книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие
.pdfРис. 276 |
|
|
|
Рис. 277 |
||
Аналогично рассуждая, можно доказать, что Отрезок MN, |
||||||
где /И ( /« ,0 ) |
и |
N і п |
,0 ), |
« > т ., имеет уравнение |
||
|
( Л; - /т-zj —| з с - з ^ г | - | д : - » | = 0. |
|||||
Отрезок оси J/ |
, определяемый точками Р (0 , а ) и |
|||||
Q (0, Ь ), где |
Ь > а |
, |
имеет уравнение |
|||
|
|
О - « ) - I J ' - Ä I - | у - я (“ 0 . " |
||||
Модулирование переменных можно осуществлять над зна |
||||||
ком неявной функции f i |
x |
, у |
) = 0 . |
|||
Как и в классической аналитической геометрии, объедине |
||||||
ние фигур У ^ <fr |
( х |
) |
ж у |
= |
f 2 i X ) достигается состав - |
лением уравнения
Приведем пример использования этого приема. Пусть име ем уравнение \у\ = - |рс| —х , график которого есть отрица тельная полуось X , и уравнение |У | + у 355 -2 я , график ко^
торого есть луч прямой у = —•х для л: < Q. Объединение двух фигур задается уравнением
Су + llyl +2sc)(!y| + |*| +*) = 0.
Если эту фигуру сдвинуть в положительном направлении оси X на отрезок, равный а , то новому положению фигуры будет соответствовать уравнение
( у +Ы + г э О О у І + ІжІ + ж) = 0 -
181
Чтобы теперь от фигуры двух лучей перейти к фигуре треугольника, надо промодупировать переменную ^ . В ре зультате получаем:
(у +ІУІ + 2 І л і - 2 а ) ( І у І + І і х і ~ а ) + I x j - а) = 0.
В соответствии с предложением 4 графиком последнего |
|
|||||
уравнения будет треугольник А (0, а ) |
В { а |
,0) |
С (-Л |
а0) |
|
|
(рис. 278). |
|
|
|
|
|
|
Умножение обеих частей уравнения у |
~ f |
( х ) |
на одно |
|
||
и то же число т не вы |
||||||
зывает изменения гра - |
||||||
фика уравнения. Переход |
||||||
к записи ( 'т- |
|
i |
) у |
= |
||
= ( гп3 + t r i j ) f |
( X |
), |
||||
где |
rn7+ tnz - |
|
+ |
|
|
|
= r n , таклее не |
вызыва |
|||||
ет |
изменения графика. |
|
||||
Однако модулирование |
|
|||||
переменных в отдель |
- |
ных слагаемых послед него уравнения приводит к различным деформациям графика.
Пример 1. Пусть уравнение окрулености х 2 + у 2. = 1 пере
писано последовательно так:
( J x ) Z + ( Зу ) 2= 9 |
|
|
и |
( 2 * + * ) 2+ (2у+у)г = 9. |
|||||||
Перейдем к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( 2 х + |
\ х \ |
) 2 +(2 j/ + | y i ) 2 = 5. |
|
|
|
|||
Графиком последнего уравнения будет замкнутая кривая, |
|||||||||||
составленная из дуг Ав |
, |
ВС |
, СВ „ В А (рис. 279). При |
- |
|||||||
этом |
дуга AB |
есть дуга окрулгаосгя х л + y Z = 1, дуга ВС — |
|||||||||
дуга |
эллипса |
х |
+ 9 у - |
Ѳ, дуга СВ —дуга окрулености х |
+ |
||||||
т у 7- ■- 9 и, наконец, дута НА - |
дуга эллипса |
Э х |
+ у |
= 9. |
|||||||
Пример 2. |
Перейдем |
от уравнения эллипса |
( З х |
2 |
+ у |
2 |
|||||
) |
=9 |
||||||||||
к уравнению ( 2 х |
|
2 |
z |
= 9. |
График нового уравнения |
||||||
+ |х | ) + |
у |
182
прете гавляет собой составлю кривую. Для х ^ 0 - это ду -
га |
эллипса Э х 2 + |
у г = Ѳ, а a m х |
^ 0 - дуга окружности |
х г л- |
||||||
t у |
2 = 9 (рис. 280). |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||
|
Пример 3. Преобразуем уравнение окружности |
у |
||||||||
|
X + |
= 1 |
||||||||
к виду |
( 2 х ) |
2 |
2 |
4 , а затем перепишем |
его: ( а* |
2 |
||||
+ |
{ 2 у ) = |
+а ) + |
||||||||
+ (У |
+У )2= 4. |
|
|
(гс + )х | )2'+ О' + |у | )2 = 4. |
|
|
||||
|
Перейдем |
к уравнению |
Графи |
|||||||
ком его будет составная линия (рис. 281): |
|
|
|
|||||||
|
"х} 0 |
имеем дугу |
окружности а + у |
|
|
|
||||
при < |
|
|
|
|
||||||
|
ъу >0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при < А <:0 |
- |
луч прямой |
~ і : |
|
|
|
||||
|
[ у * 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хч<0 |
уравнение |
ке имеет смысла: |
|
|
|
||||
при» |
|
|
|
|
||||||
При , "а £0 |
получаем |
луч прямой Х= 1. |
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 279 |
Рис. 280 |
Рис. 281 |
I |
183 |
Операцию модулирования переменных можно использовать для составления уравнений областей.
Как было отменено ранее, уравнение отрезка AB оси х записывается уравнением
\X ~ гп \+ IX - п \ — тъ-т 7
гд е ft>rrt и А ( ,0). В { f t »0). _____
Пусть имеем некоторую плоскую фигуру. Предположим, что она непрерывным образом изменяет свою форму и поло жение, вызываемое непрерывным изменением одного ее па - раметра, например параметра t .
Запишем множество уравнений, соответствующих множест
ву фигур. Получим у |
( х ,у ) |
= t , где |
t, 4- і і г |
. Возь - |
||
мем на оси і |
отрезок [ t f , tz |
] и соотнесем |
каждой точке |
|||
его с координатой t |
значение функции J ( х |
, у ) . |
Теперь |
|||
можно записать уравнение отрезка |
, t 2 ]: |
|
|
|||
| |
/ |
+ l f ( x , y ) - * 2 I - t z ~ t r • |
|
Последнее уравнение есть уравнение той двумерной обла сти, которая 'зам етается' рассматриваемой фигурой в про — лессе изменения параметра t .
Пример 1. Пусть окружность х 2+ у 2= ? 2 изменяет свою
форму н положение за счет непрерывного изменения радиуса
от значения г |
= 3 до |
-Г2 = 5. |
|
|
|
|||||||||
|
Уравнение области, заключенной между окружностями ге2+ |
|||||||||||||
+ ) |
2 |
|
- |
2 |
у |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 9 |
и ^ + |
= 25, запишется так: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
~tfxz + y 2 |
3 |
|
|
V x 2+ y 2 - 5 - 2 . |
||||||
|
Принимая за параметр величину t ' 2 , |
можно уравнение |
||||||||||||
рассматриваемойj |
области |
записать с учетом f }2= 9 и ±~22= 25: |
||||||||||||
|
I |
+ I |
|
|
J |
|||||||||
|
|
|
|
\ х 2т у 2 - 9 \ |
|
+ \ х 2ту 2- 2 5 \ |
=16, |
|||||||
|
Пример 2 . Пусть прямая |
у = 2 х + 3 перемещается в поло |
||||||||||||
жение |
у |
= 2 х + |
7 |
|
(рис. 282). |
|
|
|
||||||
|
Уравнение области, заключенной между прямыми у = 2 х + |
|||||||||||||
+ 7 и |
|
у = 2 ? + 3 , |
|
с учетом, что отсекаемый ими отрезок на |
||||||||||
оси у |
|
меняется от |
bf —3 до |
Ъу= 7, запишется так: |
||||||||||
|
|
|
|
\ у - 2 х - 3 \ + \ y - 2 x - 7 I = 4 . |
|
184
Пример 3. Уравнение области, ограниченной окружностью
п2
X + у = 25, можн° записать так:
\ х гл у г- 2 5 1+ 1х 2+у 2 I ~ 2S .
Пример 4 . Уравнение квадрата А BCD с диагональю АС ~
= 2 а |
имеет вид |
(рис. 283) |
|
|
|
|
|
I x |
1+ ІУІ = а . |
||
Уравнение области с |
внутренней границей А ВCD и внеш — |
||||
ней границей а 'в 'с 'л ' |
, представляющей собой квадртат с |
||||
диагональю /I 'С' |
2 / т г а , |
имеет вид |
|||
|
| х | + | у | - т а | + | | х | |
+ |у|-<г |
= ( т - 1) а . |
||
На |
рис. 283 взрта область при |
а. = 2 , /7*= 3. |
Уравнение области, заключенной между квадратами, име ет вид
М + Ы - 2 ) + | | * | + | у | - б | = 4 .
Одним из методов составления уравнений сложных фигур является метод, при котором удается 'обрезать' прямые и кривые линии путем перевода их точек из действительной области в комплексную.
Введем в рассмотрение функцию S [В(х)] , наделив ее сле дующими свойствами:
F(x) > О — S [V f*)] = + 1.
185
F(x) < 0 -► S (У ^не имеет смысла в действительной области. Примером такой функции может служить + V х — \х l + Stg-uoc'. Это выражение для х > 0 равно +1, а для х < 0 не имеет смысла в действительной области.
Условимся, что при рассмотрении произведения S[f(x)]f(x))
где у |
~ / ( х ) —уравнение некоторой кривой, точки кривой |
||
У |
(■* ), соответствующие |
F ( х ) < |
0, снимаются с чер |
тежа и не рассматриваются. |
Так, для |
координатной оси у =0 |
графиком уравнения|д/х- Jх | +St^tixj( у - 0) =0 является положительная полуось х • Точки, у которых л < 0, из рас смотрения исключаются.
Уравнение вида
[ і / х - д ~ \ х ~ б \ + s-i^n (ос- 6)' ] Су ~ 0 ) - 0
своим графиком имеет ту часть оси х , для точек которой
X » Ъ •
Уравнение вида
[ У а - х ~ fa - X ] + s i g n ( а - х ) J ( у - 0 ) = 0
своим графиком имеет ту часть оси, для точек которой х&а. Чтобы выделить на оси х отрезок А В , где А ( а ) и
В ( 6 ), поступим следующим образом. Введем в рассмот -
рение функции |
_____________________________ |
|||
Sj = У ( х - Ь ) ~ |эс-£ |+ sijSn |
( x - â ) ' |
|||
и |
_____________________________ |
|||
S2= y a - x |
- \ а - х I + st’g-tt. |
(or-*) . |
||
Тогда уравнением отрезка |
АВ оси зс будет |
|
|
|
где |
* 3 |
5*4 ( у - 0) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
s 3 =Ѵ(.у-с->- ! у ~ с I + s i g n С у |
- с ) |
; |
||
S4 = y d ~ y - К - У І + s t g n ( d - y ) \ |
||||
Уравнение отрезка |
С ( с ) И ( caf) оси у |
будет |
иметь вид |
|
|
Sf S2 ( х - 0 ) = 0. |
|
|
Первый множитель- в рассматриваемых выше уравнениях является условным. Его роль заключается лишь в том, что—
188
бы указать, сохраняются ли соответствующие точки в гра - фике функции иди их необходимо с чертежа снять. Поэтому для машинного чтения уравнений форму функции S можно упростить. Так, для координатной положительной полуоси ее уравнение можно записать как
|
|
|
l s ( * ) l Су - 0 ) = 0 . |
|
В ( Ь) в |
||||||
Уравнение луча оси Ä , исходящего из точки |
|||||||||||
положительном направлении, будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 ( х - £ ; ] С у - 0) = О. |
|
|
|
|
|||||
Уравнение луча оси х , исходящего из точки |
А ( а ) |
в от |
|||||||||
рицательном направлении, будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уравнение отрезка |
Су - О) |
= О. |
|
|
|
|
|||||
ВА оси х с |
концами В ( Ь ) и А ( а ) |
||||||||||
|
|
[ S ( x - b ) ( a - x ) J Су- 0) = О. |
|
|
|
||||||
Уравнение дуги А В кривой у —J ( л: ) с |
концами ß |
( 6 ) |
и |
||||||||
А { а ) будет |
|
_ , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
l S ( x - 6 ) ( a - x ) ] { у - / ( х ) У 0 . |
|
|
|||||||
Уравнение отрезка CJJ оси у с |
концами |
С ( с |
) и И |
( d ) |
|||||||
будет |
|
г |
. |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ S ( y - c ) ( ä - y ) ] ( x ~ 0 ) = 0. |
|
|
|
||||||
Например, уравнению £<7 ( х - |
è ) ( & - х ) \ |
( у |
- к х |
—w)=0 |
|||||||
в качестве |
графика соответствует |
отрезок А {а ) ß {Ъ ) |
|
||||||||
прямой у |
= к х + гг? . Полуокружность АВС записывается урав |
||||||||||
нением |
|
D s(*+*o (-•*)] ( |
- |
X |
г- у 2) = о . |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
Пусть график функции у - у ( х |
) |
разбивает множество то |
|||||||||
чек плоскости на три класса: класс, для точек которого |
|
||||||||||
у - у ( р с ) |
> |
0; класс, |
для точек которого |
у |
- / |
( х ) =0, и |
|||||
класс, для точек которого у - f { x ) < |
0. |
Чтобы записать |
|||||||||
уравнение области, соответствующей у |
—у |
( х ) |
> 0, следует |
||||||||
эту разность ввести под знак функции S : |
|
|
|
|
|
||||||
Грани да |
области, т.е. кривая у |
|
|
( х ), |
охватывается |
|
|||||
этим уравнением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение области точек, соответствующей у |
- у ( х ) |
< 0, |
|||||||||
записывается так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ ? [ / ( * ) - у ] ( у - / ( * ) ) * 0 -
187
И в этом случае гранила присоединяется к области. Напри мер, уравнение области, расположенной под синусоидой у = - s i n X , запишется так:
S [sitt X - у ] ( у - s i n X ) = 0 .
Уравнение области внутренних точек окружности запишет ся так:
S ^ r 2- ( x z+ y 2 ) ] ( х 2+ у г - г 2) = О.
Для записи уравнения плоской области можно ввести уравнение плоскости Z - 0. Будем иметь;
J [ s i n X - у ] ( z - 0) = 0 ;
5 [ r 2- { x z +y 2) ] ( z - 0 ) = 0.
Введя вместо плоскости z =0 поверхности z = j (х , у ) , рассматриваемым приемом можно удалить с этих поверхно
стей |
области с |
гранидами, проекции которых на плоскость |
|||||
х у |
можно задать уравнениями. Основное уравнение залисьэ- |
||||||
вается так: |
s t y - z w ] |
(z-/c*,y))=0. |
|||||
|
|
|
|||||
Если у |
— F ( X ) < |
0, то это уравнение записывает -по — |
|||||
верхность |
2 “У ( X , у ) |
с |
отверстием, граница которого про |
||||
ецируется на плоскость ху в кривую у = F ( х ). Например, |
|||||||
полусфера |
z = |
х 2 - у 2 ' с отверстием, проецирующимся |
|||||
в окружность |
X2+ у 2 = f |
2 , записьшается уравнением |
|||||
|
|
S £ х 2 і - у 2 - |
2 г 2 ] (z -~\/ R 2 - х 2 - у 2 ' ) = О . |
||||
Для записи уравнений областей, ограниченных двумя кри |
|||||||
выми у - |
F] { х |
) к у |
— f 2 ( х |
) , вводят в рассмотрение две |
|||
функции s |
І одна из |
них - |
^ |
[у - FT( х ) ] , другая - 6Г [у - |
—Fz (х )] . При этом на плоскости или поверхности оставля
ют для рассмотрения только те точки, для которых ни одна из функций S f и S'2 не является неопределимой в действи —
тельной области. Так, уравнение кольцевой области, ограни-
ченной окружностями х + у = 2- ~ - а х + у * = К , где ./?>/*,
запишется как
188
S, [ х \ у г- г г ] ^ [jg2- x 2- y 2] ( z - 0) - 0.
Уравнение области, ограниченной прямыми у = к х + m f
и у - к х + |
* |
запишется так: |
|
|
|
S'j £у |
- к х - |
[ к х + |
( z - 0) = 0 . |
В тех случаях, когда область ограничена несколькими кривыми, в рассмотрение вводят соответствующее число функций S .
Пример 1, (рис. 284). Пусть требуется записать урав -
нение области, внешней границей которой является окруж —
ность X + у =16 . Пусть вңутри этой окружности имеется четыре отверстия, границы которых есть окружности
х г + |
(У - |
2)2 = 1 ; |
( * ~ 2)2+ У 2 = 1; х 2+ (У + 2)2 |
= 1; |
( X + |
2 ) 2 |
+ JK2 = 1. |
2 |
г |
Искомое уравнение запишется так: \х +(у~2) -
- 2 ) \ у г- і \ S3[x\(y+2)Z-l]-S4[{х+2)\уг- i]-Ss [l6-xz- y z](z -0) = 0.
Пример 2. (рис. 286). Уравнение области прямоугольни ка, ограниченной прямыми у = 2; у - 5; X - 3; х - 4 , запишет ся так:
S, |
[ 4 - x } C z - 0 ) = 0 . |
При выходе в пространство путем 'заметания' некоторой фигурой-областью в последний множитель уравнения поверх ности надо внести указания на величину перемещения исход ной поверхности.
188
Допустим, что окружность с четырьмя круговыми отвер стиями, рассмотренная в примере 1, является проекцией фи гуры, ограниченной двумя параллельными плоскостями z =2 и z = 5. Тогда уравнение цилиндра с четырьмя цилиндричес кими отверстиями запишется так:
S 1S Z S‘3 S4 S^ ( S 6 [ ( z - 2 ) ( z - s ) ] ( z - k ) ) = 0,
где S , Sj , сГ, , Sj,, S г - взяты из предыдущего уравнения ;
'4 ~ параметр.
Итак, рассмотрено три метода составления уравнений сложных фигур на плоскости и на поверхности. Первый из них базируется на операции модулирования переменных,вто рой - на теореме о .заметании” областей и третий - на вве - дениа условия снятия из рассмотрения точек фигур в связи с переходом их в комплексную область.
Данные методы легко обобщаются на многомерное про - странство. Покажем, как это осуществляется при переходе
втрехмерное пространство.
Вкачестве исходной будем рассматривать функцию Z = =У" ( X t У) • Можно сформулировать ряд предложений, описы
вающих различные преобразования поверхностей функций двух
переменных при введении в их уравнения модулей перемен - ных.
Предложение 5. Поверхность уравнения z - j/ ( х , у ) | со стоит из точек поверхности z =у (х , у ), имеющих положи тельные аппликаты, и точек, симметричных относительно плоскости х у точкам той же поверхности с отрицательны - ми аппликатами.
|
X |
у |
Z |
Так, если уравнение плоскости ~ |
+ — + — = 1 преобра - |
||
зовать к виду 2 = |
( a b - bx — а у )с,| то последнему уравне- |
||
|
аЬ |
|
|
нию будут соответствовать две полуплоскости, проходящие
через прямую----к \ , точки которых имеют положитель -
а ъ
яые аппликаты.
Предложение 6. Поверхность z =_f ( |je| , у ) состоит из точек поверхности z ~f ( х t y ), имеющих положительные абсциссы, и точек, симметричных относительно плоскости
z y точкам той же поверхности с отрицательными абсциссами.
190