книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие
.pdfпреобразованиями. В случае линейных преобразований ими могут быть мгновенные преобразования подобия, мгновен - ные преобразования родства, скольжения и т.д. Рассмот — рим некоторые частные виды мгновенных преобразований и возможности их использования для конструирования поверх - ностей линейных преобразований.
Мгновенные преобразования родства с постоянной двой - ной плоскостью и достоянным направлением родства. Пусть вершина Л исходного тетраэдра перемешается в пространст ве по ребру АЛ , пробегая положения Л ' ... прямой d ' (рис. 218).
Рассмотрим мгновенные преобразования родства Г ...,
определяемые тетраэдрами АВСВ ж АВСЛ'... Эти преобразо — вания имеют общую двойную плоскость А ВС и постоянное-
направление родства d ' . Отнесем с помощью точек /И |
и |
|||||
М |
к тетраэдру А ВСВ какую-либо точку /И |
. Очевидно, что |
||||
точка |
М |
размножится преобразованиями Г... в прямую |
т ' |
|||
точек |
М' |
..., которая будет параллельна прямой |
d ’. Точка |
|||
Лі |
тоже размножится в прямую tn точек /И |
..., параллель |
||||
ную прямой d '. Допустим, что через точку |
М |
проходит |
||||
какая-нибудь линия у (рис. 219). Все точки |
М |
... линии^ |
размножаются в параллельные между собой прямые т Отсюда следует, что линия f размножится преобразования-
ми Г... в линии J 1... цилиндрической поверхности Ф ' .
131
Составим уравнения преобразований Г... Примем векторы A ß t 1C , АД за единичные векторы исходной системы координатт X , у , z . Легко видеть, что единичные векторы
преобразованных систем координат для осей х ' , у ' совладают с единичными векторами осей х , у t а единичные векторы
осей z ' коллинеарны единичному вектору оси z (рисң220).
Учитывая, что единичные векторы осей х ' , у ! , Уопределяют своими координатами столбцы матрицы преобразования, подучаем следующую матрицу преобразований Г...:
/а |
О о\ |
|
/И= іО |
ъ |
о , |
\о |
о |
с/ |
где с —переменная величина, принимающая значения, соот—
ветствуюпще положениям точек Д 1 ... на прямой d / . Формулы преобразования имеют вид
х ‘ = а х ;
У = ьу ;
2 ' = CZ ,
где с — переметая величина.
Во всех случаях, когда точка Д перемешается по нря -
мой,точки М ...размножаются в точ ки /И1 ... прямых т ' . . . %параллельных прямой перемещения точки Л , а лй-. нину ... — в цилиндрические поверх ности. В общем случае единичные векторы осей z ' ... при перемещении точки Д по прямой общего положа - ния имеют пропорциональные ксюрди —
ваты на оси х и у , что вытекает из подобия треутольни —
•SSS&В,'Ду А ... и |
ЕЕу А (рис. 221), где Е - след прямой |
d ' |
|
В плоскости х у |
, а вектор А Е разложен по осям х |
и у . |
|
Тогда, если координаты вектора АД*по осям х и у |
есть |
•— |
132
от координат вектора |
АЕ , то координата ВП' вектора АІ7' |
||
на ось |
с |
п~і |
77?" |
2 будет |
|
от координаты единичного вектора ЛД |
Это значит, что коэффициенты третьего столбца матрицы преобразования являются зависимыми.
Мгновенные родственные соответствия с постоянной двой ной плоскостью. Пусть точка Л тетраэдра А BCD изменяет
свое положение, перемещаясь до произвольной кривой d '
Отнесем с помощью точек м , /И к тетраэдру A BCD некоторую точку М . При перемещении точки В по кривой
d ' получим множество пар тетраэдров AB СИ и ABCB'.*.t определяющих непрерывное множество Г... родственник соот ветствий с общей двойной плоскостью АВС . Точка М в
этих преобразованиях размножится в точки м ' ... кривой
т ' , вентрально подобной линии d ' с центром подобия в
точке /И . Точка М размножится в точки м ' ... кривой
rrz / , центрально подобной линии frr'с центром подобия в точке С . Учитывая, что вершины треугольников /ИЛМ и
/И'д'/И'расположены на параллельных прямых /И/и'ЦВВ'ЦМ/й',
133
делаем вывод, что все прямые В 'М ' |
... пересекаются с пря |
||
мой UM в точке |
М* на прямой С/И |
. Отсюда следует, что |
|
линия т'точен |
м ' ... центрально подобна линии |
d ' с цент |
|
ром подобия в точке М* . Если через точку М |
провести |
линию у , |
последняя размножится в родственные линииу ... |
некоторой |
поверхности Ф . Таким образом, поверхность ф> |
несет на себе два семейства кривых; кривые у ' ... и кривые
/гг'... (линии хода точек /И кривой у ). Первое из этих се мейств состоит из мгновенно-родственных кривых, второе - из мгновенно-подобных кривых, порознь центрально подобных линий d f .
Указанные выше поверхности назовем поверхностями по — добно—род ственных каркасов. Если линия d ' представляет со бой окружность, расположенную в плоскости, перпендикуляр - ной прямой AB , с центром на этой прямой, то поверхность Ф является поверхностью вращения с осью AB и мериди - аном у . Если линия d ' —произвольная плоская кривая, рас положенная в плоскости, перпендикулярной прямой AB , то поверхность Ф — осевая поверхность подобных сечений,
родственными меридианами которой являются кривые у ' ...
Если кривая у расположена в плоскости, параллельной плос кости Ае е , то, независимо от формы кривой d ' , поверхность Ф —поверхность параллельного переноса, образованная по способу Софуса Ли.
Действительно, заключим кривую PQ в коническую поверх ность с вершиной в точке В . Смещая точку В по кривой
d ' , получаем множество конусов с вершинами в ' ... и одним и тем же основанием Pf (кривая Pf Qf i как кривая двойной плоскости, является общей кривой всех преобразований Г ...).
Отсюда следует, что все кривые у ' |
конгруентны, так как |
они центрально подобны кривой Pf Q y |
одним и тем же ко — |
эффидиентом подобия ѣ -BP'.PPy-BQ ; QQ . Последнее говорит
о том, что поверхность Ф — поверхность параллельного пе реноса. Линии ходар ' и у' — конгруентны, так как они цент рально подобны кривой d 'c одним и тем же коэффициентом подобая к .
134
Уравнения преобразований имеют следующий вид:
=а х + с , z
Уb y +C2 Z ;
z ' = С ?г ,
где с; * С 2 • сз ” независимые величины, равные координа
там единичного вектора АЛ' любой из осей z ' ... В силу слу
чайности выбора положения точек Л ' ... величины с г , с 2 , с 3
являются переменными.
Линейно-однородные мгновенные преобразования. Пусть тетраэдру ОАВС соответствуют тетраэдры 0 А ' В ' С ' ..., где
С ' пробегает некоторую кривую с ' (рис. 223), а единичные векторы осей х , у , х есть векторы ОА j 1 ,0 ,0 J , # 5 |о ,1 ,0J-
и ОС{0,0,1}. Как было выяснено ранее, единичные векторы
осей |
к ' ; у ' , г 'есть 0А‘{ a f , a z , a 3 } , O B ' { b , , b 2, b 3 } и O C ' f a , с2 , с 3] . |
|||
Формулы преобразований имеют вид |
||||
|
|
х ' |
= я гж'+ 6 , у + с 7 z ; |
|
|
|
y ' = a z x + Ьг у + c 2 z • |
||
|
|
Z ' |
= |
а 3 х + 63у + с 3 г , |
где |
а г, а2 , а3 , è f , Ь |
, |
Ь3 |
—постоянные, так как векторы |
|
|
|
|
ОА' и 08' по условию достоян |
|
|
|
|
ные величины; |
|
с , , с г |
■>с з |
~ пеРеменные (в сиду случайно— |
|
|
|
|
|
сти выбора положения точки С1) . |
13S
Если исходная система координат (рис. 224) несет на своих координатных плоскостях ху и л z проекции с'г и с2
линии с и уравнения этих проекций есть
у =Уі (ж) ,
Z —У С х) у
то |
коэффициенты |
с2 и с3 связаны |
с cf |
следующим образом: |
|
|
~ |
(*•») > |
|
|
|
c3 = f 2(c,). |
|
|
|
Можно доказать, что точки М |
( х } |
, у і , О ) плоскости |
|
ху |
переходят в преобразованиях Г... в |
определенные (един |
||
ственные) точки |
плоскости х ' у 1. |
Данное утверждение еле — |
дует из того, что переменные коэффициенты третьего столб
ца |
(при z ) не влияют на величину значений координат точ - |
|||||
хи |
М 1 , так как z M =0. Таким образом, плоскость х^у'есть |
|||||
плоскость постоянных точек в преобразованиях Г... _ |
||||||
|
Пусть к тетраэдру ОАВС с помощью точек /И , АЛ отне |
|||||
сена некоторая точка М |
. Т orда, как и в предыдущих слу - |
|||||
чаях, точка М |
переходит в преобразованиях Г... в постоян |
|||||
ную точку М' |
. Точка |
М |
размножается в точки М' ... ли |
|||
нии іті'%центрально подобной линии с ' |
с центром подобия в |
|||||
точке /И' . Точка /И размножается в |
точки М 1 ... лПнии т \ |
|||||
центрально подобной линии *п 'с |
центром подобия в точке О. |
|||||
Вершины М 1 , |
М ' ; М ' , |
М 1и |
С ' , с ' треугольников |
М1М 'С'... расположены на параллельных прямых, поэтому ли
нии т ' центрально подобны линиям с ' и центрально подобны между собой (каждая пара имеет свой центр подобия).
Пусть через точку /И |
проведена некоторая линия у .Учи |
тывая наличие двойной плоскости X ^'преобразования Г . . . , |
|
заключаем, что линияу |
размножается в родственные между |
собой кривые У /... Таким образом, и в данном случае поверх |
ность Ф предо тавляет собой поверхность подобно-родствен -
ных каркасов тгг'... в. у ' . . . В сдучае если у лежит в плреко*
1S6
сти, параллельной ху , получается поверхность параллельно го переноса.
Пример 1. Составить уравнения преобразований Г ..., за -
данных векторами 0Л'{ 1,1,2}, 08/ j l.—1,1 J- и линией с' , пред ставляющей собой окружность
|
рс2+ у 2 = |
9 |
1 |
|
|
|
|
2 = |
4 |
1 ' |
|
Определим значения с2 и с3 , |
задавшись значениями с . |
||||
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
cz = ± ] / s - c f 2 ' |
; |
с3 = 4 . |
||
Формулы преобразований Г... имеют вид: |
|||||
|
X 1 = л: + у + c f z |
• |
|
||
|
У' = X - у ± 1 / 9 - С 2 'Z ; |
||||
|
z' = 2 х |
+ у + 4 Z , |
|
||
где |
Cj 'пробегает' значения |
от -3 |
до |
+3, |
|
Пример 2. Составить уравнения мгновенных преобразова |
|||||
ний, |
зная векторы ОА'^2,3,-1 j-, 0В' |
|
когда точке С(0,0,4) |
соответствует множество точек С' ...» 'пробегающих' винто вую линию
X |
= 3 |
cos t |
; |
У |
= 3 |
s i n |
t ; |
3 |
= 2 |
t . |
|
Запишем уравнения преобразования;
х у = 2 X + 3у + с7z ;
у' |
= З х + у + с 2 z ; |
г ' |
= —л: + 2у + с2 з . |
Подставив в последние уравнения координаты точек С и
с ‘ , получим: |
|
Jcos t = 4 c t ; |
3 sin, t - 4 c z ; 2 t —4 c 3 . |
Далее находим: |
|
137
3cos é |
_ |
|
|
_ |
J s in |
t |
t |
4 |
’ |
|
|
C2 ~ ~ 4 |
’ |
C3 = ~2 ' |
|
Уравнения преобразований имеют вид: |
|
||||||
|
ос. |
/ |
о |
, |
3cos t |
2 |
|
|
|
= 2 х |
+ З у |
-+ — ^ |
/ |
„ |
|
JsinzJ- |
J' = |
З х |
+ У + |
--- з ---- |
г' =■- Ä + 2_у + |
2 . |
||
Пример 3. В плоскости х у |
дана окружность fcf , опираю - |
щаяся на отрезок А В как на диаметр и проходящая через на чало координат 0. В плоскости ,4 ß £ дан эллипс к , проеци — рующнйся в окружность к ; (рис. 225). Точкам? перемещает
ся по кривой с 1 , проекции которой задаются уравнениями У = Х \ 2 = у ( х ) . Непрерывному множеству точек С'... со
ответствует непрерывное множество эллипсов к располо
женных в плоскостях АВС1.... образующих поверхность Ф покрытия (рис. 226), огражденного полуцилиндром с основа нием к и к .
Рис. 225 |
Рис. 226 |
Требуется составить уравнения преобразований Г ..,, раз множающих исходный эллипс к в образующие к ' ... поверхно сти Ф .
138
За исходный принимаем тетраэдр OABG, а за соответст -
веяные ему - тетраэдры ОАВС1... Тогда имеем векторы
СМ'{ і ,0,0} HÖS'j0,l,0}. Случайному положению точки С' со
ответствует вектор О С ' { с г , c n |
f ( c f ) ^ . |
|
|
Уравнения преобразования имеют вид: |
|||
X ' |
= х. + Cj Z |
; |
|
У' |
= У |
+ С , г |
; |
Z ' = / |
( с , ) Z . |
|
Двупараметрические множества преобразований Г.., Предположим, что в исходном тетраэдре АВCJJзафиксировано положение двух его вершин А и 27 и вершины В к С пере
мещаются в пространстве по кривым b' и с ' точек |
В' ... |
и |
|
С' ... Прямые ребер С ' в ' ... тетраэдров AJJC'ß'... |
образу - |
||
ют конгруенцию с направляющими с ' и Ъ' . |
__ |
|
|
Отнесем к тетраэдру А 8СП с помощью точек М и М |
не |
||
которую точку М (рис. 227). Двупараметрическое |
множест |
во пар тетраэдров АЛСВѵ. ABC'jj' ... определяет двупарамет рическое множество преобразований Г... Преобразования Г... .
размножают точку М |
в двупараметрическое множество то - |
|||||||||
чек _М 1 |
..., заполняющих поверхность параллельного перено |
|||||||||
са |
Ф , образованную в данном случае по способу Софуса Ли. |
|||||||||
Те |
же преобразования Г... размножают точку М в двупара — |
|||||||||
метрическое |
множество точек |
/И' |
..., заполняющих поверх - |
|||||||
ность Ф |
. Поверхность |
Ф ' |
будет |
центрально подобна по - |
||||||
верхности |
Ф ' с центром |
подобия в точке А и коэффициентом |
||||||||
подобия |
Je |
- |
А/11 |
: |
МА/I |
- А'м' : |
М'А\'(рис, 228), |
|
||
|
Точка |
/И |
размножится при этом в двупараметрическое |
|||||||
множество |
точек |
М1 ..., |
заполняющих поверхность Ф ‘ . По |
|||||||
верхность |
Ф ' |
будят |
центрально подобна поверхности |
ф < с |
||||||
центром подобия з |
точке |
JD и коэффициентом подобия |
к 0 = |
|||||||
= Л М |
: М М |
-= И М 1 ; /й'Лі'Срис. |
220). |
|
Рис. 228
Таким образом, и поверхность Ф>' , и поверхность Ф '
будут представлять собой поверхности параллельного пере_носа. Если линии с ' и Ъ' прямые, то поверхности Ф ' , Ф>
и Ф ' вырождаются в плоскости.
Если через точку М проходит какая-нибудь линия f , то ее точки М ... размножаются преобразованиями Г... во
множество поверхностей Ф' ..., заполняющих отсек прост -
ранства, ограниченный поверхностями Ф ' , соответствующи ми концевым точкам дуги линии . Линия f размножится в
двупараметрическое множество кривых f ' ..., являющихся
линиями хода точек /И' ... при переходе их с одной поверх
ности Ф ' на другую (рис. 230).
Рис. 229 |
Рис. 230 |
140