книги из ГПНТБ / Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие]

родным шаром, то период колебаний тела, опущенного без началь­ ной скорости в туннель, совпадает с периодом обращения призем­ ного спутника Земли.

Р Е Ш Е Н И Е

Найдем период обращения приземного спутника, т. е. спутпика, высота орбиты которого значительно меньше радиуса Земли R 3. Спутник движется под действием единственной силы — веса, сле­ довательно, в соответствии со вторым законом Ньютона mv2 /R 3 = = mg0, где т — масса спутника; ѵ — его скорость; g0 — ускоре­ ние силы тяжести у поверхности Земли. Период обращения спут­ ника находим из выражения

Тх= 2nR3/v = 2я Ѵ ^ з /go-

Рассмотрим движение тела в туннеле. Если тело массы М на­ ходится на расстоянии х от центра Земли, то на него действует сила тяготения, определяемая фор­ А

мулой F (x) = Mg0x/R 3 (см. задачу 53).

Так как F (х)Іх = Mg0 /R3 —const =

=к, то движение тела является гармоническим колебанием вокруг центра Земли, причем период коле­ баний можно найти из известного соотношения (см. задачу 49): Г2 =

=2п (М/к) 1 / 2 = 2п (R3 /g0)i/2. Следо­ вательно, действительно, Тх = Тг.

Обратите внимание, что в усло­ виях задачи отсутствует вопрос о ве­ личине периодов Тх или Т2. Нельзя ли доказать их равенство, не вычис­ ляя самих периодов? Если это удаст­ ся сделать, то такое доказательство следует считать более красивым.

Очевидно утверждение: если два тела в некоторый момент вре­ мени имеют одинаковые скорости и в дальнейшем движутся с оди­ наковыми ускорениями, их скорости во все последующие моменты времени совпадают.

Допустим, что тело опущено в туннель AB (см. рисунок) в точке А в тот момент времени, когда спутник пролетает над вхо­ дом в туннель. Рассмотрим движение проекции спутника на на­ правление AB. В любой точке орбиты на спутник действует сила тяжести, направленная к центру Земли. В направлении, параллель­ ном A B , спутник в положении С движется под действием состав­ ляющей силы тяжести Fx — mg0 cos а = mg0 OCJR3, где Cx — проекция С на AB. Точка Сг движется по AB с ускорением gx = = g0 OCJR3 , совпадающим по величине с ускорением тела в тун­ неле, когда это тело находится в положении С\. Таким образом,

89

скорость тела в туннеле и проекция скорости спутника на направ­ ление AB всегда одинаковы, а следовательно, одинаковы и периоды этих движений.

3 А Д А Ч А 55

Из Ленинграда сквозь Землю проведены прямолинейные железнодорожные туннели в Москву и Владивосток. Вагон начи­ нает движение в туннеле без начальной скорости. Докажите, что поездка в любой город занимает одно и то же время. Предполага­ ется, что Земля является однородным шаром; силы сопротивления

движению отсутствуют; движение происходит только под действием силы тяжести.

Р Е Ш Е Н И Е

Пусть отрезок AB изображает туннель (см. рисунок). Рассмотрим силу, действующую на вагон в по­ ложении С. Сила притяжения вагона к Земле направлена к центру Земли,

ни от положения вагона в туннеле, ни от расположения самого туннеля относительно центра Земли, то в любом прямолиней­ ном туннеле вагон совершает гармонические колебания вокруг середины туннеля с одним и тем же периодом (см. задачи 49, 54).

З А Д А Ч А 56

Вычислить велйчину второй космической скорости.

Р Е ШЕ Н И Е

Взаимодействия точечных масс (закон всемирного тяготения) и точечных электрических зарядов (закон Кулона) описываются одинаковыми с точки зрения математики соотношениями. Это означает, что и следствия этих законов одинаковы в указанном смысле.

В частности, гравитационное поле, подобно электростатиче­ скому, потенциально, т. е. работа поля при перемещении точечной массы по замкнутому пути равна нулю. Потенциальный характер поля является непосредственным следствием закона всемирного тяготения.

93

По аналогии с электростатикой введем понятие потенциала гравитационного поля; потенциалом данной точки поля назовем такую величину, которая равна работе поля по перемещению еди­ ничной точечной массы из данной точки в бесконечность (где по­ тенциал будем считать равным нулю). Потенциал поля точечной массы, или однородного шара, определяется, следовательно, соот­ ношением (ср. с потенциалом поля точечного заряда)

где R — расстояние исследуемой точки до точечной массы, создаю­ щей поле (источника); g — ускорение силы тяжести в этой точке. Знак минус в формуле (1) связан с нашим выбором начала отсчета для потенциала = 0: так как массивные тела притягивают друг друга, то сближение тел осуществляется за счет действия самого поля. (Заметим, что в формуле (1) ускорение g является функцией R, так что в действительности потенциал U пропорцио­ нален 1/R, а не R, как это кажется на первый взгляд.)

Для вычисления второй космической скорости воспользуемся законом сохранения энергии Е0 = Есо, где Е0 — энергия тела у поверхности Земли; Е<£ — энергия тела в бесконечности. Так как

E0 = mvl/2 — mg0R3, £’00 = 0,

где ѵ2 — искомая скорость; R 3 — радиус Земли; g0 — ускоренно силы тяжести на ее поверхности, то

і;3 = ] / 2^0/?3 11,2 км/с.

3 А Д А Ч А 57

Считая, что Земля является однородным жидким шаром с плот­ ностью р = 5,5 г/см3, определить давление в центре Земли. По­ строить график изменения давления внутри Земли в зависимости от расстояния до центра Земли. Вращением Земли пренебречь.*

Р Е ШЕ Н И Е

Рассмотрим внутри Земли тонкий сферический слой, концент­ ричный земной поверхности и удаленный от центра Земли на рас­ стояние X. Если Ах — толщина слоя, то примем, что Ах ^ х, чтобы поле тяготения в пределах слоя можно было считать постоянным по величине. На малую площадку AS этого слоя действует сила тяготения, направленная к центру Земли и рав­ ная (см. задачу 53)

AFX= (4/3) улр^ЛяДб'.

* 4 . К и т т е л ь , У. Н а й I , М, Р у д е р м а н. Механика. М.

„Наука", 1971,

91

Давление, которое оказывает этот слой на нижележащие слои, определяется соотношением

Држ= /S.FJ&.S = (4/3) уяр2:гД;г.

Представим всю Землю в виде совокупности тонких концентри­ ческих слоев. Тогда давление р (г) на расстоянии г от центра можно представить как сумму давлений всех слоев, для которых х ^ - г , т. е.

р (г) = (4/3) уяр2 lim У х £ х и Ах^О і

где і — номер слоя, а суммирование выполняется для всех слоев, у которых r ^ x i ^ R з (R. 3 — радиус Земли).

Вычислять предел указанной величины вы умеете. Если пост­ роить график зависимости функции у = х от х, то на этом графике величина

lim У] Xj&Xj

Дуг- o і

изображается площадью трапеции, основаниями которой являются ординаты X — г и х — R 3, а боковыми сторонами — отрезки пря­ мых у = X. и у = 0 между этими ординатами (ср. со способом вы­ числения величины перемещения при равномерно ускоренном дви­ жении). Следовательно,

Д^->0 і

Р (г) = (2/3) уяр2 (й | — г2).

Давление в центре Земли

р (0) = (2/3) уяр2Л | = 1,7 • 1011 н/м2.

Функция р (г) изображает параболу; постройте ее самостоя­ тельно.

3 А Д А Ч А 58

В однородном шаре сделана сферическая полость, центр которой не совпадает с центром шара. Докажите, что поле тяготения, ко­ торое создается образовавшимся телом, внутри полости однородно.

Р Е ШЕ Н И Е

Напомним, что поле называется однородным в некоторой области, если его напряженность во всех точках области одинакова

поле с напряженностью g2, то напряженность поля, создаваемого обеими массами, равна векторной сумме gx и g2.

Рассмотрим произвольную точку М внутри полости (см. рису­ нок), Ох — центр шара, 0 2 — центр полости. Если полость запол­ нить веществом той же плотности, что и тело, то ускорение gx

92

в точке М окажется равным величине gox-OxM/R, где gn — уско­ рение на поверхности полученного таким образом однородного шара радиусом R (см. задачу 53). Заполняя полость веществом, мы добавляем к искомому ускорению g ускорение g2, которое созда­ ется веществом в полости. Это ускорение равно величине g02-O2M/r, гДе go2 — ускорение на поверхности шара радиусом г. Следова­ тельно, g2 + g = gi, откуда

Вектор g в соответствии с равенством (1) соединяет конец вектора g2 с концом вектора gx. Известно (см. задачу 53), что £оі/£о2 = Я /r, и, следовательно, gxlg2= 0 ХМ102М. Так как век­ торы gx и g2 направлены вдоль отрезков ОхМ и 0 2М и пропорцио­ нальны им по величине, треуголь­

лучил название „метода отрицательной массы“*.

Мы хотим предостеречь вас от такого „способа“ решения: несмотря на то, что в данном случае он формально приводит к вер­ ному результату, физического смысла он не имеет. Действительно, совершенно невозможно представить себе, как два тела, одно из которых имеет „отрицательную массу“, занимают одно и то же место в пространстве. Кроме того, поскольку и само понятие „отрицательная масса“ бессодержательно, тем более нельзя приме­ нять к этой „массе“ закон всемирного тяготения и принцип супер­

позиции.

Когда мы говорим, что метод „формально справедлив“, мы имеем в виду, что результат может быть получен с помощью рассужде­ ний, имеющих физический смысл (см. также задачу 60).

* „Метод отрицательной массы“ особенно популярен в задачах на отыс­ кание центра тяжести тел „с дырками“.

93

ЖИДКОСТИ, ГАЗЫ, ТВЕРДЫ Е ТЕЛА

3 А Д А Ч А 59

Внутри достаточно большого сосуда с жидкостью, плотность которой р, укреплена горизонтальная ось AB. Вдоль этой оси может свободно перемещаться шайба М плотностью рх (см. рис. а). а. В каком направлении перемещает­ ся шайба под действием поля тяготения, создаваемого жидко­

стью?

Рассмотрите случаи рх < р и рх>> р.

Р Е Ш Е Н И Е

Для простоты будем считать горизонтальное сечение сосуда прямоугольным.

Рассмотрим однородную жид­ кость в состоянии равновесия в отсутствии шайбы (см. рис. б, где изображен вид сосуда сверху). Выделим мысленно объем N жид­ кости, расположенный в произ­ вольном месте на уровне оси AB. Рассмотрим силы, действующие на этот объем в направлении AB. Очевидно, что из-за асимметрич­

ного расположения N по отношению к стенкам CD и EF сила FT гравитационного взаимодействия объема N с остальной жидкостью направлена в сторону более далекой от N стенки, в данном случае EF,. Так как объем N неподвижен, сила должна быть уравнове­ шена какой-то другой силой, действующей на N со стороны осталь­ ной жидкости. Такой силой может быть только сила давления жид-' кости на N. Природа этой силы совершенно такая же, как и у обыч­ ной силы Архимеда, поэтому мы и назовем ее „архимедовой силой“ Fa- Подчеркнем, что величина силы Fa зависит от формы и размера объема ІѴ, но никак не связана с природой вещества,

94

которое находится в этом объеме, в частности с плотностью этого вещества.

Мысленно удалим жидкость из объема N и поместим туда ве­ щество (шайбу) с плотностью рх. При этом изменится величина силы Ft (эта сила в соответствии с законом всемирного тяготения

По аналогии с обычными терминами назовем направление, совпа­ дающее с направлением „архимедовой силы“, направлением „всплы­ тия“. При этом наш результат также может быть сформулирован в привычной форме: тяжелая шайба ( рх р) „тонет“, легкая ( Рі <С Р) — „всплывает“. „Дном“ сосуда в нашем случае является

от обычной тем, что она существенно зависит от „глубины погру­ жения“, т. е. от расстояния до „поверхности“. В частности, лег­ кая шайба „на дне“ находится в состоянии неустойчивого равнове­ сия (Fn = 0).

Р Е ШЕ Н И Е

Рассмотрим сначала случай, когда в жидкости находится лишь одна шайба М плотностью pt и вся система пребывает в состоянии устойчивого равновесия. При этом, очевидно, тяятелая шайба

95

Определим силы, действующие на объем жидкости N, находя­ щийся на AB. Ограничимся исследованием только одного случая

объем М — у „поверхности“ А. Силы, действующие на N, изобра­ жены на рис. б. Они равны друг другу и противоположны по на­ правлению, так как N находится в равновесии. Помещая на место N мысленно вещество с другой плотностью, изменяем силу Ft, со­ храняя величину силы Fa- Следовательно, в рассматриваемом случае тяжелая шайба „утонет“, а легкая „всплывет к поверх­ ности“ В.

Окончательный ответ на задачу: тяжелые шайбы всегда „тонут“, - легкие „всплывают к ближайшей поверхности“.

В заключение еще раз напомним о „методе отрицательной массы“ (см. задачу 58). Приведем целиком „решение“ нашей задачи, содержащееся в одном из сборников для школы:

„Вводя понятие массы, мы указывали, что масса — существенно поло­ жительная величина. Однако когда говорят о значении какой-либо физиче­ ской величины, подразумевают, что ее сравнивают с другой величиной, зна­ чение которой часто принимают за нуль. Что же играет роль нулевой массы? Очевидно, масса „пустоты“, масса того „фона“, который окружает тела. В рассматриваемом случае роль „фона“ выполняет гравитирующая жидкость. При рі > р масса положительна, при Рі < р мы формально всегда можем говорить об отрицательной массе тела по отношению к окружающей среде. Используя понятие отрицательной массы, легко описать относительное дви­

ваются“.

В этих рассуждениях содержится такое количество нелепостей, что не удивительно, что полученный результат даже формально несправедлив (ибо, как мы видели, взаимное поведение шайб зависит от того, с какой сто­ роны от „дна“ они находятся).

Мы уделили „методу отрицательной массы“ такое значительное место потому, что нередко в руководствах для школьников рассуждения, основан­ ные на законах физики, подменяются какими-то формальными необоснован­ ными приемами.

З А Д А Ч А 61

Поставим мысленно такой эксперимент. Возьмем два одина­ ковых сосуда с кранами, откачаем их до полного вакуума и герме­ тизируем. После этого, частично погрузив сосуды в ванну с ртутью, как указано на рис. а, откроем краны, позволив ртути проникнуть в сосуды. Очевидно, что в обоих сосудах ртуть поднимется до оди­ наковых уровней. При этом потенциальная энергия ртути в сосу­ де А окажется меньше, чем энергия ртути в сосуде В. На откачку каждого сосуда была затрачена одна и та же работа, а получен­ ный энергетический эффект различен. Не противоречит ли это за­ кону сохранения энергии?

96

Р Е Ш Е Н И Е

Распространен такой вариант ответа: поднимаясь в .сосуд, ртуть развивает некоторую скорость, а следовательно, приобретает кинетическую энергию. Поэтому поверхность ртути в сосуде под­ нимается выше положения равновесия и в дальнейшем совершает колебания относительно этого положения. Скорость ртути при прохождении положения равновесия различна для разных сосудов, так как сосуды в условиях задачи не равноправны. Следовательно, энергия колебаний для разных сосудов также неодинакова. По-видимому, если учесть энергию колебаний, то окажется, что суммарные запасы энергии ртути в обоих сосудах одинаковы.

На первый взгляд такие рассуждения кажутся очень правдо­ подобными. Однако нетрудно убедиться, что они далеки от истины.

К задаче 61.

Действительно, возьмем цилиндрические сосуды одинакового сечения, но разной высоты (рис. б) и повторим эксперимент. Оче­ видно, что и средние уровни ртути и амплитуды колебаний одина­ ковы в обоих сосудах. В то же время величины работы по откачке сосудов различны. Следовательно, приведенные выше рассужде­ ния не снимают поставленного вопроса.

Верное же объяснение оказывается очень простым.

Мы настолько привыкли к закону сохранения энергии в школь­ ных задачах, что иногда используем его, не задумываясь, авто­ матически (см. задачу 42). О чем же следует прежде всего поду­ мать? О том, является ли рассматриваемая нами система замкну­ той в энергетическом смысле. В нашей задаче система колба — насос — ванна с ртутью, разумеется, не является замкнутой. Существенное участие в происходящем процессе принимает земная атмосфера. Закон сохранения энергии к незамкнутой системе просто неприменим, и результаты нашего эксперимента этому закону не противоречат.

Нетрудно показать, что если подобный эксперимент выпол­ нить так, чтобы вся установка явилась замкнутой системой, кажу­ щееся противоречие с законом сохранения энергии исчезнет. Изо­ лируйте колбу, на.сос и ванну с ртутью от атмосферы, например,

так, как указано на рис. в, где Н — насос, К — кран. Считайте, что известны исходные данные: размеры колбы и сосуда, давления воздуха в них, количество ртути. Для того чтобы можно было не принимать во внимание энергию возможных колебаний ртути, откачивание производите медленно. При этом жидкость медленно же, т. е. не приобретая кинетической энергии, будет заполнять кол­ бу. Попробуйте с помощью расчета убедиться в том, что увеличе­ ние потенциальной энергии такой системы строго равно работе по откачиванию колбы независимо от размеров последней.

Последнее замечание: если колба откачивается в атмосферу, т. е. колба не является замкнутой системой, то предсказать, какие энергетические изменения произойдут с ней в дальнейшем, в общем случае невозможно. Эта ситуация очень напоминает приобретение лотерейного билета: начальные затраты и конечный результат связаны очень слабо, одинаковые расходы совершенно не гаран­ тируют одинаковых выигрышей. Другой пример: энергия, потра­ ченная на то, чтобы нажать на курок ружья, не зависит от того, заряжено ли оно или нет. А результат?

3 А Д А Ч А 62

Закрытый сосуд доверху заполнен водой. У дна сосуда нахо­ дится пузырек воздуха. Как изменится давление у дна, когда пу­ зырек всплывет?

РЕ ШЕ Н И Е

Висходном состоянии давление воздуха в пузырьке совпадает

сдавлением воды у дна сосуда. Давление воды у крышки сосуда меньше, чем давление у дна, на величину Ар = pgh, где р — плот­ ность воды; k — высота сосуда.

При подъеме пузырька вверх объем его не меняется, так как жид­

кость практически несжимаема, а следовательно, не меняется и давление воздуха в пузырьке. Таким образом, когда пузырек на­ ходится у крышки, то давление воды у крышки равно величине давления у дна в исходном положении, т. е. давление у дна увели­

невного опыта. Объясните это.

РЕ Ш Е Н И Е

Уплавающего на поверхности жидкости тела, выполненного из однородного по плотности вещества, центр тяжести всегда лежит выше точки приложения выталкивающей силы. (Почему?) В равно­

98