книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

лучим точки 1,2,3... Соединив их прямыми, получим отсек линейчатой поверхности.

Итак, можно сформулировать два подхода к конструирова­ нию линейчатых поверхностей:

1) задаются три направляющие, но таким образом,чтобы третья находилась внутри конгруендии прямых, определяе — мой первыми двумя;

2) задаются две кривые, на которых каким-либо прие - мом устанавливают взаимно однозначное соответствие то — чек.

8 6. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Поверхности с проецирующей направляющей. Поверхность на чертеже Монжа задается проекциями трех направляющих, одна из которых проецирующая прямая (рис. 152). Проекции образующих поверхности, пересекающих прямую р , в гори — зонтальной плоскости проекций будут проходить через точку Р . Следовательно, можно задать горизонтальную проекцию каркаса.

Нетрудно заметить, что между точечными рядами образу­ ющих т и п устанавливает­ ся взаимно однозначное со­ ответствие: 1,1; 2,2; 3,3;...

Фронтальная проекция каркаса строится по соот - ветственным точкам. Если задать горизонтальную про­ екцию точки N ( N ), при -

надлежащей данной поверх­ ности, легко найти ее фрон­ тальную проекцию /Ѵ2, а зна­

чит, чертеж поверхности за ­ дан.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Пусть имеется некоторая плоскость ос и две кривые т и гг . Требу­ ется построить линейчатую поверхность так, чтобы ее обра­ зующие [ ... опирались на эти кривые и были параллельны плоскости ос (рис. 153).

Легко выделить область существования поверхности при

101

заданной плоскости оі . Для этого надо через конечные точ­ ки кривыхт н п провести плоскости, параллельные ое . Пусть

ими будут плоскости ой', су2и ос3. Из ннх, очевидно, можно

выбрать ой2 и , , ограничивающие поверхности.

На комплексном чертеже задача решается несколько ина­ че. Задаются проекции направляющих т и гг и след проециру­

ющей плоскости ой (плоскости параллелизма). Прямые I 1 и l fz

выделят область существования линейчатой поверхности (рис. 154).

Рис. 153 Рис, 154

Косая плоскость. Частным видом поверхности с плоско - стью параллелизма является косая плоскость (рис. 155).

Косой плоскостью называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, направляющими которой служат прямые линии. Образующие / ... поверхности должны выби­ раться так, чтобы они были параллельны некоторой плоско­ сти ог . На чертеже Монжа эта поверхность задается таким образом: берутся проекции прямолинейных направляющих ттг (гг г у .т ) и n { n f , п 2) и задается плоскость параллелизма

ой ( <*,) (рис. 156).

Обычно в качестве плоскости параллелизма берется прое­ цирующая плоскость* так как она упрощает построение карка­ са поверхности. Проекции образующих такой поверхности в соответствующей плоскости проекций будут параллельны про­ екции плоскости параллелизма с£. Значит, можно легко

102

построить горизонтальную проекцию каркаса поверхности. Ос­ тается восстановить фронтальные проекции образующих t

( t ...)» которые и дадут фронтальную проекцию каркаса.

Инженерный способ задания косой плоскости. Выбирают два отрезка скрещивающихся прямых AB и СЛ . Через точку В проводят отрезок прямой B E , равный и параллельный от­ резку АС . Точку Е соединяют с В и С . В результате полу­ чают параллелограмм А BE С и треугольник СЕВ (рис. 137).

Примем плоскость В ЕВ за плоскость параллелизма и по­ строим образующие поверхности, ей параллельные. Возьмем какую-либо точку /И на А В и проведем через нее плоскость

осм параллельно плоскости параллелизма: л^Ц пл. BED f Она пересечет параллелограмм по отрезку ML , а треугольник

В силу второго свойства получаем линейчатую поверх — ноетъ пропорционального деления направляющих отрезков: ли­ нейчатые образующие косой плоскости делят отрезок АВ и СВ в одном и том же отношении (рис. 158).

На чертеже Монжа такая поверхность задается проекция­ ми отрезков прямолинейных направляющих АВ( А1В/ , А2В2) и СВ (CfBr . С2В2 ) (рис. 159). Если при этом построить плОс-

103

кость параллелизма, то она окажется плоскостью общего по­ ложения. Для получения чертежа косой плоскости необходимо осуществить пропорциональное деление проекций отрезков пря­ мых А в и СВ в одной плоскости проекций и затем построить проекции каркаса поверхности как в первой, так и во второй плоскости проекций.

Отметим некоторые свойства этой поверхности. Если за направляющие отрезки поверхности принять отрезки АЛ и ВС,

образующих выделило соответственно линейчатые поверхности

Ф1и ф \ ф'=[АВя Л С) ; фг [АП и ВС].

несет на себе два семейства прямолинейных образующих. До­ кажем,»то средствами начертательной геометрии. Допустим, имеем два скрещивающихся отрезка прямых AB и СП (рис.

160). Возьмем прямую/ИЛ/- представителя первого семейст-

АМ TJN

ва прямых и запишем отношения отрезков —== —— . Далее

тв NС

возьмем любого представителя второго семейства образую -

прямые /ИЛ/ и PQ пересекаются, то поверхности, которым они

принадлежат, - тождественны, а если не пересекаются - раз­ личны. Докажем, что существует точка пересечения указан - ных прямых.

104

Рис. 160

Для доказательства возьмем какую-либо плоскость проек—

I

ций тс и спроецируем на нее нашу конструкцию по направле —

нию отрезка PQ, . Из подобия подученных треугольников А*в'р'

VLC'D 'Q1 следует, что M'N ' проходит через точку р'= Q' . Сле - довательно, МN в пространстве пересекает PQ в точке L . Итак, в данном случае имеем одну поверхность, наглядное изображение которой показано на рис. 161, где I и 2 - плоскости параллелизма соответственно для семейства обра­

зующих I 7 ... и I 2... нашей поверхности.

Поверхность несет на себе два семейства прямых. Каж­ дое из них имеет свою плоскость параллелизма. Прямые одного семейства между с обой не пересекаются. Каждая

прямая одного семейства пересекает все прямые другого. Направляющие отрезки А6 и DC надо рассматривать как направ­

ленные отрезки. Как видим, эти отрезки определяют косую плос­ кость. Если у одного из отрезков изменить направление, напри­

мер у р С ,то получим две косые п л о с к о с т и и

на одних и тех же направляющих, но уже не тождественные между собой (рис. 162). Эти плоскости имеют общую плос­ кость параллелизма прямых AB и СВ и три общие прямые:

А В , СИ и прямую, делящую пополам отрезки AB жС В . Докажем, что косая плоскость есть поверхность второго

порядка. Пусть косая плоскость задана направляющими от - резками ОА ъВС : А (0,0, а ) , В (0 ,Ь ,0) и С

(рис. 163). Разделим отрезки 0А и ВС точками М и N в одном и том же отношении Л . Подсчитаем координаты точек М и

N :

106

Составим уравнения прямой MN :

Исключив таким образом Л из уравнений прямой Лі/Ѵ (12),

получим уравнение поверхности (ко­ сой плоскости). Очевидно, что это Уравнение есть уравнение второй степени;

(xfy-xy,)[xfz - x ( z r a )] =

106

8 7. КЛИНОВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Некоторые поверхности с плоскостью параллелизма и одной криволинейной направляющей имеют форму клина. Их называют клиновидными поверхностями или коновдами. При­ ведем пример такой поверхности, часто рассматриваемой в учебной литературе.

В некоторой плоскости берут окружность г п , а какой-ли­

бо ее диаметр А 'ВПоднимают вверх на некоторую высоту к .

т2 )} Aß( AfB} , А2 ß2) и плоскость параллелизма ос ( ocf= сс2 ),

после Чего легко строят образующие этой поверхности (рис. 165).

^ 2 ^ 4

I

Рис. 165

Рассматриваемая поверхность ігоямого клина обладает одним интересным свойством: сечение поверхности плоскостью,па­ раллельной основанию, дает кривую, родственную этоілу оснотванию. Например, если в основании поверхности имели окруж­ ность, то сечение поверхности такой плоскостью представля­ ет собой эллипс. Это свойство вытекает из того, что такая

107

секущая плоскость делит образующие клина в одном и том же отношении.

Клиновидные поверхности с закруткой. Представим себе, что направляющая AB , повернутая вокруг точки М на неко­ торый угол, заняла положение A ß , а образующие I ... по — верхности остались прямолинейными. В результате получаем клиновидную поверхность с закруткой (рис. 166). Такие по ­ верхности применяются в технике.

Пример. Берут две фронтальные плоскости ос fjj3 и ограни­ чивающие их плоскости у и $ , пересекающиеся по прямой т (рис. 167).

В плоскостях а и р задают два сечения крыла летателъ - ного аппарата. Пусть в плоскости ос таким сечением будет направляющая кривая а , а в плоскости J3 —кривая 6 . Для простоты построений эти кривые выбраны так, что касатеяь-

ные к ним известны, т.е, і АЦt Си ITC,.

Хорды AB и СП принимают за направляющие косой плоско­ сти и строят прямые пропорционального деления хорд натрав­ ляющих. Образующие АС и ВЛ поверхности, лежащие в плоско­ стях К и 8* , высекают на прямой т отрезок 1-2. Все проме­ жуточные образующие косой плоскости будут пересекать от­ резок 1-2. _Из пропорционального деления хорд AB и CJJ можно

у AM CN

10В

Г л а в а УШ. ПОВЕРХНОСТИ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

§ 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Циклической поверхностью называется поверхность, несу­ щая на себе непрерывное семейство круговых образующих. Примером таких поверхностей являются поверхности вращѳ — ния (рис. 168). Их параллели р образуют некоторое семей - ство круговых образующих.

Рис. 168 Рис. 169

Второй пример — однополостный гиперболоид, поперечные сечения которого есть эллипсы, несущий на себе два парал­ лельным образом расположенные семейства круговых обра - зуюпщх ттъ (рис. 169).

Определитель циклической поверхности. Пусть в простран­ стве имеется какая-то окружность m с центром в точке С

(рис. 170). Всегда существует векториальный отрезок А1А гг перпендикулярный к плоскости окружности & , длина которо —

го пропорциональна радиусу окружности: А'А2Lot и A1AZ~ 2 1сг. Если к = 1, то длина векториального отрезка равна диамет­

ру окружности. Представим себе, что нашокружность ш е -

ПО