книги из ГПНТБ / Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие]

где р — импульс, полученный подставкой. Проекция выражения

Пр и м е ч а н и е . При соударениях тел с массами

ти М такими, что т М, массивное тело изменяет свой импульс, но не меняет свою кинетическую энер­ гию, в частности, при абсолютно упругом ударе кине­ тическая энергия тела т остается без изменений. Мы не будем доказывать этого на первый взгляд парадок­ сального утверждения. Укажем только, что если до столкновения тело М было неподвижно, а после столк­ новения приобрело скорость ѵ, то его импульс пропор­ ционален V, кинетическая энергия пропорциональна V2. Так как т М, ѵ мало, ѵ2 тем более мало, что и

иллюстрирует высказанное выше.

3 А Д А Ч А 34

Абсолютно гибкая однородная цепочка массой т и длиной I висит вертикально над поверхностью стола, подвешенная за верхний конец. Нижний конец цепочки касается стола.

Верхний конец отпускают. Доказать, что в любой момепт времени до тех пор, пока вся цепочка не упадет на стол, ее давле­ ние на поверхность стола равно утроенному весу лежащей на столе части цепочки.

59

Пусть за малый промежуток времени от t до t -j-Д^ на стол падает часть цепочки длиной Ах. Масса отрезка Ах равна вели­ чине Ат — гпАх/1, а скорость падения ѵ = gt = (2gx)i/2, так как элемент Ах находился в свободном падении время t и прошел

где F — сила, действующая со стороны стола на элемент Да; и приводящая к остановке последнего. Подставляя в выражение

(2) значения ѵ, Ат и At, находим, что

На основании третьего закона Ньютона можно утверждать, что и элемент цепочки с силой F действует па стол. Полную силу давления на стол получим, суммируя величины (1) и (3);

F G (х) —3mgx/l — 3G (х).

3 А Д А Ч А 35

Центры трех шаров расположены на одной прямой. Первому из них сообщают некоторую скорость ѵ0, после чего он абсолютно упруго сталкивается со вторым шаром. Затем второй абсолютно упруго ударяется о третий шар. Оба столкновения центральные.

Какова должна быть масса второго шара т2 (массы тх и т3 заданы),' чтобы скорость третьего шара была максимальна при данной скорости у0? ■

Р Е ШЕ Н И Е

Исследуем столкновение первого шара со вторым. Из законов сохранения импульса и энергии следует, что

ЩѴ0= mjVx + m2v2, m1v’/2 = тгѵІ/2 + т2ѵЦ2,

где и1 и ѵ2 — скорости первого и второго шаров после столкнове­ ния. Преобразуем систему уравнений к виду

т1(ѵп — ѵ1) — т2ѵ2, (Ро-Рі) (Щ+ ѵ1) = т2ѵ\.

60

Отсюда найдем решения

Два решения получены, потому что использованные в задаче законы сохранения „не знают“, было ли вообще столкновение. Первый ответ описывает события до столкновения и должен быть отброшен, как не решающий поставленную задачу.

г Заметим, что это обычный результат при расчетах, опирающихся только на законы сохранения: направ­ ление, ход процесса эти законы не указывают. Надо пользоваться дополнительными соображениями. На­ пример, разве закон сохранения энергии запрещает весомому телу неподвижно висеть над земной по­ верхностью без всяких опор и подвесок? Не запрещает. Энергия такого тела сохраняется.

Остается второе решение.

Аналогичный расчет для второго соударения приводит к сле­ дующему выражению для скорости третьего шара:

В последнем выражении числитель постоянен, следовательно, максимум дроби соответствует минимуму знаменателя. В свою очередь первые два слагаемых в знаменателе постоянны, и поиск максимального значения ѵ3 сводится к отыскиванию минималь­ ного значения выражения т 2 + тхтаІт2ѵ Последнее перепишем

к направлению скорости пули (см. рисунок). Определить макси­ мальный угол отклонения шеста от вертикали. Размером ящика пренебречь.

61

Р Е Ш Е Н И Е

На основе закона сохранения импульса тѵ == (т + М) V, где V — начальная скорость движения ящика с застрявшей пулей. В крайнем положении ящика его скорость обратится в нуль,

и, следовательно, j c o s a l > l .

В математической задаче достаточно требовать вы­ полнения неравенства

т2ѵ2!2 (т + М)2 gl ^ 2,

определяя тем самым область допустимых значений параметров т, ѵ, М и I.

В физической же задаче необходимо разобраться, почему возникла нелепость и какие реальные события стоят за этим, как понимать отсутствие решения. Анализ должен проводиться лишь в рамках тех соот­ ношений, которые были использованы в решении, никаких посторонних, не рассматривавшихся явлений (типа „шест разрывается“, „ящик ударяется о потолок“ и т. д.) привлекать к объяснению нельзя.

условиях а станет больше я, и ящик начнет двигаться без оста­ новки по окружности в вертикальной плоскости. Искомого угла а в таком случае просто не существует. Мы искали то, чего нет. Отсюда и особенность в решении. Окончательный ответ:

в круговое движение.

Следует заметить, что если в формулировке задачи вместо шеста будет дан канат, наше решение станет несправедливым уже при т2і^1(т + М)2 gl > 2, т. е. когда вычисляемый по формуле угол а превышает я /2 (почему?).

62

3 А Д А Ч А 37

При включенном двигателе ракета весом G неподвижно висит над поверхностью Земли. Определить мощность N двигателя в это время, если газы выбрасываются из сопла в вертикальном направлении со скоростью ѵ.

Р Е ШЕ Н И Е

Ракета неподвижна, ее кинетическая и потенциальная энер­ гии не меняются, следовательно, вся работа двигателя затрачи­ вается на сообщение кинетической энергии выбрасываемым газам.

Пусть за время At двигателем совершена работа АА и выбро­ шена масса газа Ат, которую будем считать малой по сравнению с массой ракеты. До определению N = AAIAt, а кинетическая энергия газов АЛ = Атѵ2 /2. Так как ракета висит неподвижно, то сила, действующая со стороны газов на ракету, равна ее весу. На основе второго и третьего законов Ньютона для выбрасывае­ мых газов GAt — Атѵ. Из этих уравнений находим, что N = = Gv/2.

3 А Д А Ч А 38

На концах и в середине невесомого вертикального стержня длиной I укреплены одинаковые шарики массой т Каждый. Какую скорость будут иметь шарики в момент падения на гори­ зонтальный стол, если: а) нижний шарик закреплен шарнирно; б) нижний шарик не закреплен, трение между столом и нижним шариком отсутствует.

Р Е ШЕ Н И Е

а) Вся потенциальная энергия шариков превратится к моменту

шариков в момент удара о стол (рис. а). Так как при закреплен­ ном нижнем шарике ѵъ = ѵ3 /2 , окончательно получаем, что

б) Незакрепленный нижний шарик не влияет на конечный результат, хотя процесс падения выглядит существенно иначе

(рис. б).

В отсутствие сил трения на систему из стержня и трех шариков не действуют никакие внешние горизонтальные силы. Следова­ тельно, во-первых, центр масс системы, совпадающий со средним шариком, движется только по вертикали (см. задачи 23, 32, 50), и, во-вторых, система не может приобрести импульс в горизон­ тальном направлении, т. е. конечная горизонтальная составляю-

63

щпя скорости системы должна быть равна нулю. Так как первый шарик не имеет вертикальной составляющей скорости, его полная скорость в момент падения равна нулю.

Соотношения между кинетической и потенциальной энергиями и между скоростями второго и третьего шариков в момент падения не отличаются от соответствующих соотношений для случая а), следовательно, окончательные результаты в обоих случаях одинаковы.

3 А Д А Ч А 39

Через два неподвижных блока, находящихся на расстоянии 21 друг от друга, перекинута достаточно длинная невесомая нить,

Кзадаче 39.

кконцам которой подвешены грузы с массами т. К середине нити между блоками подвешен груз массой 2 т (см. рис. а).

Найти скорости грузов по истечении достаточно большого промежутка времени.

64

Р Е Ш Е Н И Е

Формулировка задачи предполагает, что по истечении доста­ точно большого промежутка времени скорости всех грузов станут постоянными (установившиеся скорости). Убедимся в этом, иначе попытки решать задачу могут оказаться бесплодными.

Когда средний груз опустится далеко вниз (нить допускает это, она „достаточно длинная“), нити, ведущие к нему, сольются в одну (угол между нитями станет весьма мал) и будут практически вертикальны. Очевидно, что в таком положении вес среднего груза уравновесится весами крайних грузов, и, следовательно, все грузы будут двигаться без ускорений. Их движение будет происходить по инерции с установившейся скоростью ѵ, одина­ ковой у всех трех грузов.

Столь же ясно, что в начальном состоянии вес среднего груза ничем не уравновешен, и, следовательно, система придет в дви­ жение. Пусть к какому-то моменту крайние грузы поднялись на высоту h каждый. Тогда длина любой из наклонных нитей от блока до среднего груза станет равной I + h (рис. б). Размерами блоков мы пренебрегаем.

Из чертежа видно, что средний груз опустится при этом на расстояние Я, причем Я = DB = AB cos а = (I + h) cos а.

На основании закона сохранения прирост кинетической энер­ гии системы равен убыли ее потенциальной энергии. Уменьшение потенциальной энергии определяется выражением

Кинетическая энергия грузов при установившемся движении такова, что

Из соотношений (1), (2) находим установившуюся скорость

V = (^)1/2.

3 А Д А Ч А 40

Какую мощность должен развить человек массой т, чтобы за время t подняться на высоту Я по эскалатору, который движется со скоростью и под углом а к горизонту?

N = A/t = mgH/t — mgv cos ß

при условии, что HIt~>v cos ß. Послед­ нее всегда имеет место, если эскалатор движется вниз, так как при ß = я /2 + а и О < а < я/2 cos ß < 0. Если эскалатор движется вверх, то при Hit sg v sin a человеку для подъема за время Т ^ t достаточно стоять на месте, причем N = 0.

Если в такой задаче даны численные значения m, Н, t, ѵ и а, найденную мощность следует сравнить с реальными возможностями человека. Для него должно быть N < 1 л. с., иначе полученный результат имеет чисто академический интерес.

3 А Д А Ч А 41

Две однотипные ракеты, имеющие скорости относительно Земли 10 и 15 км/с, одновременно включили двигатели на одно и то же время. В результате скорости обеих ракет возросли оди­ наково, на 1 км/с каждая. Рассмотрим увеличение кинетической энергии каждой ракеты (для удобства в необычных единицах: т км2/с2, где т — масса ракеты):

Л7\ = (Ц)2/2 - (10)2/2 = 21/2,

•АТ2 — (16)2/2 — (15)2/2 = 31/2.

Следовательно, у второй ракеты кинетическая энергия увели­ чилась на большее значение, чем у первой. Не противоречит ли это закону сохранения энергии? Ведь обе ракеты израсходовали на увеличение скорости одно и то же количество топлива с одина­ ковой теплотворной способностью.

Р Е Ш Е Н И Е

Нет, не противоречит. Топливо второй ракеты обладает боль­ шей кинетической энергией, чем топливо первой ракеты, и при сгорании уменьшает свою кинетическую энергию на большую

Земли; Ди — приращение скорости ракеты в результате сгорания этого количества топлива; ѵ — скорость выброса продуктов горе­ ния топлива относительно ракеты; Q — тепловая энергия, содер­ жащаяся в Ат топлива.

66

Будем считать для простоты, что вся тепловая энергия Q топлива переходит в кинетическую энергию продуктов горения и ракеты. Учтем, что скорость выброшенных продуктов горения относительно Земли равна и — ѵ. На основе закона сохранения энергии

Приращения АТ кинетических энергий ракет и продуктов

Таким образом, суммарный прирост кинетической энергии системы равен количеству теплоты в топливе. Используя закон сохранения импульса (т — Ат) Аи = Атѵ, нетрудно найти, что

Q = m (Аи1 л ) 2/ 2 — Ат [(АиЬ 2 ) 2 — н2]/2,

т. е. суммарный прирост кинетической энергии системы ракета — топливо не зависит от начальной скорости ракеты.

Дотошный читатель может спросить, логично ли это — опровергать нарушение закона сохранения, опи­ раясь на сам этот закон. Не напоминает ли это чехов­ ское „этого не может быть, потому что этого не может быть никогда“? Да, внешне напоминает, но все же наши рассуждения логичны. Первоначальный нелепый вывод

взадаче возник лишь потому, что закон сохранения был использован неправильно. Стоило же учесть все сла­ гаемые энергии системы — и недоразумение выясни­ лось.

Иеще одно замечание. Если события, изложенные

взадаче, рассматривались бы в разных системах отсче­ та, каждая из которых двигалась вместе с соответст­ вующей ракетой до включения двигателя, противоре­ чия вообще не возникло бы: в собственной системе каждая ракета увеличила бы скорость от 0 до 1 км/с за счет сгорания одного и того же количества топлива. Сравнивать же события между собой было бы нельзя: кинетическая энергия относительна (т. е. ее величина зависит от системы отсчета), поэтому при применении закона сохранения энергии все расчеты следует прово­ дить для одной и той же системы отсчета.

3 А Д А Ч А 42

Тонкая нерастяжимая цепочка с пренебрежимо малыми коль­ цами перекинута через неподвижный блок. Свешивающиеся с блока части цепочки лежат на столе и на полу, причем часть,

находящаяся на столе, достаточно длинная и уложена в малую бухту вокруг точки В (отрезок ВВ1 вертикален). Найти скорость установившегося движения висящей части цепочки, если стол находится на высоте h над полом (см. рисунок).

Р Е ШЕ Н И Е

Сначала, разумеется, нужно убедиться в том, что движение

иускорением а, которые для опре­ деленности будем считать направ­ ленными от А к С.

На основе второго и третьего законов Ньютона для отрезков АС

иAB цепочки можно записать

Ugh — Fa = nah, 1

________________________Из этих уравнений FB = \ih (g —

/// / / / / / / / / / / / / / — a) — \ial. Рассмотрим интервал

Кзадаче 42. времени от t до t + Дt, настолько

малый, что скорость движения можно было бы считать постоянной. За время At в движение вовлечен отрезок цепочки длиной AI = vAt, который в момент t лежал на столе. В момент t + At этот отрезок имеет количество движения, равное величине іщД/ = рі?2Дt. По второму закону Ньютона это количество движения равно импульсу действующей силы, т. е. FBAt = ргЯДt. Сравнивая последнее выражение с фор­

Допустим теперь, что ускорение цепочки с течением времени увеличивается. Очевидно, что при этом должна увеличиваться и скорость цепочки (напоминаем, что направления ускорения и ско­ рости приняты совпадающими). Однако это противоречит соотноше­ нию (2). Следовательно, ускорение цепочки может только уменьша­ ться. Поскольку скорость при этом продолжает возрастать, то движе­ ние устанавливается только по мере приближения величины уско­ рения к нулю, т. е., как следует из (2), при скорости ѵ0 такой, что

ѵІ = \ітѵ2 = gh. (3) Ö-+0

Подобным же образом можно исследовать другие варианты движения цепочки в начальный момент времени и убедиться, что наш результат (3) справедлив всегда.

68