книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

Умножив обе части равенства на произведение синусов, бу ­ дем иметь

COS If-sinoi S in ji= COSOCCOSjäCOSCf',

откуда

cos cf- S-t+loC s in p

COS Cf '

COSOC cos p>

Сдадствие 1. Проекция прямого угла, одна сторона кото­ рого параллельна плоскости проекций, есть прямой угол.

Пусть j3—О, тогда cos (fr=0, т.<?. ср'=90°.

Следствие 2. Прямой угол, обе стороны которого пересе­ кают плоскости проекций, проецируется в тупой угол (рис.© ):

=90°, значит coStf^cQ; поэтому у г> 90°.

Следствие 3. Прямоуголь­ ная проекция трехгранного угла на плоскость, пересека­ ющую его взаимно перпенди — купарные ребра, образует три прямые, расположенные под 'тупыми углами (рис. 35).

Сдадствие 4. Величина яри­ мого угла, обе стороны кото­ рого пересекают плоскость проекций, определяется по формуле

cos cfr= - t|j ос j3 .

21

Г л а в а II. ПРОЕКЦИОННЫЙ МОПЕЛИ ДЕКАРТОВОЙ си сте м ы КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Декартова система координат в пространстве (рис. 36). Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые, пересекаю­ щиеся в одной точке. Установим на каждой из ник свою си -

ку М прямоугольно на плоскости

Рис. 8Ѳ

проекций. Каждую из этик проек — цнй можно координировать в той

системе координат, которая установлена на плоскости проек—

ются координатами точки /И .

Эдюо Монжа Іпиг.. 37). Чтобы получить эпюр Монжа, совместим плоскости qr1 с TCZ и ir^ с ТГ2 , вращая их. Полу -

чаем чертеж, несущий на себе три поля проекций (горизон — тальных, фронтальных и профильных). Каждое поле имеет свою систему координат: х у ; х z ; y z .

Нанесем на развернутый чертеж проекции Mf , /И2 , Alj точки /И и отметим их координаты /И ,(л,ЛІ2(х,г)я

22

Верны следующие предложения:

1) координаты проекций точки равны координатам проеци­ руемой точки'

2) любые две проекции определяют натуральные координа­ ты точки и ее положение отно­ сительно системы координат.

Эшер Мояжа представляет собой плоскую модель натураль­ ной системы координат. На нем конструктивно можно выполнить все задачи, решаемые в анали­ тической геометрии.

Координирование эпюра Мон — жа при незаданных, осях (рис. 38) Три проекции точки М образуют

28

“ПТ! , ^ г - , А2 ' “Р0 №,M Ах ^2= А2 *

Таким образом, имеем два эпюра Монжа, совмещенные на одном чертеже (рис. 40). Новая плоскость проекций,пер­

вые проекции точек строятся по следующей схеме: и з н езаменяемых проекций проводятся линии связи, перпендикуляр - ные новой оси. Высоты заменяемых проекций откладывают - ся как высоты новых проекций. Перемену плоскостей проек­ ций можно осуществлять последовательно.

Рис. 39 Рис. 40

Четыре основных задачи:

1. Переменой плоскостей проекций прямую общего поло - жвния перевести в линию уровня (рис. 41).

Р еш ен и е . Новая ось проекций строится параллельно одной из проекций прямой. Плоскость

2 . Переменой плоскостей проекций линию уровня дереве - сти в положение проецирующей прямой (рис. 41).

Р еш ен и е . Второй эпюр будет исходным. Если дана ли­ ния уровня, то плоскость, перпендикулярная к ней, будет перпендикулярна и к плоскости <пг2 , т.е. <!rt 1 тс2 .

3. Переменой плоскостей проекций плоскость общего по - лолшния перевести в положение проецирующей плоскости (рис. 42).

Р еш ен и е . Предположим, что дана некоторая плоскость. Строится горизонталь ( фронталъ). Если плоскость чг2 заме­ нить плоскостью <тг2 , перпендикулярной к горизонтали А27 ,

24

то по отношению к. плоскости <?TZ плоскость ABО станет про­

ецирующей. Задача сводится к решению задачи 2. Л*

4. Переменой плоскостей проекций проецирующую плос - кость перевести в положение плоскости уровня (рис. 42).

Р еш ен и е . Подбираем плоскость, параллельную плоскос­ ти ABG . На чертеже ось X параллельна вырожденной проек­ ции треугольника АВС .

Ллоскопарадледьный перенос фигуры

Плоскопараллельным переносом фигуры относительно плос­ кости называется такое ее перемещение, при котором каж - дая из ее точек перемещается в одной и той же плоскости уровня.

Можно рассматривать длоскопаралледьный перенос фигу — ры относительно плоскости проекций, (рис. 43).

Рис. 43

25

Теорема. При плоскопараллельном переносе фигуры отно­ сительно плоскости горизонтальная проекция этой фигуры,

измени і свое положение, не изменяет своей величины. Придадим фигуре Ф новое положение Ф и получим но -

вую проекцию . Затем конструкцию Ф , М ... /Иf ... лю­

бым движением переместим в пространстве так, чтобы Ф совпала с Ф . Точки М ... совместятся с точками М ...

Проецирующие /И/И1 совпадут с проецирующими /И/И1 , так

как из каждой точки можно опустить только один перпенди­ куляр к плоскости. Отрезки проецирующих, как равные, то — же совместятся. В се точки проекций Ф совпадут с соответ­

ствующими точками проекции Ф1 .

Фронтальные проекции тех же точек перемещаются по прямым, перпендикулярным к линии связи.

Пример. Плоскопараллельным перемещением определить натуральную величину треугольника (рис. 44).

Рис. 44

Выделяем горизонталь. Плоскопаралледьным перемещени­ ем относительно плоскости переводим плоскость треуголь­

ника в проецирующее положение. Плоскопараллельным пере - носом относительно плоскости переводим плоскость тре­ угольника в положение плоскости уровня.

2Ѳ

Вращение вокруг прямой, перпендикулярной плоскости проекций

Имеем, (рис. 45) две плоскости проекций чсх и чт2 ; плос­

кость уровня р2 ; ось вращения г и ее проекциюі ;вращае —

мую точку М и es проекцию Ait . Вращение фигуры вокруг

оси, перпендикулярной плоскости проекций, представляет со ­ бой плоскопараллельное перемещение относительно этой плос­ кости.

Таким образом, остается справедливой соответствующая теорема. Кроме того, при повороте фигуры на угол ср гори — зонтальные проекции ее точек тоже поворачиваются на угол

¥•

Пример 1. Определить вращением натуральную величину

отрезка AB (рис. 46).

ходящую через точку А (4^= / ) . Вращаем отрезок до поло - жения фронтали. Фронтальная проекция его дает натуральную

вместе с прямой Af , приводим в вертикальное положение р.

27

Прямая At B1 будет горизонтальной проекцией фроятапи А В. Пример 3. Построить фронтальную проекцию а ' тонки А ,

лежащей в плоскости Р , зная положение проекции а, ( рис. 48). (Задача и обозначения Казаря - на Р.А.) На чертеже не показа­ ны ось проекций и точки.

Сместим плоскость Р по н а ­ правлению горизонтального сле­ да, пока соответствующая точка а не попадет на фронтальный след плоскости нового положе - ния. Затем плоскость возвратим в прежнее положение. Это дает возможность построить фронталь­

ную проекцию а ' . После этого строится ось проекций х .

Вращение вокруг линии уровня

Методом вращения вокруг линии уровня решается задача определения натуральной величины плоской фигуры.

При вращении точки вокруг линии уровня одна из проек - тгстй окружности представляет собой эллипс (рис. 49).

Метод применяется для определения натуральной величины плоской фигуры, так как отпадает необходимость строить эллипсы. К решению остальных задач этот метод обычно не применяется из - за трудностей, возникающих при постро­ ении эллипсов.

Пример. Определить натуральную ве­

личину треугольника вращением его во - крут горизонтали (рйс. 30).

Решение задачи основано на рассмотрении родства полей АГВ} Cf в. Ät B}Cf. Для построения точки Cf предварительно стро­

ится натуральная величина радиуса вращения r Qточки О .

28

Осью родства служит прямая Ai Bf. Построение точки Е

эьшолняется, как построение точки, родственной точке Е ,

§ 2. АКСОНОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАТУРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

В пространстве задается натуральная система координат

(координатные отрезки дают координатную ломаную). Проекционноеизображение натуральной системы коорди­

нат называется аксонометрической системой координат. Про­ екции натуральных масштабов - аксонометрическими масшта­ бами.

Чертеж фигуры, отнесенной к натуральной системе коор­ динат вместе с аксонометрической системой координат;, н а —

29