книги из ГПНТБ / Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие]

Р Е Ш Е Н И Е

После включения в процессе нагрева сопротивление нагрева­ тельного элемента возрастает в п раз, соответственно в п раз уменьшается общий ток. Во сколько-то раз возрастают и величины сопротивлений шунта г и лампочек Л 1 и Л %. Однако тепловая инерция утюга с нагревателем много больше тепловой инерции лампочек. Это приводит к тому, что в схеме б через лампочку Лг в течение заметного времени после включения идет ток, в п раз превышающий номинальный ток I , и лампочка может перегореть. Если же подобрать параметры лампочки Л %так, чтобы ток пі был ее рабочим током, то после разогрева утюга при токе I све­ чение лампочки будет слишком слабым.

В схеме рис. а, если времена установления рабочей темпера­ туры элемента R и шунта г близки, ток через лампочку Лх ме­ няется в процессе разогрева не столь сильно, и параметры лам­ почки легче подобрать так, чтобы она и не перегорала и светилась достаточно ярко.

З А Д А Ч А 135

Дана электрическая цепь, в которой находится, помимо дру­ гих сопротивлений, некоторое сопротивление R, потребляющее мощность N. Когда к клеммам этого сопротивления подключают

З А Д А Ч А 136

Батарея с э. д. с., равной е, и внутренним сопротивлением г за­ мыкается на переменное внешнее сопротивление R. Построить гра­ фики зависимости от R следующих величин:

а) мощности N&, рассеиваемой внутри источника; б) всей выделяющейся в цепи мощности No;

в) мощности N в, рассеиваемой на R.

163

Р Е Ш Е Н И Е

Воспользовавшись законом Ома для полной цепи, получим

При этом графики для функций іѴа и Лб построить легко (см. рисунок). Более сложный вид имеет функция N B. При R -*■ О или R оо N B 0. Следова­ тельно, внутри этого проме­ жутка N в имеем максимум. Представив N B в виде

( V R / r + V r / R ) V r ’

найдем, что максимум имеет место при условии, что R = г (см. задачу 15).

ЗА Д А Ч А 137 *

Внекоторой лабораторной установке прибор, находящийся внутри цилиндра высокого давления, требует постоянного по

течение опыта, Лх и R 2— резисторы, находящиеся вне цилиндра и потому имеющие неизменное сопротивление, U — постоянное на­ пряжение питания.

Выясните, почему удается достичь постоянной мощности подо­ грева и какое для этого необходимо соотношение между величи­ нами R, Ri и R 2.

Р Е ШЕ Н И Е

Исследуем зависимость мощности N (R), выделяющейся на сопротивлении R, при постоянных Ях и R 2. При R = 0 N — 0, так как напряжение равно нулю, а величина тока ограничена

170

Следовательно, функция N (R) имеет по крайней мере один максимум в области положительных (т. е. имеющих физический смысл) значений R. В окрестности максимума (см. задачу 10) изменения N весьма малы даже при заметных изменениях R.

Найдем зависимость N от R. Полный ток I от источника U определяется законом Ома:

/ = _________ ч.________

І?1 + І?2Я/(І?2 + Д) •

Через сопротивление R проходит ток I R 2/(R2 + і?), и, следо­ вательно,

лт-( Л2о ___________и2ЩП_________

Представим результат в виде

2К\! Н2-\-2Я^ -J- R{/R -f- (Rj/Hrl -f- 2Rl !B2 -f-1) R

Максимум дроби соответствует минимуму двух последних сла­ гаемых знаменателя (U, i?x, У?2 — const), которые зависят от У?. Так как

З А Д А Ч А 138

Проволочное кольцо радиусом г находится в постоянном одно­ родном магнитном поле с индукцией R, перпендикулярном к пло­ скости кольца. Центр кольца соединен с кольцом двумя прямыми проволоками. Одна из них неподвижна, другая вращается с по-

стоянкой угловой скоростью (о, вследствие чего и по прямым проволокам и по кольцу идут индукционные токи. Сопротивле­ ние проволоки на единицу длины (так называемое погонное со­ противление) равно р.

171

Определить ток в прямой проволоке в зависимости от угла ф. Считать при этом, что магнитные поля индукционных токов малы по сравнению с магнитным полем В (см. рис. а).

Р Е ШЕ Н И Е

Изобразим электрическую эквивалентную схему (рис. б), где имеется эквивалентный источник индукционного тока е, включенный на участке OB, В — сопротивление участка АО, i?j и Л2 — соответственно сопротивления участков кольца AM В и AN В. Внутреннее сопротивление источника равно R (это сопро­ тивление проволоки OB).

Как известно, величина э. д. с. индукции пропорциональна скорости изменения магнитного потока через контур, т. е.

В соотношениях (2) — (4) угол ф измеряется в радиапах.

ЗА Д А Ч А 139

Впрямоугольную горизонтальную кювету с двумя противо­ лежащими металлическими, а двумя другими диэлектрическими стенками налит электролит, плотность которого р, а электропро­ водность сг. К металлическим стенкам приложено напряжение U,

ився кювета помещена в однородное вертикальное магнитное поле с индукцией В.

Определить разность уровней жидкости между диэлектриче­ скими стенками кюветы, пренебрегая магнитным полем тока в электролите. Расстояние между металлическими стенками равно а,

аих длина 6.

РЕ ШЕ Н И Е

Плотность тока между металлическими стенками f — U о/а. Вследствие взаимодействия тока в электролите с внешним

магнитным полем на каждый из элементарных токов действует сила Лоренца, направленная горизонтально и параллельно метал­

172

лическим стенкам кюветы. В результате любой объем электролита подвергается действию силы со стороны поля в указанном напра­ влении.

Рассмотрим малый объем электролита вблизи его поверхности (см. рисунок, на котором изображен разрез кюветы в плоскости, параллельной металлическим стенкам). Силы, действующие на этот объем, таковы: его вес G, сила

давления со стороны жидкости Fa (аналог силы Архимеда), направленная перпендикулярно поверхности жидкости в состоянии равновесия (см. задачи 59, 68, 70), и сила Fm , действующая со стороны поля. Если величина объема равна ДУ, то G = ДУ рg, Fm = Bj ДУ. (Пусть сечение выделенного объема равно AS, а его длина в плоскости, перпендикулярной рисунку, Аі. Сила тока, проходящего через объем, равна

AI = jAS. Тогда сила, действующая со стороны поля, Fm =

=AIBAl = Bj ДУ.)

Так как объем находится в равновесии (электролит неподви­

Итак, tg а = BUol pga, и при этом искомая разность уровней определяется выражением

Ah = Ъtg a = {bla) (BUa/pg).

рельсы через сопротивление В соединены с источником питания, э. д. с. которого равна е. Внутреннее сопротивление источника питания, а также сопротивления стержня и рельсов пренебре­ жимо малы по сравнению с В. Перпендикулярно к горизонталь­ ной плоскости (см. рис. а) приложено однородное магнитное поле; ключ находится в положении 1, стержень при этом скользит с по­ стоянной скоростью ѵ0. В некоторый момент времени ключ К пере­ водят в положение 2.

Что происходит со стержнем в дальнейшем?

1.Прекратится ли когда-нибудь его движение? Если да, то когда именно?

2.На какое расстояние он передвинется?

* Э. П а р с е л л . Электричество и магнетизм. М., „Наука“, 1971.

173

3.Какой заряд протечет через сопротивление R за все время движения стержня?

4.Выполняется ли закон сохранения энергии в данном слу­ чае? Подтвердите свой ответ расчетом.

Р Е Ш Е Н И Е

Рассмотрим сначала процесс, происходящий при первом поло­ жении ключа К. Это позволит нам определить величину индукции магнитного поля В.

При равномерном движении стержня в замкнутом контуре воз­ буждается постоянная электродвижущая сила индукции, равная

по величине скорости изменения магнитного потока через контур, т. е.

Синд = ДФ/Ai = ІВѵQ.

Текущий в контуре ток определяется на основании закона Ома

Кроме того, известно, что мощность источника питания равна мощности тепловых потерь на сопротивлении В (это следует из закона сохранения энергии), т. е.

соответствует случаю, когда стержень неподвижен или поле отсутствует). Следовательно,

Пусть ключ переведен в положение 2. При этом отключается

174

т. е. в начальный момент в коптуре практически мгновенно возни­ кает ток I такой, что

При этом на стержень начинает действовать со стороны магпитного поля сила, направленная в сторону, противоположную движению стержня (убедитесь в справедливости этого утвержде­ ния при любом направлении магнитного поля В, применяя пра­ вило левой руки). Скорость стержня падает и рано или поздно должна обратиться в нуль. Так как при этом ток в контуре исчез­ нет, то в дальнейшем стержень будет оставаться неподвижным.

Примем, что переброс ключа сделан в момент времени t = О, и рассмотрим процесс в некий произвольный момент времени £{. Пусть в этот момент скорость стержня равна ѵ{, ускорение — а{, ток в контуре — І {. Указанные величины связаны друг с другом, во-первых, законом Ома

и меньшей степени. Поэтому можно ожидать что движение стержня

где АѴі — изменение скорости в течение интервала Д£{. При этом из (8) находим, что

где ASi — путь, пройденный стержнем за время А£{. Для опре­ деления всего расстояния, на которое переместился стержень, нужно найти сумму всех отрезков Д5{ от начала движения до момента остановки Т:

s = '2lb S i J % v i&ti.

іі = о

Соотношение (9) позволяет ту же величину получить другим способом: найти сумму величин mR |Ау{|/(/5)2 от начала движения (когда скорость равна ѵ0) до момента остановки, т. е.

о=0

175

Таким образом, пам удалось вычислить перемещение стержня,

Смысл последнего выражения можно понимать так: за равные интервалы времени ts.ti скорость изменяется в одно и то же число раз, независимо от того, какой именно момент времени мы рассмат­ риваем. Подберем величину At так, чтобы за это время скорость изменялась, например, вдвое (при этом At совсем не обязано быть малым). Тогда за время 2А/ скорость изменится вчетверо, за время nkt — в 2" раз, и т. д. К любому, сколь угодно большому, но конечному моменту времени скорость будет иметь малое, но конечное значение. Следовательно, в нашей идеализированной задаче стержень движется неограниченное время (не забывайте при этом, что для очень далеких моментов времени от начала дви­ жения скорость стержня становится ничтожной).

Перейдем к ответу на третий вопрос задачи. Из соотношения

(6) следует, что ток в контуре и скорость стержня пропорцио­ нальны:

Следовательно, и изменяются эти величины пропорционально друг другу, т. е.

где A/j и Аі^ — изменения тока и скорости за один и тот же интер­ вал времени. Подставляя последнее соотношение в формулу (9), получаем, что

Для нахождения величины заряда q, прошедшего через сопро­ тивление R, применим уже использованный прием суммирования:

Проверим выполнение закона сохранения энергии. В процессе движения стержня уменьшается (до нуля) его кинетическая энер­ гия и рассеивается тепло на сопротивлении R. Количество тепла Q, следовательно, должно быть равно начальной кинетической энергии стержня Т0 = тѵЦ2.

За малый интервал времени А^ вблизи момента ti кинетическая

(мы пренебрегли величиной (Дг^)2 по сравнению с величиной ѵі Ду4). За тот же интервал времени на сопротивлении рассеивается тепловая энергия, величина которой определяется законом Джо­

176

уля—Ленца, А = J\R Аt{. Подставив в это выражение значения величин и I {Ati из формул (12)—(14), найдем, что АQ{ — = (ДАг;)Л = myi |Ау4|, а эта величина совпадает с величиной ІДТ^І из равенства (16), что и требовалось доказать.

З А Д А Ч А 141

Электрон, обладающий малой по сравнению со скоростью света скоростью V, попадает в область пространства, в которой созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Напряженность электрического поля равна Е, индукция магнитного — В, причем в системе СИ Е сВ, где с — скорость света. В начальный момент скорость ѵ перпендикулярна векторам Е и В.

Как движется электрон в дальнейшем? Существует ли такая скорость движения ѵ0, при которой траектория электрона прямо­ линейна?

Опыт происходит в вакууме. Силой тяготения пренебречь.

Р Е Ш Е Н И Е

Сила, действующая на электрон со стороны электростатического поля, не зависит от скорости электрона, Fe = еЕ, и направлена

всторону, противоположную Е. Сила взаимодействия электрона

смагнитным полем (сила Лоренца), Ем = Веѵ, направлена вдоль прямой, перпендикулярной к В и ѵ. Следовательно, траектория электрона лежит в плоскости, перпендикулярной В.

Если начальная скорость электрона такова, что силы Fe и Fm равны, т. е. Е — Вѵ0, и направлены в противоположные стороны (такая скорость при данных Е и В всегда может быть найдена), то сумма сил, действующих на электрон, равна нулю. Электрон движется при этом равномерно и прямолинейно.

Пусть скорость электрона ѵ отлична от ѵ0. Рассмотрим поведе­ ние электрона в системе отсчета, движущейся поступательно со скоростью ѵ0. Представим силу Лоренца, действующую на элект­

При этом сумма действующих на электрон сил равна F. Так как эта сила постоянна по величине и направлена перпендикулярно вектору V — ѵ0, то электрон в выбранной системе отсчета движется по окружности, радиус которой может быть найден из второго закона Ньютона

Be IV — v01= (m/Д) | v — v012,

где m — масса электрона. Движение по окружности равно­ мерное.

177