книги из ГПНТБ / Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие]

Из соотношений (1) и (2) следует очевидное равенство тА а = = AR. Относительно точки подвеса маятник может двигаться только по окружности радиуса I, в противном случае нить растя­ нется или провиснет. Поэтому в относительном ускорении Аа можно выделить две составляющие: Аах — центростремительную и Аа2 — касательную к окружности. Разложив по тем же направ­ лениям вектор АR, получаем, что

Из последнего равенства следует, что сила, возвращающая груз в положение равновесия, пропорциональна величине откло­ нения X от этого положения. Груз начнет совершать гармонические колебания (см. Примечание I к задаче) с периодом

свободно падает, натяжение нити обращается в нуль, возвращаю­ щей силы не возникает. Выведенный из положения равновесия груз либо остается в новом положении относительно системы отсчета, связанной с точкой подвеса, либо движется равномерно относительно точки подвеса по окружности. В обоих случаях колебания отсутствуют.

П р и м е ч а н и е I. Если материальная точка массой ш находится в положении устойчивого равно­ весия, а при ее отклонении от этого положения на

риальная точка, будучи выведенной из положения рав­ новесия и предоставленной самой себе, станет совер­ шать гармонические колебания, причем период Т этих, так называемых свободных, колебаний окажется равным 2я (т/к)1/2.

Пр и м е ч а н и е II. Период свободных колебаний является объективной характеристикой систем опре­ деленного типа (например, указанных в примечании I), существующей вне зависимости от того, действительно ли система находится в состоянии колебательного

79

движения или пребывает в покое. Поверхностная ана­ логия — электростатический потенциал. Он опреде­ ляется через работу, совершаемую силами поля и т. д., но характеризует любую точку этого поля незави­ симо от того, была ли совершена такая работа в дей­ ствительности или только может быть совершена в принципе.

3 А Д А Ч А 50

Два бруска с массами тх и т%, лежащие на гладком столе, соединены невесомой пружиной с коэффициентом жесткости к. Бруски разводят в противоположные стороны, растягивая при этом пружину на величину AI, и одновременно отпускают. Найти основные характеристики движения брусков.

РЕ Ш Е Н И Е

'Импульс системы из двух брусков и пружины в момент осво­ бождения брусков равен нулю. На основе закона сохранения импульса тгѵ1 4- т2 ѵ2 = 0, где ѵх и ѵ2 — проекции мгновенных скоростей брусков 1 и 2 на горизонтальную ось. Следовательно,

отношение скоростей брусков во времени неизменно: ѵх/ѵ2 =>

=— т2 /т1 = const. Но если у двух тел скорости пропорцио­ нальны друг другу, то с тем же коэффициентом пропорциональны

ипути, пройденные телами за любой промежуток времени: ххІх2 —

=— т2 /т1 = const, где хх и х2 — длины путей к произволь­ ному моменту времени, отсчитанные, например, от начального положения.

Последнее соотношение можно переписать так:

Из определения центра масс (см. задачу 23) и ра­ венства (1) следует, что несмотря на движение отдель­ ных элементов, центр масс системы в целом остается неподвижным. Доказанное утверждение часто приво­ дится в следующей формулировке: „Внутренние силы не могут изменить положение центра масс“. Именно эту теорему забыл барон Мюнхгаузен, вытащив самого себя из болота за волосы, да еще с конем впридачу.

При некотором положении грузов натяжение пружины, оче­ видно, обращается в нуль. Будем под ух и у2 понимать смещения грузов от этих положений; для ух и у2 равенство (1) остается, очевидно, так же справедливым. При этом величина ух — у2 есть

80

удлинение пружины по сравнению с нерастянутым состоянием, причем

Таким образом, на груз т1 действует сила, пропорциональная его смещению от положения равновесия (когда уг = 0) и направ­ ленная в сторону, противоположную смещению. Аналогичный результат с другим коэффициентом пропорциональности может быть получен и для груза т2. Следовательно, положения, которые занимают грузы в момент, когда пружина нерастянута, являются положениями равновесия этих грузов, причем относительно поло­ жений равновесия грузы совершают гармонические колебания (примечание I к задаче 49) с периодом для т1

Для вычисления периода Т2 колебаний груза пг2 можно:

1)или выполнить те же выкладки, начиная с соотношения (3) применительно к грузу т2;

2)или поменять в ответе (4) индексы 1 и 2 местами;

3)или — самое лучшее — сообразить, что грузы могут коле­ баться только с одинаковыми периодами, Тх = Т2.

Амплитуды колебаний А х и А 2 определяются из соотношений

ков через сжавшуюся пружину. Если столкновение упругое, то ход событий будет аналогичен рассмотренному в задаче 48.

3 А Д А Ч А 51

Доказать, что силовые линии гравитационного поля не могут пересекаться или касаться друг друга в тех точках, где отсутствуют массивные тела.

Р Е Ш Е Н И Е

Напряженность поля тяготения равна отношению силы, которая действует со стороны поля на точечную массу, помещенную в исследуемую точку, к величине этой массы, т. е. равна ускорению силы тяжести в этой

81

чточке. Силовыми линиями поля называются линии, каса­ тельные к которым в каждой точке совпадают с направ­ лением напряженности поля в этой точке, а густота линий в любой области пропорциональна величине на­

пряженности поля в этой области. (Густотой силовых линий называется количество линий, проходящих через перпендикулярную к линиям площадку единичной пло­ щади.)

Часто, давая понятие „силовой линии“, приводят лишь первую часть определения. Это неверно: физичес­ кий смысл имеет только семейство, совокупность сило­ вых линий, но не отдельная линия. Понятие о семействе линий впервые ввел М. Фарадей.*

Допустим, что в точке А (см. рис. а) силовые линии пересе­ каются или касаются друг друга. Тогда по мере приближения к точ­ ке А силовые линии неограниченно сближаются, т. е. неограни­ ченно увеличивается их густота, а следовательно, и напряженность поля. Из закона всемирного тяготения и принципа суперпозиции следует, что если поле создано конечным числом массивных тел, массы которых ограничены, то нигде вне этих тел напряженность поля не может быть бесконечной. По принципу суперпозиции на­ пряженность суммарного поля есть сумма напряженностей полей отдельных тел, а сумма конечного числа ограниченных величин имеет конечное значение. Это и доказывает утверждение, содержа­ щееся в тексте задачи.

Представление поля в виде картины силовых линий не только очень наглядно, но и позволяет просто полу­ чать многие важные результаты. В то же время в самом определении понятия „силовая линия“ содержится некий произвол, так как не существует общепринятой единицы для измерения густоты линий. Одно и то же поле (одно­ родное поле на рис. б, например) в зависимости от инди­ видуального вкуса можно изобразить как частыми, так и редкими линиями. Чтобы устранить эту неопределен­ ность, вводят другую характеристику поля, величина которой пропорциональна густоте линий: поток напря­ женности через поверхность. Выделим в однородном поле (см. рис. в) плоскую площадку площадью S, пер­ пендикуляр п к которой составляет с направлением напряженности g угол а. Потоком напряженности через эту площадку называют величину Ф — gS cos ct.

Если мы имеем дело с неоднородным полем, то при определении Ф площадку S следует выбрать настолько малой, чтобы в ее пределах поле можно было считать однородным, а саму площадку — плоской.

* Д. М а к с в е л л , Речи и статьи, М.-Л., Гос. изд. техн.-теор. лит.,

1940,

82

Очевидно, что поток через площадку максимален

К задаче 51.

Для лучшего понимания смысла введенной характе­ ристики полезно рассмотреть следующий пример из гидродинамики.

Пусть в некотором объеме имеется установившееся течение жидкости. Структуру этого течения можно

83

ципу суперпозиции. Следовательно, закон Гаусса спра­ ведлив и для электростатического поля.

Во многих задачах закон Гаусса приводит к резуль­ тату быстрее и проще, чем непосредственное использо­ вание закона всемирного тяготения или закона Кулона

(см. задачи 53, 106).

В заключение еще одно замечание. Если вы внима­ тельно следили за рассуждениями, содержащимися в тексте решения задачи, то должны были заметить, что было негласно использовано такое утверждение: сило­ вые линии непрерывны в тех местах, где отсутствуют массивные тела. Докажем (правда, не очень строго) справедливость этого утверждения, пользуясь законом Гаусса. Пусть силовая линия начинается (или заканчи­ вается) в некой точке А, где отсутствует вещество. Мысленно окружим А сферой с центром в А настолько малой, чтобы, во-первых, внутрь этой сферы не попало ни одного массивного тела, или его части, и, во-вторых, чтобы внутри сферы не начиналась, не кончалась ни­ какая другая силовая линия. При этом условии поток через сферу отличен от нуля, что противоречит закону Гаусса. Следовательно, требуемое утверждение доказано.

3 А Д А Ч А 52

Доказать, что поле тяготения, создаваемое тонким сферическим слоем, однородным по плотности, внутри сферы, окруженной этим слоем, отсутствует.

Р Е Ш Е Н И Е

Обычно для доказательства этого утверждения используют следующий прием. Рассмотрим шаровой слой, толщина которого мала. Поместим в произвольную точку внутри сферы точечную пробную массу М (см. рисунок). Выделим на поверхности слоя площадку АSt, построим конус с вершиной в М и основанием AS^ и продолжим боковую поверхность конуса до нового пересе­ чения со слоем. Эта поверхность „вырежет“ из слоя площадку А52. Выберем величину AS± настолько малой, чтобы тела AS1 и А5а по отношению к пробной массе М можно было считать точечными массами. Тогда М притягивается этими массами с силами

Атх и Ат%— массы тел АSt и AS2, гх и г2 — расстояния М до этих тел. Нетрудно убедиться, что построенные конусы подобны друг

86

мулы (1), приходим к выводу, что Fx — F2, т . е. равнодействующая сил взаимодействия М с массами Ашх и Ат%равна нулю.

Поскольку весь шаровой слой можно разбить на пары элемен­ тов, обладающих этим свойством, сила взаимодействия М со слоем равна нулю и не зависит от положения точки М внутри слоя. Следовательно, поле внутри слоя отсутствует.

Приведенное доказательство громоздко. Кроме того, если точка М близка к внутренней поверхности слоя, требуются допол­ нительные рассуждения, доказы­ вающие справедливость резуль­ тата и в этом случае.

Используем другой способ до­ казательства, представляя поле в виде картины силовых линий. Очевидно, что силовые линии поля внутри слоя, если они сущест­ вуют, должны располагаться сфе­ рически симметрично. Симметрия может быть разных типов. Кубик и диск симметричны, но, как ин­ туитивно ясно, каждый по-своему. Сферической симметрией обладает, например, одноцветный круглый мячик: как бы мы его ни пово­ рачивали, он всегда выглядит оди­ наково.

Сферически симметричными в совокупности являются только линии, которые выходят из центра О в виде лучей во всевозмож­ ных направлениях. Однако силовые линии не могут пересекаться в точке, в которой отсутствует вещество. Следовательно, силовых линий внутри слоя вообще нет, т. е. поле тяжести там отсутствует. Это доказательство является строгим.

Соображения симметрии играют важную роль в физике. Нам еще придется встретиться с их применением.

3 А Д А Ч А 53

Построить график зависимости величины ускорения силы тя­ жести g в поле тяготения, создаваемом однородным шаром, от рас­ стояния до центра шара (в том числе и для точек, лежащих внутри шара).

Р Е ШЕ Н И Е

Известно, что однородный шар вне себя создает такое поле тяго­ тения, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре шара. *

* Интересно, что эту задачу поставил и решил еще Ньютон, причем результат очень долго не удавалось получить и пришлось попутно создать основы интегрального исчисления,

87

Таким образом, вне шара ускорение меняется по закону

g (х) — уМ/х2, ж

где М — масса шара; х — расстояние до его центра (см. рис. а). Поместим единичную пробную массу в точку А на расстоянии х от его центр'а, х < R. Сила взаимодействия этой массы со сфери­

ческим слоем, внутренний радиус которого равен х, равна нулю (результат предыдущей задачи). Следовательно, сила взаимодейст-

вия пробной массы со всем шаром такая же, как если бы этого сфе­ рического слоя вообще не было, т. е. ускорение в точке А

где т (я) — масса шара с радиусом х, т. е. т (х) = Ma?/R3. Подставляя последнее в (1), получим, что

g (х) = yMx/R3 = g0 x/R, X ==£ R ,

т. e. внутри слоя ускорение меняется прямо пропорционально рас­ стоянию до центра шара (рис. б). Величина g0 есть ускорение силы тяжести на поверхности шара, причем g0 = yAf/R2.

Искомый результат во всей полноте можно быстро получить, применяя закон Гаусса (см. задачу 52). Очевидно, что поле одно­ родного шара обладает сферической симметрией, причем напря­ женность поля всегда направлена вдоль линии, соединяющей иссле­ дуемую точку с центром шара. Опишем из центра шара сферичес­ кую поверхность радиусом х. Поток напряженности через эту поверхность Ф (х) = — 4nx2g (х). По закону Гаусса

3 А Д А Ч А 54

Допустим, что сквозь Землю через ее цегітр проведен прямо­ линейный туннель, такой узкий, что можно пренебречь искажением поля тяготения Земли. Докажите, что, если Земля является одно­

88