книги из ГПНТБ / Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие]

чтобы (мысленно) уменьшить на малую величину объем сферы, и результат, применяя закон сохранения энергии, сравним с изме­ нением потенциальной энергии сферы.

Если искомое давление равно р, то, чтобы сжать сферу на ма­ лый объем АУ (со всех сторон равномерно), нужно выполнить работу

где AR — изменение радиуса сферы.

При этом потенциальная энергия заряда на сфере изменится

Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся аналогич­ ным приемом. Пусть полусферы разошлись на столь малое расстоя­

ние Ах, что ни давление, ни распределение зарядов на них не изме­ нились. При этом за счет взаимодействия зарядов произведена работа АA t = рАѴ1 = pnR2Ах (см. рис. а). Эту же работу мо­ жно подсчитать по формуле А4Х= FAx, где F — искомая сила отталкивания полусфер. Следовательно, с учетом соотношения (3)

Перейдем к последнему вопросу. Поместим в центр сферы произвольный заряд q0. Сила, действующая со стороны этого заряда на малую площадку AS заряженной сферы, может быть найдена по закону Кулона:

где а — плотность заряда на сфере. Очевидно, что если эта сила AF есть сила „давления на сферу снаружи“ и равна по величине силе

159

давления за счет взаимодействия зарядов на сфере, т. е. АF =

=—АSp, то сфера находится в равновесии.

Таким образом, из (3) и (5) следует, что искомый заряд имеет

величину

Обсудим еще один способ решения этой задачи. Поместим в центр сферы произвольный заряд д0, выделим на сфере малый участок АS и подберем величину заряда q0 таким образом, чтобы силы взаимодействия заряда Аq = оAS = qAS/inR2 на выделен­ ном участке с зарядом q0 (AFX) и с зарядом на оставшейся части сферы (AF2) компенсировали друг друга.

Указанные силы можно определить из выражений

где E' — напряженность поля, создаваемого заряженной сферой без участка AS в том месте, где расположен этот участок. Напря­ женности поля АЕг и ДЕ3, создаваемого самим участком вблизи его поверхности, равны друг другу по величине (рис. б).

Представим поле целой сферы как суперпозицию полой с на­ пряженностями Е', АЕХи АЕ2. Так как поле вне сферы равно по величине q/R2, а внутри сферы отсутствует, то E' + АЕх = q/R2, Е' + АЕ2 = 0, откуда

в процессе решения используется неочевидное утверждение, кото­ рое на первый взгляд трудно заметить.

Поясним это подробнее. Сформулируем требования, которые были предъявлены к размерам участка AS. Во-первых, этот участок должен быть настолько мал, чтобы по отношению к осталь­ ной части сферы его можно было считать точечным зарядом и пользоваться второй из формул (7). Но, во-вторых, участок должен быть достаточно велик, чтобы при учете его взаимодейст­ вия с оставшейся частью сферы можно было пренебречь краевыми эффектами. То, что эти требования не противоречивы, не очевидно и нуждается в доказательстве (аналогичную ситуацию вниматель­ ный читатель заметит в задаче 52).

Первый способ решения в этом смысле проще.

З АДАЧ А 126

Полусфера радиуса R равномерно заряжена электричеством с плотностью о. Докажите, что в любой точке воображаемого круга, „стягивающего“ полусферу, напряженность поля перпен­ дикулярна к плоскости этого круга. Найдите напряженность в центре круга.

160

Р Е Ш Е Н И Е

Если взять две такие полусферы и составить целую сферу, то поле внутри нее будет равным нулю. Значит, поле одной из полусфер должно в плоскости круга, который их друг от друга отделяет, компенсировать поле другой. Поскольку поля полусфер симметричны относительно этого круга, утверждение, которое нужно было доказать, становится очевидным.

Для ответа на второй вопрос воспользуемся третьим законом Ньютона: сила, действующая на полусферу со стороны заряда

Кзадаче 127.

РЕ ШЕ Н И Е

Замкнутая цепь с несколькими э. д. с. подчиняется закону Ома для полной цепи

j — 2е + е+ е + 2е 2е

1 ~~ R + 2r-\-r-\-2R + 2r + r ~ Зі? + 6г ‘

Закон Ома для правого участка цепи с учетом находящихся на этом участке э. д. с. имеет вид / = (U + Зе)/(2R -f Зг).

Сравнивая выписанные выражения, находим, что U = — (5RAr

+ 12r) е/(3R + 6г).

З А Д А Ч А 128

Определить ток і а через амперметр с внутренним сопротивле­ нием, равным нулю, в схеме, приведенной на рисунке. Величины сопротивлений таковы: = R 3 = 30 Ом, jR2 = 5 Ом, Я4 = 15 Ом,

г — 10 Ом, а е = 180 В.

Р Е Ш Е Н И Е

Непосредственно применить закон Ома для участка цепи

камперметру нельзя, так как его сопротивление равно нулю. Вычислим полное сопротивление внешней цепи

вляется на составляющие І х через сопротивление R x и / 2 через сложную цепь Д2, і?3, і?4. Сопротивление этой цепи равно 15 Ом,

Р Е Ш Е Н И Е

Как и в предыдущей задаче, при решении иногда возникают трудности, поскольку применить закон Ома к перемычке нельзя.

Рассчитаем токи через сопро­ тивления Rx, R2, R 3, Rx.

Полное сопротивление всей цепи

З А Д А Ч А 130

Известно, что вольтметр должен обладать большим внутренним сопротивлением. Обычно это обосновывают тем, что в противном случае часть тока, протекавшего ранее через участок цепи, напря­ жение на котором измеряется, ответвится в вольтметр, и режим участка изменится. Следствием такого объяснения является тре­ бование, чтобы сопротивление вольтметра было велико сравни­ тельно с сопротивлением исследуемого участка.

Согласны ли вы с этим?

162

РЕ Ш Е Н И Е

Сприведенными рассуждениями согласиться нельзя. Ника­ кого разветвления первоначального тока не происходит. В дейст­ вительности ход событий выглядит так: подключение вольтметра приводит к уменьшению сопротивления участка цепи, что вызывает увеличение тока от источника; при этом увеличивается падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника и, следова­ тельно, уменьшается падение напряжения на исследуемом уча­ стке. Чтобы этого избежать, надо подбирать вольтметр, сопро­ тивление которого велико по сравнению с внутренним сопротивле­ нием источника. Подтвердим это расчетом.

Любую сколь угодно сложную схему с точки зре­ ния режима сопротивления R можно представить себе следующим образом: отключим сопротивление R от схемы; между теми точками, где оно было подключено раньше, существуют какое-то сопротивление г и какая-то разность потенциалов U; эту разность потенциалов можно рассматривать как э. д. с., а г — как внутрен­ нее сопротивление источника э. д. с., подключенного к сопротивлению. Эквивалентная схема изображена на рисунке.

Итак, сопротивление R подключено к источнику с э. д. с.,

(Здесь и дальше используются формулы приближенных вычисле­ ний, приведенные в примечании к задаче 109.)

Таким образом, чем больше сопротивление вольтметра сравни­ тельно с внутренним сопротивлением источника, тем меньше по­

т. е. опять важна лишь величина отношения r/R0.

З А Д А Ч А 131

Соединены попарно каждая с каждой N точек одинаковыми сопротивлениями величиною R каждое. Определить сопротивление этой схемы между двумя любыми точками соединения.

Необходимо понимать, что наш результат совершенно не зависит от того, как расположены в пространстве указан­

ные N точек. Для задачи имеют значение лишь их электрические соединения.

164

З А Д А Ч А 132

Из сопротивлений Д15 i?2, R n собрана некоторая электри­ ческая схема. Точно такую же по структуре схему собирают из конденсаторов Сг, С2, ..., Сп, причем емкости конденсаторов под­ бирают так, что C1R1 = C2R2 — ... = CnRn — к, а элементы

Кзадаче 132.

иR %с одинаковыми порядковыми номерами занимают в соответ­ ствующих схемах одинаковые положения. Измерения показали, что емкость второй схемы между входными зажимами равна С.

Определить сопротивление R первой схемы между аналогич­ ными точками.

РЕ ШЕ Н И Е

1- й с п о с о б . Если вторую схему подключить входными зажимами к источнику переменного тока, то каждый из конденса­

торов окажет этому току сопротивление, пропорциональное величине 1 !С{ (коэффициентом пропорциональности является величина Т/2л, где Т — период синусоидального тока). Общее сопротивление схемы переменному току можно подсчитать при этом, используя формулы, применяемые для расчета сопротивлений разветвленных цепей постоянному току, причем величина этого

165

ковые блоки (см. рис. а, б). На основании закона сохранения за­ ряда qi + qx qm = О, I { + /, + I m'= 0, где qu qx, qm — за­ ряды на обкладках конденсаторов Сѵ Сх, Ст на пластинах, при­ легающих к точке А; I x, І х, І т — токи через сопротивления R iy R t, R m (токи, идущие в направлении узла А, условимся считать положительными). В общем случае, если в некотором узле соеди­ нены несколько конденсаторов (или сопротивлений), то

Рассмотрим еще один тип участка схем — любой замкнутый контур (рис. в, г). Вследствие потенциальности электрического поля Up + Ur + Uq = 0 для обоих контуров, где Up, Ur, Uq — падения напряжений на элементах с номерами р, г и q. И вообще для любого замкнутого контура работа перемещения заряда вдоль контура равна нулю, т. е.

суммирование производится по всем элементам, из которых со­ стоит замкнутый контур.

Для первой схемы напряжение Uх и ток І х через любое сопро­ тивление R x связаны законом Ома:

(3)

Для второй схемы напряжение и величина заряда связаны

Сравнивая уравнения (1) — (4), нетрудно заметить, что они отличаются друг от друга только постоянными коэффициентами R x и 1/С* перед неизвестными величинами (£/ä, / { — для первой схемы, Ui11, qi — Для второй).

Допустим, что для второй схемы нам удалось определить все

схем. В частности, его можно применить к элементам, находящимся у входных зажимов схем. Следовательно,

R = U/I = CiRiUM/q = CiRi/C = klC.

При расчете токов и напряжений на элементах первой схемы мы используем закон сохранения заряда, потенциальность элект­ ростатического поля, закон Ома, которые записываются в виде системы уравнений (1) — (3).

Получим важное следствие из этих уравнений. Все сказанное в дальнейшем применимо и ко второй схеме, если везде вместо слова „ток“ подставить слово „заряд“.

166

Приложим к входным зажимам напряжение U1-1'1 и определим токи Іі ’ и напряжения Щ' на всех элементах схемы. Затем опре­ делим такие же величины I f' и Щ ' , если к входным зажимам приложено напряжение

Докажем, что если к входным зажимам приложить напряжение 1 /(і) л- f/(2)? т0 токи и напряжения на элементах схемы окажутся равными соответственно ТУ' + Tf' и Щ' + Щ ' .

Для доказательства достаточно проверить, что условия тео­ ремы не противоречат указанным основным законам.

Из очевидных равенств

следует, что этих’ противоречий нет, и теорема доказана.

Содержание теоремы кратко можно сформулировать следующим образом: электрические схемы для постоян­ ного тока подчиняются принципу суперпозиции.

З А Д А Ч А 133

Имеется бесконечная плоская сетка с квадратными ячейками, изготовленная из проволоки. Сопротивление отрезка проволоки длиной, равной стороне ячейки, равно R. Чему равно сопротивле­ ние между двумя ближайшими узлами сетки?

Р Е Ш Е Н И Е

Воспользуемся принципом суперпозиции (см. пояснение к пре­ дыдущей задаче).

Рассмотрим любой из узлов сетки, например А (см. рис. а). Возьмем источник питания с любой э. д. с. и включим его между точкой А и бесконечно удаленной точкой так, чтобы положитель­ ный зажим источника был соединен с А. Вследствие симметрии схемы ток I из точки А разветвится на четыре одинаковых тока / 0,

т. е. / 0 = //4.

Отключим после этого источник питания и включим его так, чтобы отрицательный зажим был соединен с соседней точкой В , а положительный — с бесконечно удаленной точкой (рис. б). Ток /, поступающий в источник через точку В, приходит в В по четырем совершенно равноправным направлениям, и, следовательно, по каждому из них течет ток / 0, т. е. / 0 — //4.

Возьмем два одинаковых источника питания и включим их так, как указано на рис. в, соединив отрицательный полюс одного и положительный другого с бесконечно удаленной точкой. На рис. г изображена эквивалентная схема такого включения источ­ ников. Точка С — бесконечно далекая точка.

167

Для определения тока через перемычку А В по принципу суперпозиции (см. задачу 132) достаточно сложить токи, проходя­ щие через эту перемычку и создаваемые источниками по отдель­ ности: і а в = 2/ 0 = //2.

Таким образом, ровпо половина тока 7, проходящего через каждый источник, течет через перемычку AB. Следовательно, сопротивление всей остальной сетки равно сопротивлению пере­ мычки AB, а полное сопротивление между точками А и В равно

В/2.

ЗА Д А Ч А 134

Вутюге с терморегулятором Т, включающим или выключаю­ щим нагревательный элемент R (в зависимости от температуры утюга), для визуального контроля за исправной работой регуля­

тора используется лампочка Лх от карманного фонаря, включен­

іе задаче 134.

пая по схеме рис. а. Шунт г подбирается так, чтобы ток через лампу соответствовал ее рабочему току.

Спрашивается, почему не используется более простая схема (см. рис. б) с лампочкой Лг, рабочий ток которой равен току через нагревательный элемент?

168