книги из ГПНТБ / Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие]

З А Д А Ч А 77

Зависит ли теплоемкость воды от внешнего давления? Каким образом?

Р Е ШЕ Н И Е

По определению теплоемкость тела равна отношению тепла АQ, поглощенного телом, к изменению темпера­ туры АТ тела, при этом С = AQ/AT. И ЛQ и АТ зависят не только от самого тела (его массы, состава, агрегат­ ного состояния и т. д.), но и от того, совершается ли телом механическая работа в процессе нагрева. Для газов, например, различают теплоемкость сѵ при по­

относится к жидким и твердым телам. Тепловое расши­ рение этих тел, однако, ничтожно, поэтому механиче­ ской работой, производимой ими, можно пренебречь. Даже в такой крайней ситуации — нагревается брусок хорошей стали, на бруске лежит столь тяжелый груз, что под действием веса груза брусок вот-вот разру­ шится — даже тогда на работу по подъему груза будет расходоваться приблизительно 1% подводимого тепла. Следовательно, все тепло, подводимое к твердому (жид­ кому) телу, можно считать ушедшим на изменение внутренней энергии последнего, а теплоемкости тела приписывать зависимость лишь от тела, но не от про­ цесса. Именно такой смысл имеют удельные тепло­ емкости жидких и твердых веществ, приводимые в различных таблицах.

Данная задача, однако, самой своей формулиров­ кой требует учета механической работы, совершаемой водой при нагреве.

Допустим, что сосуд с поршнем сплошь заполнен водой, находящейся при температуре Т° С. С помощью поршня можно изменить давление в сосуде.

Для определения теплоемкости подведем к сосуду количество тепла Q такое, чтобы увеличить температуру воды на величину АТ. Если считать, что теплоемкость сосуда очень мала, то за­ кон сохранения энергии приводит к следующему соотношению:

Если в нашем опыте вода не изменила агрегатного состоя­ ния (осталась водой), то величина АU прямо пропорциональна

AT, AU = кАТ.

111

Работу против внешних сил А можно представить в виде

вании воды работа против внешних сил может оказаться и отри­ цательной, т. е. сами внешние силы совершают работу.

т. е. теплоемкость воды тем меньше, чем больше внешнее давление'. Подооным же образом можно найти, что при температурах,

больших 4 С, теплоемкость воды увеличивается с увеличением давления.

3 А Д А Ч А 78

Предлагается следующее устройство типа вечного двигателя, способное совершать работу без затрат энергии.

Пусть имеется некоторое количество воды, холодильник, на­ греватель и достаточный запас пустых бутылок. Наливаем воду в первую бутылку, закрываем ее и ставим в холодильник. Отни­ мем у воды количество тепла Q такое, чтобы вода замерзла. При этом бутылка лопается. Получившийся лед помещаем в нагрева­ тель. Отбирая от нагревателя то же самое тепло Q, превращаем лед в воду, наливаем эту воду во вторую бутылку и т. д. (Чтобы не мешать рассуждениям, все бутылки поставим предварительно

вхолодильник — при этом не нужно учитывать их теплоемкости.)

Врезультате п подобных циклов запас тепла нагревателя умень­ шится на величину nQ, но зато запас теплоты у холодильника на ту же величину возрастет. В то же время совершена определен­ ная работа (хотя и не слишком полезная) — налицо п разбитых

бутылок. (Читатель едва ли сомневается в том, что такое устрой­ ство вполне реально.)

Как согласовать эти рассуждения с законом сохранения энергии?

Р Е ШЕ Н И Е

Охлаждаемая в бутылке вода находится под повышенным дав­ лением. Как было найдено в предыдущей задаче, теплоемкость этой воды меньше теплоемкости воды при более низком давлении (то же самое можно сказать и про величину теплоты плавления, но этого мы не доказывали). Поэтому, для того чтобы нагреть полученный в холодильнике лед до температуры воды, которую мы

(работа по уничтожению одной бутылки). Таким образом, пред­ лагаемое устройство на вечный двигатель не похоже.

112

З А Д А Ч А 79

Для того чтобы продемонстрировать различную теплопровод­ ность у разных материалов, поставлен следующий опыт. Из двух разных металлов изготовлены одинаковые по размерам стержни. Один из концов каждого стержня покрыт парафином. Другие концы нагреваются в одинаковых условиях. Утверждается, что парафин расплавится быстрее на конце того стержня, который лучше про­ водит тепло.

Правильно ли это утверждение?

Р Е ШЕ Н И Е

Утверждение неверно: результат опыта существенно зависит не только от теплопроводности стержней, но и от их удельных теплоемкостей. Предсказать, где раньше расплавится парафин, труднее, чем кажется на первый взгляд.

Действительно, от величины удельной теплоемкости стержня зависит, во-первых, скорость увеличения температуры на том конце, где находится парафин, и, во-вторых, количество тепла, которое при данной температуре стержень отдает парафину (чем больше удельная теплоемкость, тел медленнее нагревается конец стержня, но зато интенсивнее передается тепло парафину).

Результат опыта можно объяснить так, как это сделано в ус­ ловиях задачи, если удельные теплоемкости стержней одинаковы.

3 А Д А Ч А 80

Р Е ШЕ Н И Е

Обычно требуемый результат считают недостижимым, ибо по­ сле теплообмена исходные объемы воды будут иметь равные тем­ пературы (по 50° С). Однако этот результат справедлив лишь, если нагревать сразу всю холодную воду, остужая сразу всю горячую. Но ведь процесс теплообмена можно осуществить и иначе.

Пусть холодная вода медленно вытекает из сосуда А по тон­ кой металлической трубке, свернутой в спираль (змеевик) и по­ мещенной в сосуд В с горячей водой (см. рисунок), и стекает после этого в стакан С. Все три сосуда теплоизолированы от окружаю­ щей среды и друг от друга.

Каждая порция воды, прошедшая через змеевик, приобретет ту температуру, которую к этому времени имеет горячая вода. Первые капли, упавшие в сосуд С, будут нагреты практически до 100° С, следующие — чуть меньше и т. д. Оказывается, что при таком процессе конечная температура воды в сосуде С составит приблизительно 63° С, а температура первоначально горячей воды

113

будет равна 37° С. Не доказывая справедливость этого предель­ ного результата, простейшим расчетом подтвердим, что можно нагреть холодную воду до температуры больше 50° С.

Заполним теплообменник 0,5 л холодной воды и дождемся

*

взойдена быть не может, если пользоваться только прямым теплообменом.

Совершенно аналогичный результат будет достигнут, если поменять сосуды А жВ местами, т. е. пропускать горячую воду сквозь холодную.

З АДАЧ А 81

Сняв с плиты чайник с закипевшей водой, хозяйка добавила в пего ковш холодной и с удивлением почувствовала, что ручка чайника стала значительно более горячей. Как это объяснить?

Р Е ШЕ Н И Е

Ручка не стала более горячей в строгом смысле этого слова. Наоборот, за время осуществления всех указанных операций она могла лишь охладиться. Однако субъективное ощущение сте­ пени нагретости при соприкосновении руки с каким-то телом зави­ сит не только от температуры этого тела, но и от величины удель­ ного давления тела на руку. Чем больше это давление, тем боль­

114

шей кажется разница температур руки и тела. (При увеличении давления увеличивается теплообмен. Это происходит по несколь­ ким причинам; в частности, увеличивается площадь соприкоснове­ ния руки и поверхности исследуемого тела. Чтобы убедиться

вэтом, поставьте простейший опыт: положите ладонь на горячую батарею парового отопления, а через некоторое время с силой сожмите руку; вы заметите резкое „увеличение температуры“ батареи). Долив в чайник воду, хозяйка увеличила вес чайника, а значит, и силу его давления на руку, что и привело к указанному

взадаче ощущению.

Следует также иметь в виду, что при определенной разнице температур ручки чайника и руки человек в состоянии удержи­ вать чайник лишь ограниченный срок. За время долива воды хо­ зяйка могла как раз подойти к пределу своей выносливости, что вместе с первым эффектом и определило „разогрев“ ручки.

Все эти события можно легко воспроизвести самим. При этом придется несколько раз повторять опыт, чтобы эксперимен­ тально отыскать те температуры и количества воды, при которых указанный эффект наблюдается.

Любителей строгих выкладок настоящая задача и ее решение могут уди­ вить: нет никакой математики и даже физики! Ничего не поделаешь... Ока­ зывается, и сложные на первый взгляд вопросы поддаются иногда решению на „бытовом“ уровне. Думается, что чем более простым и наглядным окажется решение (разумеется, при обязательном условии, что оно верное), тем боль­ шую ценность оно представляет.

3 А Д А Ч А 82

Для определения теплоты плавления тугоплавкого кристалли­ ческого вещества можно провести следующий опыт. Некоторое количество твердого вещества нагревают от температуры, мень­ шей точки плавления, до температуры, превышающей точку плав­ ления, на достаточно мощном нагревателе и строят график изме­ нения температуры вещества с тече­ нием времени (см. рисунок). Оцените по этому графику величину удельной теплоты плавления, если удельная

в продолжение которого в сосуде находится смесь жидкой и твердой фаз. Для определения удель­

ной теплоты плавления необходимо знать количество теплоты, полученное нагреваемым телом в процессе плавления.

115

параллельны. В действительности скорость увеличения темпера­ туры тем меньше, чем больше температура тела (если мощность нагревателя специально не регулируется), так как с ростом температуры увеличивается теплоотдача в окружающее простран­ ство и ухудшается теплообмен с нагревателем.

Оценим скорость получения энергии в среднем как среднее арифметическое скоростей, соответствующих процессам нагре­ вания твердого тела и жидкости. Из графика находим, что средняя

AQ = cmАТ, следует, что скорость получения тепла определяется выражением ѵ2 = AQ/At = cmAT/At = cmv1.

Во время процесса плавления вещество должно получить ко­

=2470 Дж/кг.

Взаключение скажем несколько слов об ошибках, которые мы могли допустить при вычислении искомой величины. Во-пер­ вых, по уже указанной причине невозможно точно определить величину ѵ2. Во-вторых, по графику нельзя точно указать длитель­ ность процесса плавления, таю как весь процесс нагревания изо­ бражается кривой линией с плавными переходами между гори­ зонтальным и наклонными участками, что связано, в частности,

стем, что выравнивание температуры в сосуде с нагреваемым те­ лом происходит постепенно.

З А Д А Ч А 83

Известно, что за счет поверхностного натяжения давление с разных сторон от искривленной поверхности жидкости неодина­ ково. Определить эту разность давлений для сферической и ци­ линдрической поверхности жидкости с коэффициентом поверх­ ностного натяжения о.

Р Е ШЕ Н И Е

Рассмотрим пузырь воздуха радиусом R в яшдкости. Для того чтобы увеличить радиус пузыря на величину х, нужно про­

диус пузыря, и искомая разность давлений при увеличении пу­ зыря меняются незначительно. Тогда необходимую работу А можно вычислить по 'формуле А ж ApknR%x, где Ар — разность давлений по обе стороны от поверхности пузыря.

116

Аналогичный расчет для цилиндрической поверхности с ра­ диусом R приведет к выражению

Как следует из наших рассуждений, давление больше с той стороны от поверхности, с которой поверхность кажется вогну­ той .

П р и м е ч а н и е . Произвольная поверхность мо­ жет быть в разных направлениях искривлена поразному. Характерный пример: поверхность, имею­ щая форму седла. Наблюдатель, находящийся у такой поверхности, не может ответить на вопрос: является ли она выпуклой или вогнутой (в одном направлении по­ верхность кажется ему выпуклой, в другом —вогнутой)?

Кривизну любой поверхности в данной точке М характеризуют следующим образом. Проведем в точке М касательную к поверхности плоскость Р. Любая плоскость Q, перпендикулярная к касательной плос­ кости Р, пересекается с поверхностью по кривой, имеющей в точке М какой-то радиус кривизны R. Значения R различны для разных плоскостей Q. Наибольшее и наименьшее значения R среди всех возможных называются главными радиусами кривизны і?! и і?2 поверхности в точке М; соответствующие им плоскости Ql и Q2 перпендикулярны друг другу.

Можно показать, что разность давлений по раз­ ные стороны от произвольной поверхности жидкости связана с главными радиусами кривизны соотношением

мула (3) приводит к выражению (1).

Для цилиндрической поверхности один из радиу­ сов кривизны бесконечен, а второй совпадает с ра­ диусом цилиндра; при этом из (3) следует формула (2).

Для поверхности, имеющей форму седла, один из главных радиусов кривизны имеет отрицательное значение.

* Если суммируются слагаемые, содержащие такие одноименные вели­ чины а и А, что I а | | А |, членами, содержащими а2, а3 и т. д., можно пренебречь сравнительно с членами, содержащими а0 и а1. См. также приме­

чание к задаче 109.

117

З А Д А Ч А 84

Мыльный пузырь кладут на проволочное кольцо А, а затем покрывают его сверху другим таким же кольцом В (см. рис. а). Если открыть трубку С, то, поскольку давление воздуха внутри пузыря больше наружного, объем пузыря начнет уменьшаться.

Какую форму примет пузырь, когда этот процесс закончится?

РЕ ШЕ Н И Е

Всостоянии равновесия, если оно существует, давление вну­ три пузыря не должно отличаться от наружного, а следовательно, участки пузыря, „натянутые“ на каждое из колец, должны быть плоскими.

К задаче 84.

Участок пузыря, находящийся между кольцами А и В, плоским быть не может — он обязательно искривлен. Для того чтобы дав­ ление с обеих сторон от поверхности этого участка было одина­ ково, поверхность должна иметь такую форму, при которой в любой точке главные радиусы кривизны одинаковы по величине и проти­ воположны по знаку. Поверхность приобретает характерную сед­ ловую (выпукло-вогнутую) форму (рис. б).

Состояние равновесия устойчиво.

Такой эксперимент нетрудно поставить в домашних условиях.

З А Д А Ч А 85

На концах трубки укреплены две одинаковые конусообразные воронки. Из воронок выдувают пузыри различных радиусов (см. рисунок) и закрывают кран А . Будут ли меняться объемы пузырей, если краны В жС оставить открытыми? Наступит ли состояние равновесия и какую форму при этом примут пузыри?

Р Е ШЕ Н И Е

Очевидно, что состояние равновесия имеет место, когда ра­ диусы поверхностей пузырей равны друг другу: при этом давление воздуха внутри пузырен одинаково.

118