книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

Поверхности вращения« Пусть семейство плоскостей ос {-ос1 ) ... представляет собой пучок плоскостей. Носителем

этого пучка будет прямая z ( z ? )р перпендикулярная плос­

кости crf1 . Потребуем, чтобы линия а } была окружностью с

центром в точке 2 ^ (рис. 2 5 3 ,а ). Тогда линия b х будет

окружностью, ей концентрической. Плоскопараллельное пере­ мещение линии у будет представлять собой Вращение вокруг оси z . Поверхность Ф будет поверхностью вращения

(рис. 253,6).

Поверхности Г.Монжа. Пусть имеем некоторое однопара­ метрическое семейство плоскостей ос ( осх ). Возьмем в ка­

честве кривой а г линию, ортогональную к прямым ос^... Тог­

да горизонталь а будет ортогональна к плоскостям семейст­ ва ос ... Линии хода тг... точек А/ ... образующей У тоже будут ортогональными к плоскостям ог ... (рис. 251). Следо­ вательно, в данном случае получаем поверхность Монжа. Образующие у ... этой поверхности являются одновременно геодезическими и линиями кривизны.

Поверхности обкатки. Пусть множество поверхностей ос ш представляет собой множество плоскостей, касательных к цилиндрической поверхности 2 ( ) (рис. 251). Переме -

вдение плоскости ос в пространстве в этом случае называет—

181

ся обкаткой цилиндра Q . Линия Я/ представляет собой

ортогональную траекторию пупка прямых ог? ..., а линия bf —

ее аквидистанта. Эквидистантами к ним будут Лее яѵггппи rzf ... Получаемая-, поверхность Ф называется поверхностью обкатки.

Циклические поверхности. Пусть образующая / представяяет собой окружность. Тогда в зависимости от выбора се ­ мейства плоскостей ot ( о ^ )... и горизонтали а ( a f , а2) но-

лучнм различные циклические поверхности пдоскопараллѳдь - наго переноса. В частности, поверхность параллельного пе­ реноса перейдет в циклическую поверхность с плоскостью параллелизма (поверхность Каталина) (рис. 254), поверх — ноетъ вращения - в поверхность тора« а поверхность Мошка— в ханаловую поверхность.

Поверхности конгруентных сечений общаго вида можно подучить и из поверхностей плоскопа - раллельного переноса различными их деформациями, не изменяющими величин ну и форму образующих / ... Простей - щим видом такой деформации является непрерывное вертикальное смещение образующих f ... Осуществить ее мож­

Рис. 254 но следующим образом.

Примем данную поверхность Ф плоскопараллельного не — реноса, заданную на рис. 255 своей горизонтальной проекци­

ей, за направляющую поверхность деформации Ф ' . Надстро­

им над горизонталью в пространстве линию а ' ( a f = a;a f ). Сместим вертикально все образующие J поверхности Ф в

положение перенеся точки А ... линии а в точки А 1.,,

линии а ‘. Поверхность деформации Ф ‘ будет поверхностью,

конгруентных сечений. Линин хода tt'... точек /Ѵ/ ... новерх-

162

ности ф ' будут своими горизонтальными проекциями гг'..ѣ

совпадать с линиями rzf ...

ному переносу. Они

уже не будут родст-

венными«

Проекции п'2 и п2

траекторий точек N

и N' Образующей f '

получаются одна из

другой сдвигом по

направлениям пря —

мых ос ... на одну и

ту же величину d с

последующим сдви —

том по вертикально­

му направлению на

некоторую величину h

При такой деформации направляющие поверхности плоско­ параллельного перемещения (ja их частном виде доверяю — стей параллельного переноса) также переходят в поверхно­ сти параллельного переноса, а поверхности вращения — в винтовые поверхности переменного хода. Если линия с 7 бу — дет винтовой линией постоянного хода, поверхность враще­ ния деформируется в винтовую поверхность постоянного хо­ да. Поверхности обкатки деформируются в так называемые спироидальные поверхности.

Можно осуществить деформацию поверхности плоскопа — раллельного переноса Ф в поверхность конгруентных сече­ ний ф ' путем непрерывного вращения плоскостей ос ... во - круг их следов о* ... При этом величина угла вращения

163

плоскости с* ^должна быть задана как значение функции па­

раметра t = t n t вьщелшощего плоскость ос ™из семейства плоскостей ос зависящих от параметра t . Возможны и другие виды деформаций направляющих поверхностей с со - хранением формы образующих f ...

Графические способы построения чертежей каркасов таких поверхностей не вызывают затруднений. Они заключаются в

осуществлении операции вращения плоской фигуры у ^вокруг горизонтали нулевого уровня ос™ее плоскости ос п .

Пример 1. Пусть требуется построить чертеж поверхно —

164

жа на расстояниях, равных отрезкам А7А* образующих пи — линдра S от его основания а 1 до линии откоса а 0 . Ле —

кадьная Кривая, проходящая через точки А2 ... будет фрол -

ется по линиям связи точек А , , В 7 яв. горизонтали h2 *

Пример 2. Построить чертеж горизонтальной проекции по­ верхности конгруентных сечений данной кривой / , опираю — щейся на отрезок AB , по нескольким положениям этого се­ чения.

Пусть для определенности известны три положения сече­

кам А , ... пересечения прямых o(f ... с кривой Ä/ легко по­ строить точки Bf ... кривой Ь

165

Рис. 258

Предположим, что кривая <гу на чертеже не задана. Тог­

да ее можно достроить как обвод, проходящий через точки

А?ж г-?

8 8. ОБВОДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Обводом поверхностей называется поверхность, состав — тірттято яз обводов-сечений иди из нескольких отсеков раз - лизинг поверхностей, стыкующихся по заранее заданным точкам или линиям.

Обвод называется гладким, если смежные отсеки его имеют в -точках линий стыка общие касательные плоскости. Построение обводов дает возможность конструировать технические поверхности, удовлетворяющие наперед задан —

ным требованиям.

Лтаимеа 1. Пусть требуется построить отсек гладкой вы­ пуклой поверхности, обладающей в своих точках свойствами поверхности второго порядка, по имеющей несимметричное поперечное сечение S (рис. 260).

Такую поверхность можно сконструировать как гладкий обвод, составленный из четырех отсеков эллипсоидов с о б ­ щей полуосью с , поперечные сечения которых есть эллип - сы с полуосями [ат , б] Э\ь, » az ] , [а2 , Ъ2 ] и \Ь2 , a f] .

186

Пример 2. Пусть требуется сконструировать отсек, глад­ кой поверхности с заранее заданными направляющими линиями а , Ь , с (рис. 281).

Предположим, что линии Ь и с симметричны относитель­ но прямой Af Aff , а л и н и я сі проецируется на отрезок AfAf .

Надстроим над отрезками B)CJ и B^c't Прямоугольники BCBf Ct

и B 'C 'B 'G '-B. проведем и н и х прямые А В, , АСГ и А в ' шА 'c'.

В прямоугольник ВСВу С1можно вписать обвод, составленный

AB и величиной инженерного дискриминанта f - FВ •. FE ,

а дуга A P Cf _ точками А , Сг , касательными в этих точках

АС и Cf С и величиной инженерного дискриминанта f —

= QC i . Q F ,

Рис. 261

Рассечем конструкцию линий а , Ь , с множеством на —

раздельных между собой плоскостей ос'... Каждая такая

плоскость пересечет л и н и и а , Ь и с а трех точках А ' , В'г ,

Cf . Треугольники BfACtи В'а 'С* определяют множество мгно­

венных линейных преобразований Г ...

Во всех этих преобразованиях прямоугольнику Ву В Сßf бу­ дут соответствовать прямоугольники В^в'с'с* ... В силу нн-

167

вариантности простых отношений трех точек для всех прямо­

только дуги эллипсов, но и дуги гипербол и парабол. Линии 5 и с могут быть пространственными и симметричными от­

носительно плоскости ААгА'А’.

Рассмотрим другой способ конструирования поверхности с постоянными дискриминантами (рис. 262).

Зададимся ломаной AMNC и точкой В . Затем строим ду­ ги эллипсов AB и ВС , ааклю — ченные между сопряженными полудиаметрами 01A t О,В я 02 В ,

02 С Рассекая направляющие а , Ь , сс однопараметрическим

множеством плоскостей оС/__ по­ лучаем тройки точек А 1%В ' ,

С' ...» которые с исходными тремя точками А , В , С аире -

Рис. 262 деяжют мгновенные линейные преобразования Г ... В сиду со ­

хранения при мгновенных преобразованиях параллелизма пря­ мых можно в любой плоскости or' построить обвод, соответственный обводу АВС , составленный из дуг эллипсов, за —

ключедных между сопряженными подудиаметрами о]A 7, o'f В '

и 02 В \ 0 2 С'.

Рассмотренным способом можно строить поверхности с любым однолараметряческим множеством плоских сечений лри любой форме направляющих а , Ь , с , лишь бы эти на -

168

правляющпе не лежали в одной плоскости. Дискриминанты

В некоторых случаях обводы поверхностей можно констру­ ировать путем аппроксимации сложных по форме направляю - щих линий обводами дуг. Например, если меридиан A B по -

верхности вращения с осью г (рис. 263) заменить с хорошим приближением обводом дуг кривых второго порядка А С , СП , П В с общими касательными на стыках t с и tр . то поверх -

ность вращения меридиана AB будет с хорошим приближени -

ем сконструирована как обвод трех стыков поверхностей вра­ щения четвертого порядка с меридианами АС , СП и П В и об­

щей осью 2 .

Другим примером может служить аппроксимация коничес­ кой поверхности с вершиной S и направляющей *тг обводом

конических поверхностей второго порядка (рігс. 264). Для этого достаточно аппроксимировать направляющую «т, обво - дом дуг кривых второго порядка А С , СП , ПВ с общими ка —

сательными на стыках.

Рис. 264

Построение обводов линейчатых поверхностей можно ба­ зировать на следующих предложениях:

1. Касательные к параллельным сечениям косой линейча­ той поверхности в точках ее прямолинейной образующей обра­ зуют косую плоскость (гиперболический параболоид).

Справедливость этого предложения доказывается следую­ щим образом. Возьмем на линейчатой поверхности две обра­ зующие 1 и 2 и пересечем их параллельными плоскостями

169

В силу указанных выше свойств секущих заключаем,что они представляют собой семейство прямолинейных обрадую - пщх косой плоскости. При перемещении образующей 2 по по­ верхности к положению образующей 1 секущие все время бу­ дут определять поверхности косых плоскостей. Верно это бу­ дет и в пределе, когда секущие перейдут в касательные к параллельным сечениям косой линейчатой поверхности.

2.Две косые линейчатые поверхности второго порядка

Фf и Ф 2, имеющие две точки соприкосновения, расположен­ ные на общей их прямолинейной образующей, соприкасаются по этой прямой.

Доказывается это так. В силу наличия двух точек сопри-

косяовения поверхности Ф и Ф пересекаются по двум кри — выы второго порядка. Общая образу юная является хордой то­ чек соприкосновения, а значит* она входит в состав обеих кривых пересечения. Поэтому, являясь двойной прямой, она будет прямой соприкосновения поверхностей.3

3. Две косые линейчатые поверхности Ф>' и Ф 2, имеющие две точки касания, расположенные на общей прямолинейной образующей, соприкасаются по этой прямой.

В соответствии с предложением 1 касательные в точке

общей образующей к параллельным сечениям поверхностей

Ф ти Ф 2 образуют две косые плоскости. Эти плоскости по условию имеют две точки соприкосновения. Следовательно, их общая образующая является для них прямой содрихосно — вения. По этой же прямой будут соприкасаться и линейча -

тые поверхности Ф 1 к Ф 2.

Пример. Построить гладкий обвод линейчатых по зерхно - стей, соприкасающийся с косой линейчатой поверхностью Ф 1

ж плоскостью ф до ограничивающим их прямым I и I (рис. 265).

170