книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

В случае если поверхность вращения задается осью и проекциями образующей, легко перейти к ее заданию осью

Последнее уравнение и есть уравнение меридиана поверхно­ сти вращения.

Пример 6. Пусть в плоскости х = а заданы две прямые, симметричные относительно плоскости Zx и пересекающие ось X . Допустим, что эти прямые вращаются вокруг оси z . Требуется составить уравнение меридиана поверхности вра - щения.

Проекции вращающихся прямых на плоскостях x z и y z имеют уравнения

X = а ;

y Z-rrz2Z 2 = О.

Уравнение меридиана имеет вид

Последнее уравнение есть уравнение гиперболы с дейст­ вительной осью, равной а .

Исследование Формы поверхности методом сечений. Суть этого метода состоит в следующем. Допустим дано уравне - ние поверхности F (х ty , z ) Ю и секущая плоскость Ах + + By + СZ =0. Если уравнения рассматривать совместно, то

81

получ !л сечение поверхности плоскостью, заданное в анали­ тической форме. Это значит, что по этим уравнениям можно послро ть проекции сечения.

Пример. Пусть имеем гиперболоид вращения, заданный

(рис. 114). С помощью метода сечений можно получить до­ полнительные сведения о форме этой поверхности. Рассмот­ рим различные сечения гиперболоида плоскостями, параллель­

В горизонтальной проекции сечений гиперболоида полу — чим множество концентрических окружностей, меньшая из ко­ торых является проекцией горлового круга (рис. 115).

Рис. 114

82

Рассмотрим сечения поверхности плоскостями, параллель­ ными плоскости у х . Их уравнения запишутся как х = + I . Чтобы исследовать получающиеся сечения, надо рассмотреть

Здесь могут быть три случая:

1)1 2< а

Следовательно, в этой плоскости сечение представляет собой не гиперболу, а две пересекающиеся прямые 3 в точке К , расположенной на горловом круге. Проекции этих прямых пе­ ресекаются в начале координат (рис. 117). На рис. 118 по­ казаны проекции всех сечений (1 , 2 , 3).

Итак, мы выяснили, что среди сечений гиперболоида име­ ются прямые линии, которые, очевидно, можно принять за образующие. Каждая из них при вращении вокруг оси z дает

83

одной серии не пересекаются и, напротив, каждая образую - щая одной серии пересекает все образующие другой серии (рис. 119). Построим чертеж Мошка такой поверхности.

Горизонтальные сечения гиперболоида вращения представ­ ляют собой окружности переменного радиуса (см. рис. 116). Выделим из этого множества окружности т , т ' ъ

Окружности т и т 'возьмем в плоскостях, отстоящих от плоскости горловой окружности g на одинаковом расстоянии.

Зная, что прямолинейные образующие гиперболоида лежат в касательных плоскостях к горловому кругу, можно постро­ ить их горизонтальные, а затем фронтальные проекции (рис. 120) и таким образом получить чертеж поверхности.

Однополоетный гиперболоид вращения служит моделью ба­ шенных конструкций (башни Шухова), например Шаболовская телевизионная башня.

84

Гиперболоиды вращения и асимптотический конус

Рассматривая сечения на гиперболоиде вращения, видим, что два семейства гипербол .разделены двумя прямыми ли — ниями, причем семейства гипербол как угодно близко подхо­ дят к этим прямым (рис. 118).

Запишем уравнения гипербол и асимптот (рис. 121). Бу - дем вращать сопряженные гиперболы (т.е. гиперболы с общи­ ми асимптотами) и асимптоты вокруг оси Z . От вращения

первой гиперболы получаем одноподостный гиперболоид, от вращения асимптот - конус вращения, а от вращения сопря - женной гиперболы - двухполостный гиперболоид вращения (рис. 121).

Как видно из рис. 122, однополостиый гиперболоид огиба­ ет конус, а двухполостный находится внутри конуса вращения.

85

Так как все три поверхности являются поверхностями вра — шения, то их уравнения зависать нетрудно.

Таким образом, топологическими непрерывными преобра­ зованиями можно от двухполостного гиперболоида постепен­ ным втягиванием его внутрь конуса перейти к конусу вра­ щения, а затем, продолжая преобразования, выйти на одно - полостный гиперболоид вращения.

§ 2. ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Винтовой поверхностью называется поверхность, образо­ ванная винтовым движением какой-либо линии. При этом предполагается, что ход винта связан с углом поворота про­ стой зависимостью h ~ C t f .

Допустим, что имеем какую-либо ось z , кривую т и точ­

ку Л) на ней. Пусть кривая т со всеми своими точками ЛЛ ... участвует в винтовом движении, образуя винтовую по­

верхность. Если предположить, что кривая только вращается, получим поверхность вращения. Чтобы движение сделать вин­ товым, очевидно, надо одновременно с вращением кривой пи.

способ задания на чертеже Монжа прямого геликоида. Зада­ дим на чертеже проекции z , Z2 оси прямого геликоида и

проекции и / положения его образующей. Графически зада­

дим смещение образующей Д2А2~^<^-ТС. Построим второе по-

86

Из рассмотрения пропорции -=—=- =

а2д2

=LMtAiNt получаем данные для по—

LN,AtMj

строения на прямой z z точки А2 . Про­ ведя через А2 прямую, перпендикуляр­

ную z 2 * будем иметь фронтальную проекцию 12 образующей

87

Г л ав а УП. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

8 1. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Цилиндрической поверхностью называется линейчатая поверхность, образованная параллельным перемещением прямой линии (образующей) при котором она пересекает одну и ту же кривую ( направляющую).

Цийиндрическая поверхность на эпюре Мовжа задается

проекциями направляющей т и

одной образующей І . Чтобы

чертеж стал наглядным, надо

построить каркас поверхности.

Чтобы доказать, что поверх - ноетъ этими условиями зада­

на, следует показать, что на

таком чертеже можно постро­

Рис.. 128

ить по одной проекции /И/ точ­

ки м ее вторую проекцию М2 Решить эту задачу нетруд -

но (рис. 128).

Некоторые свойства цилиндрической поверхности

Любые два плоских сечения цилиндрической поверхности родственны.

Допустим, имеем какую-либо цилиндрическую поверхность Ф . Построим на ней два плоских сечения т ' и/ѵг2 (не по образующим), причем совершенно неважно, как были выбра­ ны плоскости of'и of2.

89