книги из ГПНТБ / Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие]

Если в исходном состоянии каждый из пузырей был больше полусферы, то больший пузырь начнет расти, а малый уменьшаться в размерах, пока не станет меньше полусферы, причем такой, что радиусы пузырей ока­ жутся одинаковыми.

Если в исходном положе­ нии пузыри были меньше полусферы, то больший по объему пузырь начнет умень­ шаться.

Нетрудно убедиться, что состояние равновесия устой­ чиво.

З АД АЧ А 86

Известно, что мокрые стекла „слипаются“ друг с другом: разделить их, да и

то с трудом, можно только сдвигая стекла друг относительно друга.

Капля воды с массой т = 0,1 г введена между стеклами, находящимися на расстоянии d = 10-4 см друг от друга. Мокрое пятно имеет круглую форму. Вода полностью смачивает стекла.

Какую силу F нужно приложить к стеклам перпендикулярно к их плоскости, чтобы оторвать их друг от друга?

Р Е ШЕ Н И Е

Форма капли, находящейся между стеклами, изображена на рисунке. Нетрудно убедиться в том, что радиус 7? круглого пятна значительно превышает толщину d капли. Действительно, бу­ дем считать в первом приближении, что капля имеет цилиндричес­

Так как стекло полностью смачивается водой, то поверх­ ность капли в сечении, перпен­ дикулярном стеклам, является вогнутой с радиусом кривизны 7?! = dl2. Радиус кривизны по­

верхности капли Т?2 в сечении, параллельном стеклам, близок к величине R . Следовательно, в выражении Ар = а (1/7?! + 1/Т?2) (см. задачу 83) для разности давлений вне и внутри капли можно пренебречь величиной 1/Т?2 по сравнению с 1/7?!.

Таким образом, давление внутри капли меньше, чем давление снаружи. Для того чтобы оторвать стекла друг от друга, нужно

119

действовать на каждое из них силой, большей, нем сила избыточ­ ного давления наружного воздуха, т. е.

F A.pnR2= 2яR2o/d = 2mo/pd2= 1,5 • ІО4 Н

для о = 76-ІО"3 Н/м.

3 А Д А Ч А 87

В сосуд с подвижным поршнем заключен мыльный пузырь ра­ диусом г. Медленным вдвиганием поршня воздух в сосуде сжимают так, что радиус пузыря уменьшается вдвое. Найти давление воздуха вне пузыря в цилиндре в этот момент, если давление воздуха вне пузыря в исходном состоянии равно р.

Р Е ШЕ Н И Е

Будем считать, что сжатие воздуха происходило так мед­ ленно, что процесс можно считать изотермическим.

Так как объем пузыря при сжатии уменьшился в восемь раз, давление внутри пузыря в восемь раз возросло. Пусть рг и р2 — давление внутри пузыря в исходном и конечном состояниях, а р' — искомое^ давление. Учтем, что разность давлений воздуха по разные стороны от поверхности пузыря вдвое больше соответ­ ствующей величины для сферической поверхности жидкости, так как мыльная пленка, образующая пузырь, имеет две поверхности, каждая .из которых создает дополнительное давление (см. задачу 83). Поэтому р = Рі — 4а/г, р' = р2 — 8о / г , откуда р' = 8р, —

- 8<х/г = 8р + 24а / г .

ЗАДАЧ А 88

Всосуд с водой опускают стеклянный капилляр радиусом R (см. рис. а). Температурный ход коэффициента поверхностного натяжения показан на рис. б.

Вкаком диапазоне температур вся вода вытечет из сосуда?

Для вычислений принять, что R = 0,1 мм, h = 14,1 см, Н = 15 см.

120

Р Е Ш Е Н И Е

Известно, что если поверхность жидкости искривлена, то из-за наличия сил, связанных с поверхностным натяжением, возникает разность давлений по обе стороны от поверхности.

Будем считать, что капилляр полностью смачивается водой, так что поверхность воды в капиллярной трубке является сфери­ ческой с радиусом R.

Для того чтобы вода начала вытекать из сосуда, необходимо прежде всего, чтобы избыточное давление над мениском было спо­ собно поднять воду в правом колене капилляра до его горизон­ тального участка, т. е. чтобы Ар = 2a/R gh. Если это условие выполняется, то вода проникает в левое колено и достигает его конца. Под действием силы гидростатического давления на левом конце образуется выпуклый мениск, который мы также будем считать сферическим с радиусом R.

Капли воды будут отрываться от капилляра только в том слу­ чае, если избыточное давление под мениском меньше гидростати­ ческого, т. е. если 2o/R < pgH ■

Последнее неравенство написано для наихудшего случая, когда почти вся вода из сосуда уже вытекла и, значит, гидроста­ тическое давление имеет наименьшую величину.

Из заданного графика найдем зависимость величины а от температуры:

а ^ ^ т б - с и б т ^ д н г 3 Н/м.

Исключая из двух последних выражений величину а, прихо­ дим к неравенству для температуры, при выполнении которого удовлетворяются условия задачи

"а (0,076 — pgRH/2)<i Т °С eg а (0,076 — pgRh/2),

где а = 1,67-ІО4 град-Н/м.

Таким образом, искомый диапазон температур определяется неравенством 16,7° < Т sg 46,7°.

З А Д А Ч А 89

Предлагается еще один проект вечного двигателя. Допустим, чтЪ под колоколом, где находится сосуд с жидкостью, отсутствует воздух. В сосуд опущен вертикальный капилляр, который сма­ чивается жидкостью. Жидкость поднялась в капилляре на высоту h над ее уровнем в сосуде. Над поверхностью жидкости в капил­ ляре находится насыщенный пар, давление которого совпадает с давлением пара р0 у поверхности жидкости в сосуде. В то же время давление вне капилляра на высоте h меньше, чем давле­ ние р0, на величину давления столба пара высотою h — это сле­ дует из закона Паскаля. Этот перепад приводит к „отсосу“ пара

121

из верхнего конца капилляра, жидкость в капилляре постоянно испаряется и конденсируется у поверхности жидкости в сосуде. При этом в капилляре существует постоянный ток жидкости, который можно использовать для совершения полезной работы.

Где ошибка в этих рассуждениях?

Р Е ШЕ Н И Е

Поверхность жидкости в капилляре искривлена, а в приведен­ ных выше рассуждениях предполагалось, что давление насыщен­ ного пара не зависит от кривизны поверхности жидкости, над которой этот пар находится, что не соответствует действитель­ ности.

З А Д А Ч А 90

Зависит ли давление насыщенного пара от кривизны свобод­ ной поверхности жидкости и если зависит, то каким образом?

Р Е ШЕ Н И Е

При достижении парами состояния насыщения между жидко­ стью и паром устанавливается динамическое равновесие: коли­ чество молекул, вылетающих из жидкости через площадку АS ее поверхности, равно количеству молекул, возвращающихся в жид­ кость через эту площадку.

Рассмотрим малый объем пара AF, расположенный на оди­ наковой высоте над вогнутой, плоской и выпуклой поверхностями

■гг

жидкости (рис. а). Если площадки малы, высота мала, то можно считать, что из молекул, покидающих жидкость через указанные поверхности, все, имеющие скорости, направленные в пределах угла Q, попадут в объем AF. Так как S x < 5 2 •< S 3, от плоской поверхности таких молекул прилетит больше, чем от выпуклой, но меньше, чем от вогнутой.

Если считать, что количество вылетающих из жидкости моле­ кул слабо зависит от кривизны поверхности и одинаково во всех

122

трех случаях, то при одной и той же температуре насыщенный пар над плоской поверхностью должен иметь плотность, большую, чем над вогнутой поверхностью, но меньшую, чем над выпуклой.

Получим этот же результат более строгим способом. Пусть под колоколом, не содержащим воздуха, имеется сосуд с жидкостью

Обозначим разность уровней жидкости в сосуде и капилляре, символом h’y. давление у поверхности жидкости в сосуде — р0 (т. е. давление насыщенного пара над плоской поверхностью), давления вне и внутри жидкости у поверхности мениска в капил­ ляре — рг и р2 соответственно; рж и рп — плотности жидкости и пара (для пара возьмем среднюю плотность).

Рассмотрим сначала случай 3. В состоянии равновесия должны выполняться следующие равенства в соответствии с законом Пас­ каля:

Рі = Ро~ РпgK

Pi = Рі + Ар — р0- pmgh,

где Ар — дополнительное давление под мениском. Из (1) следует, что

Поскольку рн; > рп, уравнение (2) не удовлетворяется, и случай 3 не может наблюдаться в природе. Подобным же образом можно доказать, что не может быть и картины, соответствующей случаю 4.

Рассмотрим случай 1. На основе закона Паскаля

Р і ~ Ро Plight

насыщенного пара над вогнутой поверхностью меньше, чем дав­ ление пара над плоской поверхностью, на величину

Арп = Ар Рп/(р;п Рп)-

Легко показать, рассматривая случай 2, что давление насы­ щенного пара над выпуклой поверхностью больше,чем над плоской.

Приведенные рассуждения одновременно дают _ решение пре­ дыдущей задачи.

ЗА Д А Ч А 91

Воблаке имеются капельки воды различных размеров. Допу­ стим, что эта система является изолированной, т. е. не взаимо­ действует с окружающей средой; примем, кроме того, что грави­

тационные силы между капельками настолько малы, что капли друг относительно друга не перемещаются. Меняются ли при этом размеры капель и почему?

123

I

Р Е Ш Е Н И Е

Размеры капель могут сохраняться неизменными лишь при условии, что каждая капля находится в динамическом’равновесии с окружающим ее водяным паром. Мы уже знаем (см. задачу 90), что давление пара вблизи свободной поверхности жидкости зависит от кривизны этой поверхности: давление около малых капель больше, чем около крупных. Из-за этого в облаке происходит про­ цесс диффузии — перенос пара от малых капель к большим. Пар вблизи мелких капель поддерживается в ненасыщенном состоянии (и эти капли испаряются), а у больших — в состоянии перенасы­ щения (так что большие капли увеличиваются в размерах). В ко­ нечном итоге в облаке остается единственная капля.

З А Д А Ч А 92

Очень широкий цилиндрический сосуд А имеет в днище отвер­ стие, снабженное вертикальной трубкой В. К трубке присоединен манометр С. Нижний конец трубки закрыт пробкой, и уровни жид­ кости в сосуде и манометре оди­

наковы (см. рисунок).

Как расположится уровень воды в манометре, если, вынув пробку, дать жидкости вытекать? Как изменится ответ, если труб­ ка В суживается книзу?

Трением пренебречь.

Р Е ШЕ Н И Е

Очевидно, что в обоих случаях давление н а. уровне открытого конца трубки В близко к атмо­ сферному.

По закону Бернулли в первом случае давление у входного от­ верстия манометра меньше атмосферного на величину давления

столба воды высотою h\ во втором случае давление у входного отверстия манометра отличается от атмосферного на меньшую ве­ личину, так как скорость течения воды увеличивается по мере при­ ближения к концу трубы В.

Следовательно, в первом случае вода в правом колене мано­ метра расположится на уровне конца трубы В, а во втором слу­ чае — выше конца трубы В, но ниже входного отверстия манометра.

З А Д А Ч А 93

Из крана вытекает вниз вертикальная струя воды. Вам пре­ доставлена возможность наблюдать отрезок струи длиной 3 см, и вы заметили, что на этом протяжении диаметр струи уменьшился от 3 до 2 мм.

За какое время наполнится водой стакан объемом V = 200 см3?

124

Р Е Ш Е Н И Е

Уменьшение диаметра струи происходит под действием сил поверхностного натяжения. Если бы поверхностное натяжение от­ сутствовало, то струя воды вела бы себя, как поток дроби, высы­ пающейся из трубки: у „струи“ дроби диаметр не меняется по мере удаления от конца трубы, расстояния же по вертикали между дробинками возрастают (действует кинематика равноускоренного движения!).

Поскольку кривизна поверхности струи изменяется, дополни­ тельное давление внутри струи, создаваемое поверхностным натя­

Искомое время найдем из очевидного равенства At = VISxvu подставляя в которое выражение (2) и численные данные (причем а = 76-10-3 Н/м), получаем, что At ж 75 с.

З А Д А Ч А 94

Перевернутый цилиндрический стакан высотою II плавает так, что его дно находится вровень с поверхностью воды (см. рисунок), причем вода занимает 1 In часть стакана. Такой же стакан, но пустой, погружают в воду вверх дном. На какую глубину надо его погрузить, чтобы он не всплыл?

Окружающий воздух имеет температуру Тг, вода — Т2, ат­ мосферное давление равно р-

* Э л е м е н т а р н ы й учебник физики. Под ред. Г. С. Ландсберга.

Изд. 8-е. М., „Наука“, 1973.

125

где S — площадь поперечного сечения стакана (здесь и в даль­ нейшем для сокращения вычислений предполагается, что плотность стекла настолько превосходит плотность воды, что выталкивающей силой, действующей на объем, занятый стеклом, можно пренебречь по сравне­

нию с силой давления воздуха). Стакан, погруженный на глубину х,

не всплывает, если окажется, что сила давления воздуха на дно стакана снизу не превосходит суммы силы давления воды на дно сверху и веса стакана, т. е.

p g { x - H + V / S ) S ^ p g ( x - H ) S + G,

(2)

где V — объем воздуха в стакане на

глубине X. Знак равенства в выраже­ нии (2) соответствует состоянию неус­ тойчивого равновесия стакана.

Исключая из выражений (1) и (2) величину G, находим, что

На основе объединенного газового закона

Исключая из соотношений (3) и (4) объем V, приходим к выра­ жению

JL(.

Рg \п —

Следует заметить, что решение задачи имеет смысл, если выпол­ няется неравенство

JL ( п

Рg \п —1 Й - ‘ ) + Т > ° -

В противном случае стакан утонет и сам.

126

3 А Д А Ч А 95

В замкнутом вертикальном сосуде поршень, который может двигаться без трения, делит разграниченные им объемы в отноше­ нии п : 1. Над и под поршнем находятся одинаковые массы одного и того же газа при температуре Тх.

Как изменится отношение объемов при изменении температуры

ДО Г 2?

Р Е ШЕ Н И Е

Так как поршень неподвижен, то сумма действующих па него сил равна нулю, следовательно, давление в нижней части сосуда должно быть больше давления в верхней его части, чтобы уравно­ весить давление газа сверху и вес поршня.

Если п > 1, то п : 1 дает, следовательно, отношение верхнего объема к нижнему. Будем решать задачу именно в таком предполо­ жении.

Введем следующие обозначения: FB1, FH1, рВ1, рЯ1, Ѵш, FHa, рВ2, Pm — объем и давление газа в верхней и нижней частях сосуда при температурах 2\ и Т2. Так как объем сосуда неизменен, FB1 + + FH1 = Fв2 + FH2,

где к — искомое отношение верхнего объема к нижнему. Очевидно, что к > 1.

где S — площадь поршня. Так как массы газа с разных сторон от поршня одинаковы и неизменны, то PbJPhi = 1 In, рВ2ІРт — 1/А. При этом из равенства (2) получаем, что

Легко видеть, что дискриминант всегда положителен, один из корней отрицателен, мы его отбрасываем, другой корень больше единицы.

Проверка полученного решения для случая п = Т, что соответ­ ствует невесомому поршню, дает очевидный результат к — 1.

127

ЗА Д А Ч А 96

ßртутном барометре с цилиндрической барометрической труб­ кой расстояние от уровня ртути в чашке до запаянного конца

трубки равно L мм. В трубку при давлении Нх мм и темпера­ туре Тх °С попал пузырек воздуха, из-за чего длина ртутного столба уменьшилась и стала равной hx мм.

Найти выражение для поправки р , прибавляя которую к пока­ занию h барометра, можно было бы пользоваться последним при любых температурах и любых высотах ртутного столба.

Р Е ШЕ Н И Е

Показания рассматриваемого барометра всегда меньше истин­ ного давления на величину давления воздуха в трубке, выражен­ ного в миллиметрах ртутного столба.

Давление воздуха в трубке при внешнем давлении Нх равно по условию величине рх = (Нх — hx) мм рт. ст. Это и есть по­ правка к показанию барометра при температуре Тх и внешнем давлении Нх.

Найдем давление р воздуха в трубке при температуре Т °С и внешнем давлении Н.

Пусть сечение трубки равно S. При давлении Нх и температуре

Следовательно, если температура равна Т °С, а барометр пока­ зывает давление h мм рт. ст., то истинное внешнее давление Я —

= h + р.

З А Д А Ч А 97

Две сферы с объемами 100 и 200 см3 соединены короткой трубкой, в которой имеется пористая перегородка. С ее помощью можно

установится в системе? Тепловым расширением сфер прене­ бречь.

128