книги из ГПНТБ / Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие]

ОПТИКА

З А Д А Ч А 142

Во многих задачах геометрической оптики при построении изображения источника в тонкой линзе мы не учитываем размеров линзы. В то же время источник может быть удален от главной оптической оси дальше, чем края линзы. Можно ли при этом поль­ зоваться обычными правилами по­ строения изображения в линзе (см. рисунок): ведь луч 2 вообще через линзу не проходит?

Р Е ШЕ Н И Е

Разумеется, изображение соз­ дается только лучами, проходя­ щими через линзу. Однако поло­ жение изображения S' не зависит от того, какие именно из лучей мы выбираем для построения

(легко доказать — сделайте это сами — что луч 3 после про­ хождения через линзу попадает в точку S'). Следовательно, положение изображения не зависит и от размеров линзы: обломок линзы, если его сферические поверхности сохранились, создает изображение там же, где создала бы его целая линза. Размер линзы определяет лишь яркость изображения.

ЗА Д А Ч А 143

Вгеометрической оптике мы часто пользуемся тем, что изобра­ жением прямолинейного отрезка в оптической системе (если изображение существует) являетсятакже прямолинейный отрезок (или луч, или два луча, лежащие на одной прямой). Однако это

утверждение неочевидно. Докажите его справедливость на примере топкой линзы.

179

Р Е Ш Е Н И Е

Пусть LL — линза, 0 0 ' — ее главная оптическая ось, AB — протяженный источник (см. рис. а). Рассмотрим луч, направлен­ ный вдоль AB. После преломления в линзе луч идет в направле­ нии 11. Изображения точек отрезка AB должны лежать на лучеІІ. Следовательно, если AB не перпендикулярен к главной оптической оси линзы, его изображением является прямолинейный отрезок.

Пусть AB составляет прямой угол с 0 0 ' (рис. б). Допустим, что его изображением является отрезок некой кривой линии CD.

Для любой точки М на CD всегда можно найти точку N на CD такую, что прямолинейный отрезок MN не будет перпендикулярен 00'. Направим вдоль MN луч. После преломления в линзе этот луч идет в направлении 22 и может пересечь отрезок AB лишь в одной точке Q. Таким образом, „изображениями“ Q являются две точки М и N. Мы пришли к противоречию, так как линза создает единственное изображение. Следовательно, CD может быть только прямолинейным, что и требовалось доказать.

Еще раз подчеркнем (см. предыдущую задачу), что луч MN может пройти и вне линзы (для доказательства это не важно), существенно лишь, чтобы луч M N пересекал плоскость, в которой расположена линза.

З А Д А Ч А 144

Дана линза LL и луч А А ХА 2, прошедший эту линзу. Построить ход луча ВВХ (см. рисунок).

Р Е ШЕ Н И Е

Проведем через центр О линзы LL вспомогательный луч СОС2 так, чтобы было ССг [] А А Х. Этот луч пройдет через линзу, не ме­ няя направления. Линза рассеивающая (это видно по поведению

180

ход луча В ХВ2.

181

Чтобы избежать подобных ошибок (всегда возможпых при построениях в сложных оптических системах), полезно отказаться от использования промежуточных изображений и ограничиться построением хода сначала одного произвольного луча от предмета последовательно через все оптические элементы, а затем выполнить то же для любого другого луча. Точка их пересечения по выходе из системы и укажет положение окончательного изображения (рис. б). Вспомогательный прием, необходимый при таком спо­ собе, указан в предыдущей задаче.

З А Д А Ч А 146

Три тонкие линзы сделаны так, что сложенные вместе могут образовать плоскопара’йлельную пластинку. Известно, что фо­

З А Д А Ч А 147

Среди многочисленных проектов получения „лучей смерти“ была, в частности, предложена схема, подобная изображенной на рис. а. Здесь S — мощный источник световых лучей, Ьх и Ь2 — собирающая и рассеивающая линзы соответственно. Если распо­ ложить последнюю так, чтобы ее фокус F2 совпал с изображением S' источника S, образованным линзой Lx, то на выходе Ь2 лучи пойдут параллельным пучком, тем более узким, чем меньше фокусное расстояние Ь2, и с тем большей, следовательно, концен­ трацией энергии в пучке. Подобрав соответствующий источник S , диаметры и фокусные расстояния линз Ьх и Ь2, разместив все надлежащим образом, можно, по мнению изобретателя, сформи­

182

ровать луч, способный поражать любую цель в пределах прямой видимости.

Так ли это?

В ответе пренебречь потерями света в линзах и в атмосфере. Линзы считать идеальными.

Р Е Ш Е Н И Е

Построение, выполненное на рис. а, справедливо лишь для лучей, выходящих из центральной точки О источника S, лежащей на главной оптической оси. Но одна точка не может излучать энергию. В противном случае весь протяженный источник давал бы бесконечно большое излучение, что физически бессмысленно.

б

К задаче 147.

Наши „точечные“ источники — обычная в физике идеализация. Отличную от нуля энергию могут излучать лишь источники конеч­ ных размеров.

Пусть в действительности источник S является диском (рис, б). Построим ход лучей через линзы L1( L%от верхней точки А этого диска.

Заметим, что точка О является фокусом рассматриваемой двухлипзовой оптической системы: лучи из О, пройдя систему,

183

идут параллельным пучком. Следовательно, и лучи из точки А , лежащей в фокальной плоскости, будут на выходе параллель­ ными, поэтому достаточно построить ход одного лишь луча, например АСХ. Воспользовавшись способом, указанным в задаче 144, найдем направление вышедшего из системы луча BD.

Итак, в действительности, хотя от одной точки источника лучи идут параллельным пучком, в целом поток энергии расхо­ дится под углом а. При этом угол а тем больше, чем короче фокус­ ное расстояние линзы Ь2 и чем, следовательно, был уже выходной пучок по мнению изобретателя.

З А Д А Ч А 148

На рисунке изображено положение прямолинейного отрезка AB и его изображения А 1В1 в тонкой линзе. Построить положение линзы, ее главной оптической оси и фокусов.

L

Р Е ШЕ Н И Е

Требуемое построение изображено на рисунке; LL^ — поло­ жение линзы, 00' _i_ LLX— положение ее главной оптической оси. Положения фокусов после этого построить легко (см. задачи

142, 143, 144).

З А Д A 4 А 149

Плоская поверхность плосковогнутой линзы с фокусным расстоянием F посеребрена. На расстоянии d от линзы со стороны вогнутой поверхности находится точечный источник S.

Где располагается его изображение?

Р Е ШЕ Н И Е

Пройдя сквозь линзу, лучи от источника S упадут на зеркало так, как если бы линзы не было, а источник находился в точке S' (см. рисунок). По формуле линзы OS' — /, 1 Id + 1// = — 1 IF,

184

f = — Fd/(F -f d). Знак минус свидетельствует, что изображение мнимое.

Отразившись от зеркала, лучи снова пройдут сквозь линзу. Можно считать, что зеркала нет, а лучи при вторичном прохожде­ нии сквозь линзу шли из точки S", симметричной точке S' относи­ тельно зеркала. Мнимое изображение источника окажется в S ' " . С учетом правила знаков S"0 = |/| = — /, S ' " 0 = х =■ = 1/1 F/(F - / ) = Fd/(2d + F).

З А Д А Ч А 150

Плоская поверхность шіосковыпуклой линзы с фокусным рас­ стоянием F посеребрена. Построить изображение светящейся точ­ ки S в такой системе. Действительное это изображение или мнимое?

Р Е Ш Е Н И Е

На рисунке выполнено построение для случая, когда расстоя­ ние d источника от линзы равно Ft2. Разумеется, принято, что линза обращена к источнику выпуклой стороной.

Луч 2, проходящий через оптический центр, ведет себя так, как если бы на месте

главной оптической оси, па­ дает на зеркало в направле­ нии 3 (проходящем через задний фокус), отражается от зеркала в направлении 4 (проходящем через передний фокус) и после второго про­ хождения через линзу пере­

секается с побочной оптической осью ОА в фокальной плоскости. Легко доказать, что в рассматриваемом случае изображение от­ сутствует, так как лучи Г и 2' параллельны.

При d > Fl2 изображение действительное, при d < Fl2 — мнимое.

З А Д А Ч А 151

Построить изображение S' Солнца S в заданной собирающей линзе.

Р Е Ш Е Н И Е

При выполнении этой задачи часто встречаются две ошибки. 1. Лучи, падающие на линзу от одной точки Солнца, рисуют

расходящимися (рис. а);

185

2. Солнце принимают за точечный источник (рис. б).

В действительности от каждой точки Солнца на линзу падает пучок параллельных лучей, но вследствие конечных угловых размеров нашего светила (яз 0,5°) пучки лучей от разных точек между собой не параллельны.

в линзе собирается в одной из точек фокальной плоскости. Луч, проходящий через центр линзы, своего направления не меняет. Пользуясь этими правилами, легко выполнить требуемое построе­ ние (рис. в).

3 А Д А Ч А 152

Светящаяся точка S с помощью линзы С, фокусное расстояние F которой равно 10 см, и вращающегося зеркала LLX проектиру­ ется на круглый экран А А г (см. рисунок). Определить линейную

К задаче 152.

скорость и, с которой перемещается изображение точки по экрану,

186

При повороте зеркала на угол а луч OS± поворачивается на угол 2а; таким образом, угловая скорость точки St равна 2со. Следовательно, ѵ = 2a>R = 420 см/с.

З А Д А Ч А 153

На тонкую пустую сферическую колбу, помещенную в жидкость, падает узкий параллельный пучок света так, что ось пучка прохо­ дит через центр колбы. На противоположной стороне колбы пучок имеет диаметр, вдвое отличающийся от диаметра пучка, падающего на колбу. Каков показатель преломления жидкости, в которую погружена колба?

Р Е ШЕ Н И Е

Так как показатель преломления воздуха п0меньше показателя преломления п любой жидкости, диаметр D выходящего пучка

« d/2R, ß = CD'/AR да d/4R äs a/2, и тогда угол у, как внешний по отношению к треугольнику ОАІ, можно найти из выражения

у — а + ß — 3a/2;

в) заменить в соотношении (1) синусы углов значениями самих

Стеклянный куб лежит на монете. При каких значениях пока­ зателя преломления стекла монета не видна через боковые грани?

Р Е ШЕ Н И Е

Луч от монеты А через воздушный зазор между монетой и нижней гранью куба падает на нижнюю грань. Пусть угол падения равен аг, угол преломления — ßx (см. рисунок).

187

будет увидеть.

Легко догадаться, что граничный случай (видно — не видно) реализуется при — а 2 = 90°. Но тогда ßi = ß2 = 45°. Следова­

тельно, п = sin 907sin 45° = ]/2 . Если п > ]/2 , монету не видно.

З А Д А Ч А 155

На оптической скамье последовательно расположены: экран Э, точечный источник света S, положительная линза L и плоское зеркало М. Расстояния указаны на рисунке.

Во сколько раз изменится освещенность в центре экрана, если плоское зеркало передвинуть вправо на расстояние а?

Р Е ШЕ Н И Е

Освещенность в центре экрана определяется суммой освещен­ ностей от самого источника и от его изображения, создаваемого лучами после их прохождения через линзу, отражения от зеркала и вторичного прохождения через линзу. Так как источник распо­ ложен в фокусе линзы, на зеркало падает параллельный пучок лучей, остающийся параллельным и после отражения. Положение зеркала на оптической скамье не нарушает этой параллельности, следовательно, освещенность экрана не меняется.

З А Д А Ч А 156

На рис. а изображен пейзаж, сфотографированный с лодки на спокойном озере. Как определить, где на фотографии настоя­ щий остров, а где его отражение в воде?

По яркости и четкости верхняя и нижняя половины снимка одинаковы.

188