книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

Таким образом, кривая f с ее точками /VI ... размножа­

ется двупараметрическим множеством преобразований Г...

несет на себе два семейства кривых: одно семейство - кри-

л/

вые Ь / , центрально подобные кривой Ь , другое семейст­

во - кривые с 1 , центрально подобные кривой С ' , При фик­

сированных положениях точек Б ' ... получаем поверхности

] , а при фиксированных положениях точек С ' - поверх­

ности [ j ' è'J. Последние представляют собой поверхности

подобно-родственных сечений. Следовательно, триткань F ’ образуется пересечением трех однопараметрических множеств

поверхностей: Ф ' , C'] и [f' b']*. Это значит, что через

каждую точку М' пространства проходит три указанные по­

верхности, пересекающиеся в этой точке по трем линиям:

триткань прямых пиний.

Составим уравнения двупараметрического множества пре­ образований Г... Примем точку В за начало координат 0. Ось X направим по прямой БА *ось у - по прямой Б В , а

ось г - по прямой Б С •

Учитывая, что А = А ', записываем координаты единично­

го вектора 0А '^ 1,0,0}. Предположим, что кривая Ъ' точек

Тогда координаты переменного единичного вектора 0 В 1осей

у 1 ... запишутся так:

OB'

141

Предположим, что кривая с ' точек С ' ... задается свои­

ми проекциями с/ и с'2 , уравнения которых:

z' ~ ( 2 t - J ) у + 3 и z .

От двупарамэтрического множества преобразовашій Г...

можно перейти к однопараметрпческому. Для этого доста - точно установить взаимно однозначное соответствие между

точками В ' ... линии b ' и точками С 1 ... линии с г. Тогда

прямые отрезков В ' с ' ... образуют уже не конгоуенцию, а

142

не от двух параметров, а только от одного. При этом по - стоянные коэффициенты расположатся в первом столбце матри­

цы преобразования, а второй и третий столбцы включат- в себя іеременные коэффициенты, зависящие от одного параметра. Так,

у' -= ( 4 t + 2 ) у + ( s l n t ) z ; z ' = ( Z t ~ 3 ) y + 3 t z .

Пример. Пусть дана прямоугольная система координат

кривые Ь' и с' точек В ' ... и С' ... Соответствие между точ­

ками В 1и С ' кривых b 'и с ' установлено с помощью плоско­ стей а: ..., параллельных плоскости у z . На оси х э^ 'п р и

А=А' задана точка S = s ' ,а в плоскости SBC - кривая s . Составить уравнения npèобразований Г..., размножающих

кривую ^ в образующие s ' ... поверхности Ф , если преоб­

разования Г... определяются парами тетраэдров ОАВСл

ОА В1... Q' и известны уравнения кривых Ъ' и с ' :

(*>') У=/,(х);

( С ) * = f 2 ( x ) .

Записываем координаты единичных векторов осей л’', у '

и z ' и получаем:

ÖA'{1,0,0}- 0B'{bn f , ( b t) , 0 ) ■ QC' { b ^ O ^ z i b , ) } .

Уравнения преобразований Г..., размножающих кривую S

в образующие s' ... поверхности Ф , записываются следую­ щим образом:

143

x' = X + b,У + b ,z ;

y' = f , ( 6 , ) y ;

Z' = / 2 ( b , ) z .

Если кривые b' и c ' симметричны относительно биссѳк-

Рис. 232

Линии Ь ' и с ' могут быть и пространственными. В этом случае для составления уравнений преобразований необходи­

мо иметь уравнения проекций b'7 , b'z и c j , с'2 линий b' и

качестве коэффициентов первого столбца матрицы преобразо­ вания следует взять координаты вектора 0А' . Заметим,

что в рассмотренных преобразованиях ось х' со своими точками является постоянной во всех преобразованиях Г...

Ее точки не изменяют своего положения в этих преобразо­ ваниях. Поэтому плоскости сечений s' поверхности Ф про­

ходят через точку S .

144

Можно представить себе случай, когда все три вершины

А ' , в ' и С ' второго тетраэдра ЛА 'В ^перемещаются в про­

странстве по некоторым линиям а ', b ' , с ' . Если эти пере - мещения осуществляются независимым образом, то трехпа -

раметрическому множеству дар тетраэдров Л А ВС и Л А'в'С' будет соответствовать трехпараметрическое множество мгно­ венных преобразований Г... Точка /И размножится этими преофазованиями в отсек пространства, заполняемый точка­

ми м ' ... Для конструирования поверхностей этот случай, до-видимому, не представляет интереса.

Если между точечными рядами А ' ..., В 1... и С ' ... ли­

ний а ' , 6 ' > с ' установить взаимно однозначное соответствие, например по параметру t или х , то подучим возможность конструировать поверхности с тремя направляющими. Коэф - фипиенты матрицы преобразования определяются координата­ ми единичных векторов осей х ' , у ' , z ' , взятых по пара­ метру t или X (можно обозначить этот параметр через ct} ,

bj или c f ; последнее осуществимо, если имеем заданными

уравнения проекций направляющих а 1 , b ', с 1). Действительно, пусть заданы уравнения указанных проек—

. ЛА ВС дана кривая s . Вершины А ' , в ' я С ' второго тетра-

145

эдра перемещаются по следующим кривым (рис. 233):

У = / , (*■> ;

(a')

2 = 0 ;

У - 0 ;

т

(с) У = О;

Рис. 233

Составить уравнения преобразований, размножающих кривую J а параллельные сечения s' поверхности Ф , для кото -

рой кривые а ' , Ь' и с ' являются направляющими.

Примем за параметр х отрезок, отсекаемый плоскостью

Уравнения преобразований запишутся так:

х' = X X + х у + X z j

У 1= J f ( * ) x ;

z' = f z ( x ) y + f3 (x )z .

Если кривые c' и Ь' симметричны относительно оси х , то у з ( л : ) * - * у 2 ( х ) и уравнения преобразований примут вид:

х ' = X X + х у + X Z ;

У= f f (.x ) x ;

z' = f 2 ( x ) y - f z ( x ) z .

Если кривые с ' , 6 ' и а.' конгруентны, а исходная кри - няч $■ *».:дуга окружности, то поверхность Ф есть поверх­ ность вращения.

Пример 2. Пусть в плоскости АВС исходного тетраэдра дана кривая s . Вершины А1 , В 1 , С 1 второго тетраэдра

140

перемещаются по кривым а'{а' , а'2),b'(b' ,Ь'2) и

с ' ( с' э с '2 ) . Составить уравнения мгновенных преобразова­

ний, размножающих кривуюs в параллельные сечения s ' ...

поверхности Ф (рис. 234).

Запишем уравнения проекций кривых С1, Ь \ а'\

мІИ]}

Запишем далее координаты единичных векторов осей х ' , у ' t

z ' , принимая за параметр х :

Ö A ' { Z , 0 , f , ( x ) } , f 3 ( x ) } , Ö c ' { x , - f 2(x),f3(x)}.

Уравнения преобразований имеют вид:

X 1~ X X + Х у + X Z \

Если линии Ь' и с' — линии уровня плоскости ей ( z = с )..

(рис. 235), то уравнения преобразования примут вид:

X ' — X X +х у + X Z ;

У' = f z (x )y ~ / 2 ( x ) z ; z' = f r ( x ) x + c y + c z .

Чтобы по уравнению исходной кривой S составить уравне­

ния преобразованных кривых s ' .... необходимо предваритель­

но от преобразований Г... перейти к обратным преобразова -

-і ниям Г ..., записав в явном виде уравнения обратных пре -

образований.

147

§ 5. НЕПРЕРЫШО-ТОПОГРАфИЧЕСКИЕ п о в е р х н о с т и

Топографическими поверхностями называются поверхно - сти, заданные дискретным множеством их горизонталей (рис. 238).

Такое задание топографической поверхности главным об­ разом применяется в горном и строительном деле, а также в топографии. Наличие горизонталей дает возможность ре - шать некоторые задачи и на плоскости.

Непрерывнотопографическая поверхность - это топо — графическая поверхность, задаваемая непрервным множест­ вом линий уровня (.рис. 237).

148

Графически непрерывно-топографическую поверхность мож—

сте со своей горизонталью поднимается вверх так, чтобы они оказались на линии т. . Множество горизонталей^ ...

образуют поверхность.

Другой пример задания непрерывно-топографической по — верхности. Допустим, имеем в профильной плоскости тс3 одно­

параметрическое семейство линий £ ..., а в плоскости ТГ2 -

распределяющую кривую т г (рис. 238). Осуществив распре­

деление линий £ ... по кривой гп. , получим поверхность профильных линий уровня.

Рис. 238 Рис. 239

Непрерывно-топографические поверхности в основном при­ меняются в самолето- и кораблестроении. При их задании конструкторам приходится решать задачу увязки двух или трех семейств линий уровня на одной поверхности. Иначе говоря, требуется сконструировать поверхность, которая не­ сет на себе три семейства (рис. 239):

149

1)сечения горизонтальными плоскостями (линии широт);

2)сечения фронтальными плоскостями (линии батоксов);

3)сечения профильными плоскостями (линии шпангоутов). При этом заранее накладываются некоторые требования

на форму линий широт, батоксов и шпангоутов.

При конструировании таких поверхностей возникают слож­ ные задачи увязки вышеупомянутых сечений так, чтобы бы - ли выдержаны все необходимые требования.

Введем понятия: 'поверхности одной серии' и 'поверхно­ сти разных серий'. Если две непрерывно-топографические по*- верхиости образованы распределением одного и того же се - мейства линий уровня, говорят, что это поверхности одной серии, а если они образованы распределением разных семейств линий уровня, —поверхности разных серий.

Пересечение непрерывно-топографических поверхностей. Теорема 1. Если две непрерывно-топографические поверх­

ности одной серии пересекаются, то они пересекаются по го­ ризонталям (фронталям, профильным линиям).

Доказательство. Допустим, имеем некоторое семейство линий £ f ..., заполняющих горизонтальную плоскость. Возь -

мем распределяющую линию rrz'^m' ). С помощью семейст­

150