 2 4 )

определяет

среднее

число

л о ж н ы х

с р а б а т ы в а н и й

формирую ­

щего

устройства

при одном пересечении

сигналом уровня

£ / с р . З а

период таких

пересечений будет два . З а время измерения

Т0

сред­

нее число л о ж н ы х срабатываний

формирующего

устройства,

т. е.

абсолютная погрешность

измерения,

составит

N,

2 Г 0

N 1А

.

у :

RQT0

X

2nUm

cosarcsin

(Ucp/Um)

X

ф

За + Д£/0 \

(4-25)

S(t)

Значение V

-R'0

определяется

спектральной

плотностью

ш у м а

4 я 2

f2S(f)df.

- / ? о = ^ 1

Д л я

ш у м а

с постоянной спектральной плотностью S0

внутри

полосы

Af с центральной

частотой /о имеем [32]:

(4-26)

V

- Я ; = 2 я Д / / ] / 3 .

(4-27)

П о д с т а в л я я в ы р а ж е н и я

(4-21),

(4-22) в

(4-20)

соответственно

получаем:

о/о Т0

+ •12

А/

U

За + АС/0 \

-Ф /М/о

Ф

(4-28)

Um

cosarcsin

(Ucp/Um)

а

N

Д / Т 0 а

2

ф / З а + А £ / , \

ф / А с / р ^

[(4-29)

(Ucp/Um)

V Зя

t / m

cosarcsin

Экспериментальная

проверка в ы р а ж е н и я

(4-29)

позволила

сде­

теоретические кривые

имеют одинаковый характер и д л я

частот,

близких к нижней границе шумовой полосы,

экспериментальные

кривые располагаются

вблизи от расчетной,

отклоняясь

от нее

вышает измеряемую, т. е. при неизменной полосе

ш у м а и его ин­

тенсивности с ростом измеряемой частоты ка к

бы сокращается

терные только д л я конкретного

вида интервала .

Период синусоидального н а п р я ж е н и я . Пр и измерении

периода

синусоидального н а п р я ж е н и я

источником погрешности

является

стабильности

момента с р а б а т ы в а н и я

(рис. 4-2)

може т быть

рас­

считана, к а к

и в случае

измерения частоты, по

в ы р а ж е н и ю

A x = £/s'.

(4-35)

или д л я синусоидального

сигнала вида

(4-1)

Л 1 =

і

Т,

(4-36)

2nU т cosarcsin

(Ucp/Um)

где

Т — коммутируемый

период. Т а к а я

нестабильность будет в на­

ч а л е

и в конце периода. Поскольку нестабильности моментов

сра­

б а т ы в а н и я формирующего устройства

в н а ч а л е

и в конце периода

являются случайными и независимыми

величинами с н о р м а л ь н ы м

ст2

~0о2

где а д 1

=

2nUm

cosarcsin

(Ucp/Um)

Т.

Среднеквадратическое значение погрешности при измерении

периода синусоидального

н а п р я ж е н и я

составит

а

Т.

(4-37)

л V2 Um cosarcsin

(Ucp/Um)

При

пересечениях функцией

s(t)

постоянного уровня

Ucp

в те­

чение времени 2Л ф о р м и р у ю щ е е

устройство може т

д а в а т ь л о ж н ы е

с р а б а т ы в а н и я . Среднее число

л о ж н ы х

с р а б а т ы в а н и й

при одном пе­

ресечении

сигналом уровня £ / с р

м о ж н о

рассчитать

по следующим

в ы р а ж е н и я м ,

полученным

-из

(4-24)

с

учетом

(4-26)

и

(4-27) со­

ответственно:

г~

2Um

cosarcsin (UCp/Um)

V

[

\

I

\

°

,

(4-38)

т

n

a

NT=

У*!

]

/

І

[

ф

(

і ^ о )

_ ф

(

^

1 .

(4-39)

2Um

cosarcsin (Ucp/Um)

V

Зя

L

V

о

)

\ 0

/J