книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

Рассекаем поверхность Ф 1н плоскость Ф параллельными

плоскостями ос и . Получаем на поверхности Ф 1сечения

М І и М'\' , а на

плоскости ф ' —пря —

мне ZN и L'N', Стро­

им в концах 1, 1/ ли­

Рис. 266

каем с прямой NL д у ­

гой кривой второго порядка. Аналогичным образом гладко

замыкаем дугой кривой второго порядка линию М'\' и пря —

мую Ь 'N1. Некоторой плоскостью, параллельной плоскости

Ф , рассекаем дуги 1N и 1 N в точках 2 и 2 . Любая

косая линейчатая поверхность Ф , надстроенная над дуга —

косую линейчатую поверхность Ф 3 с плоскостью параллелизма . Поверхности Ф 2 д е р з будут соприкасаться по об­

разующей 2 2; , а поверхность Ф 3 с плоскостью Ф ^ - во

всех точках образующей N N ',

Некоторые технические поверхности целесообразно стро — ить как обводы, составленные из отсеков конических поверх­ ностей второго порядка.

Пример. Построить гладкий пространственный обвод по — верхности, опирающийся на ломаную пинию ABCBEFGHt верши­ ны которой поочередно расположены в двух параллельных плоскостях.

171

Проведем плоскость у , расположенную между плоскостя­ ми а: и ß и отстоящую от них на равных расстояниях. Пусть плоскость ^ пересекает от­

В г С , Л , Е , F ,G .

В силу гладкости обвода, построенного в плоскости # .смеж ­ ные конические поверхности BM N , CA/L , Е P Q , FQ R t Д £ Р и

& R S будут иметь общие касательные плоскости по их общим образующим. Таким образом, совокупность этих конических поверхностей определяет гладкий обвод поверхности, опираю­ щейся на заданную ломаную (исключением являются только вершины этой ломаной).

При построении обводов поверхностей может возникнуть необходимость, чтобы пространственный обвод не только проходил через наперед заданные точки и линии, но и сопри­ касался бы с наперед заданными плоскостями или поверхно­ стями.

Рассмотрим решение соответствующих задач, когда в об­ вод входят отсеки поверхностей второго порядка. Известно, что поверхность второго порядка определяется девятью усло­ виями. Поэтому, если задать в пространстве две плоскости ос и j2>и потребовать, чтобы поверхность второго порядка

рядка, удовлетворяющих этим требованиям. В качестве седь­ мого условия можно задать еще одну касательную плоскость $ . Однако задать в этой плоскости точку касания С нельзя,

\12

так как плоскость А ВС должна пересекать нашу поверхность по кривой второго порядка, которая окажется заданной тре­ мя касательными с фиксированными на них точками касания, что переопределяет эту кривую.

Восьмое условие можно задать в виде точки с ' , через которую должна будет проходить касательная с к плоскости

#кривой сечения поверхности плоскостью ABG.

Вкачестве девятого условия можно выбрать либо требо­ вание инциндентности с некоторой точкой Б или требование соприкосновения с четвертой плоскостью 8 .

Пример 1. Поверхность второго порядка Ф задана тремя точками А , В и D ; касательными плоскостями а , р и ^ ,

первые две из которых касаются поверхности в точках А и

Пять элементов (касательные m , « , точки касания М %N и

173

Рис. 267

По этим шести элементам, заведомо определяющим сече­ ние к поверхности Ф плоскостью tp , можно построить со - ответствуюшую кривую второго порядка. Меняя положение

ги точкой X , пересекает поверхность Ф .

Пример 2. Поверхность второго порядка Ф задана четырь­ мя касательными плоскостями ос , j2> , ^ , S , точками каса­ ния А я В я точкой С ' , определяющей касательную с кри — рой 1с , по которой конус Л с вершиной в точке Т касается поверхности ф> . Построить точку J7 , по которой плоскость S' касается поверхности Ф .

Решение этой задачи основано на применении теоремы Шаля, согласно которой прямые, соединяющие вершины тетра­ эдра, описанного вокруг поверхности второго порядка с точ­

174

ками касания противоположных граней, принадлежат одному семейству образующих некоторого однополостного гиперболо­ ида Г. По способу, использованному при решении предыдущей задали, построим точку С касания плоскости # с поверхно - стью Ф как тонну касания прямой с с сечением поверхнос - ти плоскостью касательных а. , Ь и с (рис. 288).

Гиперболоид Г определится прямыми А Q , BP , CR . По - строим на гиперболоиде обра­ зующие второго семейства, проходящие через точки А и В , Первая из них - прямая А М определится в пересечении

плоскостей АВРж АСQ, вторая - BN - в пересечении плоско­ стей BAQ.TS. BCQ. Очевидно,что плоскости ТА/И и TBN определят в пересечении прямую ТВ , ко­ торая будет принадлежать пер­ вому семейству образующих ги­ перболоида Г. Поэтому точка И будет точкой касания плоскости 8 с поверхностью Ф .

При построении обводов, составленных из отсеков поверх­ ностей второго порядка, в некоторых случаях требуется для сглаживания обвода строить поверхность второгопорядка

Ф 3 , соприкасающуюся со смежными отсеками поверхностей

второго порядка Ф 1 , Ф 2,

Пусть треугольные отсеки А Bf С и А В2С поверхностей вто­

рого порядка Ф 1и Ф 2 имеют в точках А я С общие касатель­ ные плоскостной и j3 . Требуется построить поверхность Ф 3 второго порядка, соприкасающуюся с отсеками ф ' и Ф 2.

Проведем через прямую I пересечения плоскостей ос и ß

175

Асоприкасается с поверхностью Ф ’ по кривой к 1.

Конус А имеет с поверхностью Ф три точки соприкосно-

вения А , М и С , расположенные на кривой второго по -

рядка к 2 . Следовательно, он соприкасается с поверхностью

Ф г . Поверхность конуса Л является искомой поверхностью

Ф 3

Прежде чем перейти к способам построения обводов, со - ставленных из отсеков поверхностей второго порядка, дока­ жем следующее предложение: кривая второго порядка опреде­ ляется заданием одной касательной с точкой касания, еще одной точкой и осью симметрии кривой.

Пусть имеем касательную а. , точку касания А , точку С и ось симметрии кривой х (рис. 269).

Строим точки В и 27 , симметричные точкам А и С , и прямую Ь , симметричную прямой а. . Этих элементов доста­ точно для построения точек кривой второго порядка.

Рис. 269

176

Пусть точки Af , Br , cr г Л, есть проекции точек А ,

Аналогичным образом построим дугу ВЛ кривой второго порядка, заданной касательной ig (прямой пересечения плос­

кости ВЛВгЛ7с касательной плоскостью в точке В , опре­ деляемой касательными в точке В к дугам ВА и ВС ), точкой В , точкой Л я осью симметрии В7ЛГ.

Учитывая, что тройки попарно пересекающихся кривых второго порядка АС , СВ , ВА

и AB , ВЛ , ЛА определяют поверхности второго поряд­ ка, делаем вывод, что по — строен обвод двух отсеков поверхностей второго поряд­

ка Ф*[авс] я ф 2\_АВЛ\ , пере­ секающихся по дуге кривой второго порядка AB . При необходимости можно сгла­ дить этот обвод конической поверхностью.

Осуществляя дальнейшие построения, можно построить обвод пространственной триангуляционной сети линейного расположения треугольников АВС , АСЕ , А ЕЛ, ЕЛЕ , E F H , &FH и т.д. (рис. 271). Этот обвод также можно сгладить коническими поверхностями второго порядка.

177

постоянными величинами, умножением независимых перемен­ ных или их функций на постоянные величины, сложением функций можно, как и в классической аналитической геомет­ рии, добиться различных преобразований фигур. Так, фигура

фигуры сдвигом ее по направлению оси х на отрезок вели - чиной 2 а . Если У(х) представляет собой многочлен, то график функции строится как сумма графиков одночленов.

Рис. 273

179

1/

уг-2+]хІ+Іх-2І

Пусть у * -2 + |х I + fx —2 ].График этой функции можно построить как сумму графикой функций {рис. 275)

Комбинированное использование различных операций, при­ нятых в классической аналитической геометрии, с олерапия-

дает возможность составить уравнения сложных фигур. Возьмем две функции уг ш а и у = |дг/ и составим их

180