книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

линий которых является множество концентрических окруж - ностей р ... (рис. 241).

Зададимся распределяющей кривой т 7{тгг1' ; т ^7 ) . Рас —

честве распределяющей можно взять любую кривую, напри — мер I ( l r , 12 ) I которая также дает эту поверхность вра -

щения.

Если в качестве распределяющей взять линию /гг2, то она определит новую поверхность вращения.

Соосные поверхности вращения являются поверхностями одной серии. Из доказанной выше теоремы следует, что если соосные поверхности вращения пересекаются, то они пересекаются по параллелям.

Теорема 2. Линия пересечения двух непрерывно-топогра­ фических поверхностей разных серий строится методом вспо­ могательных плоскостей уровня.

Доказательство. Предположим, что имеем два непрерыв­ ных семейства горизонталей, заполняющих плоскость так,

что через каждую точку плоскости проходит пара горизонта­ лей каждого семейства (рис. 242).

151

проекции т 7 и т г которых совпадают: т f = Л7.. Тогда поверх­ ность Ф 1 получается путем распределения первого семейст­ ва горизонталей в пространстве с помола»» кривой tn '%

поверхность Ф 2 —распределением второго семейства гори-

152

Поверхности вращения с параллельными осями есть по - верхности разных серий. Если такие поверхности пересека — ются, то линия их пересечения строится с помощью вспомо­ гательных плоскостей уровня (рис. 243).

дианы поверхностей вращения. Для построения линии пересе­ чения этих поверхностей используем способ вспомогательных плоскостей уровня.

9 6. КЛЮЧЕВЫЕ МЕТОДЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

При перемещении линии в пространстве получается одно семейство линий поверхности. Второе семейство (линии хода) не всегда удобно для исследования поверхностей, за исклю­ чением решения задач, например, в поверхностях вращения, где оно представляет собой параллели. Поэтому пытаются

153

конструировать поверхности таким образом, чтобы можно было строить сразу два каркаса линий. Для решения этой задачи в промышленности, начиная с середины прошлого ве­ ка, применяются методы конструирования поверхностей, по - лучившие название ключевых.

Сформулируем несколько вполне очевидных вспомогатель­ ных предложений:

1. Если между двумя линиями связи вычерчены какие— либо опирающиеся на них кривые, то любую пару из них можно принять за проекции некоторой пространственной ли­ нии (рис, 244), Это объясняется тем, что между точками таких линий можно установить проекционную связь.

2. Любые два многоугольника, опирающиеся на данную си­ стему линий связи, можно принять за проекции некоторого пространственного многоугольника (он может оказаться и плоским) (рис. 245).

Пусть даны два треугольника (рис. 246), опирающиеся на некоторые линии связи. Очевидно, их можно принять за проекпри пространственного треугольника, ограничивающего от­ сек некоторой поверхности.

3. Чтобы задать йоверхность на данном контуре, доста­ точно задать три произвольных семейства, находящихся по контурам в проекционной связи. Или, иначе, можно задать произвольно две проекции одного семейства поверхности, находящихся по контуру в проекционной связи, и одну про - екцию второго семейства этой поверхности.

154

Допустим, имеем первую проекцию семейства линий

тогда с учетом проекций связи по контуру можно совершен­ но произвольно задать вторую проекцию ... этого семейе ства (рис. 246). Во втором семействе можно задать только одну проекцию линии Ь7 ... По линиям свгази всегда можно построить вторую проекцию Ьг ... второго семейства.

Предложение 3 определяет возможность построения по - верхности двух каркасов. Задание первого каркаса двумя его проекциями определяет форму поверхности. Кажущаяся сво - бода выбора линий второго каркаса уже не влияет на форму поверхности, заданной первым каркасом.

4. В качестве трех проекций каркасов можно взять се - мейства прямых линий.

Вторая проекция второго каркаса

чим поверхность гиперболоида или параболоида (рис. 247). Сущность ключевых методов. Для построения поверхно -

сти ключевым способом в рассмотрение вводят две проек -

проекционные связи двух разных семейств. Поэтому легко

построили вторую проекцию второго семейства Ъ' ...

В ключевых методах даются линии различных семейств,

165

а проекционное согласование задается ключом. Допустим, имеем проекции отсека поверхности Ф в плоскостях (itf - Ф

и it2 —Ф и проекции линий каркасов #2 ..., <5 ..., а проекци­

онная связь между этими каркасами отсутствует.

Чтобы установить проекционную связь между проекциями каркасов, можно на ЧѴ нанести вторую проекцию семейства

bz ... и построить проекции каркасов. Можно поступить ина­

че: задав проекции <Pf т& ф с проекциями к ар к асов^ ...,

Ъг ..., выбрать ключ <ф>3 , согласующий проекционные связи.

Цели теперь рассматривать пару Ф> - Ф как проекции по -

верхности, можно достроить проекции линий 6^... второго

каркаса, а если рассматривать пару Ф^ - Ф как проекции

второй поверхности, то на ср можно достроить проекции ей/

Пример конструирования поверхностей с помощью ключа Г£ . Павленко. Предположим, что надо сконструировать отсек

тальных и фронтальных сечений с непрерывным изменением формы этих линий.

156

Построим фронтальную и горизонтальную проекции буду. - шей поверхности (рис. 249).

Прежде чем составить ключ, расширим эти проекции. Пусть фронтальные сечения будут а ..., тогда легко постро­

екции Ь2 ... Получим случай, рассмотренный ранее. Введем ключ Павленко, устанавливающий проекционные

связи между сечениями а. ... и Ь причем линия Ь должна постепенно изменять свою форму от палубной до килевой, а линия а ~ от / до £• .

Поверхность ФО , Ф' также линейчатая поверхность с об-

Рис. 250

Поверхности Ф и Ф являются конкурирующими, так

как их фронтальные проекции в плоскости ТТд совпадают. По­ лучаются три комплексных чертежа Мошка:

157

Ф ' - не линейчатая.

§ 7. ПОВЕРХНОСТИ КОНГРУЕНТНЫХ СЕЧЕНИЙ

Поверхностью кенгруентных сечений называется поверх — ность, несущая на себе непрерывное однопараметрическое семейство плоских линий.

Получается такая поверхность в результате перемещения какой-либо плоской линии (образующей). Примерами таких поверхностей являются поверхности вращения, винтовые по;- верхности и другие.

Однопараметрическому семейству сечений поверхности соответствует однопараметрическое семейство плоскостей — носителей этих линий. Если в качестве плоскостей взять, например, горизонтально проецирующие, то такие плоскости целесообразно задавать множеством их следов «7... (напри­ мер, множеством касательных к некоторой кривой т .).

Поверхности плоскопараллельного переноса. Простейшими видами поверхностей конгруентных сечений являются поверх­ ности плоскопараллельного переноса относительно плоскости проекций.

Плоскопараллельным переносом фигуры относительно плоскости проекций называется такое ее перемещение в про­ странстве, при котором каждая из ее точек перемещается в своей плоскости уровня. Известно, что горизонтальная про —

мещаются при этом по прямым, параллельным оси чертежа. Рассмотрим случай, когда перемещающаяся фигура у пред­

ставляет собой плоскую пинию, расположенную в исходном положении в горизонтально проецирующей плоскости ог ° се - мейства оі ( oif )... (рис. 251).

158

Чтобы задать нлоскопараллельное перемещение образую­

плоскости проекций, покрываемый семейством прямых оі?...

и ограниченный линиями a f и Ö, точек A f и В7 ...

Предположим далее, что А °В° и Az В2 есть фронталъ -

плоской линии, делаем вывод, что это должны быть линей­ но зависимые фигуры.

Легко видеть, что фигуры и у^*родственны. Это объ­

ясняется тем, что линии связи их соответственных точек

Az ... и А2 ... параллельны между собой. Каждая точка /V

159

( Ң1 , /у ) поверхности Ф перемещается по горизонтали п

( п г , п2) » Горизонтальная проекция тг этой горизонтали бу­

дет определяться точками А/ ... пропорционального деления

хорд А] В; . Это следует из того, что проекции A,Nt отрез­

ка AN не изменяют при перемещении последнего своей величины. Фронтальная проекция п 2 горизонтали п будет па­

раллельна прямым а 2 ъ Ьг ,

Определитель поверхности плоскопараллельного переноса включает в себя однопараметрическое семейство плоскостей

условия цлоскопараллельного перемещения образующей f о т ­ носительно плоскости проекций чгл .

Рассмотрим некоторые частные случаи поверхностей плоскопараллельного переноса.

Легко видеть, что в данном случае поверхность Ф пред­ ставляет собой поверхность параллельного переноса образу­ ющей у по направляющей а .

16D