книги из ГПНТБ / Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие]

расписаний движения транспорта и используется, например, железнодорожниками. Расписание должно быть составлено так, чтобы мировые линии поездов пересекались только во время остановок.) По условиям задачи мировые линии А, Б и В попарно „пересекаются“ (почти пересекаются), т. е. лежат в одной плос­ кости. Мировая линия Г лежит в той же плоскости, так как она „пересекает“ линии А и Б. Так как скорости В я Г различны, мировые линии В и Г не параллельны, т. е. „пересекают“ друг друга, что и означает „столкновение“ кораблей В и Г.

З А Д А Ч А 15

Необходимо поразить неподвижную цель, расположенную на расстоянии S от орудия по горизонтали, на высоте Н над поверх­ ностью Земли. Какова наименьшая скорость снаряда в момент выстрела ѵ0, при которой эта задача выполнима? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Р Е ШЕ Н И Е

Укажем сначала на очень распространенную ошибку в рассуждениях: говорят, что траектории, вершина которой совпадает с положением цели, соответствует наименьшее значение начальной скорости снаряда. Основанные на этом расчеты приводят к выражению

= V 2gU (2№ + S 2)l2H.

Это утверждение кажется на первый взгляд справедливым; однако оно не только бездоказательно, но и неверно.

Начало системы отсчета поместим в точку, где находится ору­ дие, оси системы направим горизонтально и вертикально. Если выстрел произведен под уголом а к горизонту с начальной ско­ ростью к0, а траектория снаряда проходит через точку с коорди­ натами S и Н, то справедливо соотношение

Н — S tg а — gS2/2vl cos2 а.

Найдем отсюда уЦ:

_______ 1______

Ѵ<> 2 (S tg а —Н) cos2 «'

Задача теперь состоит в подборе такого значения а, при кото­ ром величина ѵі минимальна.*

Для удобства записи формул введем обозначения: tg а = z,

HIS — к. Тогда

* Следует помнить, что задачи на экстремум отличаются принципиальной особенностью. Правильно решить такую задачу значит не только указать верное значение искомой величины, но и строго доказать, что найденное значение действительно превосходит любые другие в отношении требуемого свойства.

29

Преобразуем величину (1 + z2)/(z — к), разделив числитель по­ следнего выражения на знаменатель. В результате получим, что

дим к выводу, что минимум ѵ0 имеет место при выполнении условия

tg a 0 = z = &+ ]//c2+ l =

расположена по горизонтали ближе к орудию, чем дель, и нахо­ дится выше цели. Снаряд попадает в цель на излете (т. е. когда вертикальная составляющая его скорости направлена вниз). Пунктиром на чертеже изображена траектория, вершина которой совпадает с положением цели.

Читателю рекомендуется самостоятельно доказать, что тра­

З АД АЧ А 16

Зенитное орудие производит выстрелы во всевозможных направ­ лениях. Начальная скорость снарядов ѵ0. Определить границу области, которая простреливается из этого орудия.

Р Е ШЕ Н И Е

Из решения предыдущей задачи следует, что при заданной начальной скорости снарядов ѵ0 в точку с координатами S и Я, такими, что

30

можно попасть только с помощью определенного выстрела,

Очевидно, что искомая поверхность симметрична относительно вертикальной оси выбранной системы отсчета. Поэтому достаточно найти уравнение линии пересечения этой поверхности с любой вертикальной плоскостью, проходящей через орудийную пози­ цию.

Координаты точек, в каждую из которых можно попасть лишь единственным выстрелом, удовлетворяют соотношению (1). Рас­

какой-то боковой точкой.

Получим одно интересное следствие из решения задачи. Постро­ им поверхность, на которой расположены вершины траекторий всех снарядов.

Исключая из этих уравнений угол а, получим, что іР + £ 2/ 4 - д е £ ) Я = 0.

Линия, описываемая этим уравнением, симметрична относи­ тельно координатной оси Я, проходит через начало координат и пересекает ось ординат в точке Я = ѵЦ2g. Такая линия назы­ вается эллипсом (см. рис. б).

Искомая поверхность является эллипсоидом вращения. Эллипсоид и параболоид вращения делят пространство на

три области. В точки, расположенные вне параболоида вращения

31

по отношению к орудию, при данной начальной скорости попасть нельзя. Любую неподвижную цель, находящуюся внутри эллип­ соида, можно поразить снарядами как при восходящем, так и при нисходящем их движении. В цели, расположенные между пара­ болоидом и эллипсоидом, снаряды попадают только при нисхо­ дящем полете.

П р и м е ч а н и е . В связи с этой и рядом других задач необходимо знать следующее.

Любому соотношению вида / (х, у) — 0 (где / (х, у) — произвольная непрерывная функция двух переменных) на плоскости оху можно сопоставить некоторую линию такую, что координаты любой точки линии удовлетво­ ряют данному соотношению, и, наоборот, любая пара значений х, у, удовлетворяющих соотношению, дает точку, принадлежащую линии. Тогда соотношение

Приведенные в скобках соотношения есть, следова­ тельно, уравнения прямой линии, параболы и гипер­ болы.

В настоящем сборнике используются также урав­ нения эллипса (я2х2 4- Ь2у2 — с2 = 0) и окружности

(х2 + у2 — R2 = 0). •

З А Д А Ч А 17

Автомобиль с колесами радиусом R движется без проскальзы­ вания по горизонтальной дороге со скоростью ѵ. На какую макси­ мальную высоту над поверхностью Земли забрасываются капли грязи, отрывающиеся от колес?

Р Е ШЕ Н И Е

Очевидно, что высота, на которую подлетает оторвавшаяся от колеса капля, зависит, во-первых, от высоты точки отрыва над поверхностью Земли и, во-вторых, от вертикальной составляющей скорости капли.

Поскольку вертикальные составляющие скорости любой точки колеса одинаковы в двух системах отсчета — в системе, жестко связанной с Землей, и в системе, связанной с осью колеса и дви­ жущейся поступательно относительно Земли, — эти системы в рассматриваемой задаче совершенно равноправны. Выберем из них вторую.

Пусть капля отрывается от края колеса в точке А (см. рисунок). В выбранной системе отсчета модуль ее скорости ѵа для любого положения точки А подчиняется равенству ѵа = ѵ. Вертикальная составляющая скорости поэтому ѵу = ѵ sin а. После отрыва от

32

колеса капля движется с ускорением g, так что высота ее подъема над поверхностью Земли определяется выражением

Если рассматривать последнее соотношение как уравнение относительно величины cos а, то его корни будут равны

причем эти формулы имеют физический смысл только при выполне­ нии условий

h^ k { ^ + 1

и

I (cos a)w | < l .

З А Д А Ч А 18

Круг (см. рис. а) с черным сектором (угол при вершине которого равен 40°) вращается вокруг оси, проходящей через центр круга перпендикулярно к его плоскости, с частотой оборотов 1500 мин"1. Что будет видно на круге, если в темной комнате его осве­ щают светом, мигающим 100 раз в секунду, причем длительность каждой вспышки света равна 0,003 с?

Решить эту задачу при частоте оборотов 1440 мин"1 и 1560 мин"1.

Р Е ШЕ Н И Е

Хорошо известно, что наш глаз обладает некоторой инерцией. Поэтому мелькающий свет при достаточно высокой частоте неот­ личим от непрерывного. В частности, это свойство глаза позволяет

нам смотреть кино, т. е. воспринимать как непрерывное действие последовательность неподвижных сцен, сменяющих друг друга

24раза в секунду.

В условиях предложенной задачи свет мелькает еще чаще, так

времени между двумя последовательными вспышками (точнее, между началом одной вспышки и началом следующей) черный сектор повернется ровно на 90°. Таким образом, через четыре вспышки сектор возвращается в прежнее положение, повернувшись на 360°. В течение каждой вспышки (глаз воспринимает излучение

Все происходящее с диском в течение четырех вспышек воспри­ нимается глазом как единовременное событие. Нетрудно понять, что при этом мы увидим на круге черный крест (см. рис. б). Сред­ няя часть каящого лепестка этого креста (угол у = 40° — 27° =

Если диск вращается с частотой ѵ = 1440 мин-1, (т. е. 24 с-1), то за четыре мигания (за время At — 0,04 с) сектор повернется на угол ß] = 360°Atv =» 345°,6. События будут восприниматься нами при этом, как вращение креста в сторону, противоположную направлению вращения диска, с частотой

34

Рассмотренный эффект носит название стробоскопического. Он настолько любопытен, что полезно уделить ему некоторое внимание.

Заметим прежде всего, что обычные лампы накаливания, хотя они и питаются переменным током, не мигают, так как за время между соседними амплитудными значениями тока, т. е. 1/100 с, нить накала не успевает остыть. Другое дело „холодные“, газонаполненные лампы, например лампы дневного света или трубки, которые используют в световых рекламах. Они действи­ тельно мигают, по настолько часто, что обычно мы не замечаем этого, но можем убедиться в том, если, не фиксируя взгляд на лампе, быстро повернем голову: боковым зрением мы увидим целую гирлянду светящихся трубок.

С этим свойством неоновых реклам связан интересный случай стробоско­ пического эффекта *: велосипедист, проезжавший по улице, вымощенной брусчаткой и освещаемой рекламой, заметил, что при некоторой скорости движения брусчатка под ним кажется неподвижной. Попробуйте оценить скорость велосипедиста.

В заключение — вкратце о полезном использовании стробоскопического эффекта.

Много лет назад для проигрывания граммпластинок повсеместно исполь­ зовались патефоны. Патефон с пружинным двигателем требует „настройки“: частоту вращения диска с помощью специального тормоза можно в широких пределах менять, а она должна быть равна в точности 78 об/мин. Для такой настройки употребляли простой прибор — стробоскоп. Он представляет собой диск с отверстием, разделенный на несколько концентрических колец. На каждом из колец на белом фоне нарисовано определенное число (разной для разных колец) черных полосок, следующих друг за другом через одинако­ вые углы (см. рис. в, на котором стробоскоп изображен схематически: в дейст­

вительности число полосок на кольцах не такое). Если стробоскоп поставить на вращающийся диск патефона как граммпластинку и осветить его неоновой лампочкой, то можно увидеть необычную картину: одно из колец окажется „неподвижным“, а остальные кольца будут медленно „вращаться“, причем в разных направлениях. Стробоскоп градуирован, так что по номеру неподвиж­ ного кольца можно сразу узнать частоту оборотов диска.

Этот же метод используется и в технике для точного определения частоты оборотов вращающихся валов. Соответствующий прибор называют строботахометром. Диск, такой, как на рис. а, насаживают на вращающийся вал и осве­

щают лампой, частоту миганий которой можЬо известным образом менять. Подбирают частоту миганий так, чтобы добиться на диске неподвижного рисунка (например, такого, как на рис. б). По частоте вспышек определяют

искомую частоту вращения вала.

Еще одно очень важное применение стробоскопического эффекта в тех­ нике — обнаружение механических повреждений быстро вращающихся деталей. Допустим, например, возникло подозрение в том, что в роторе работающей турбины появилась повер'хностная трещина. Останавливать тур­ бину невыгодно, а на вращающемся с громадной скоростью роторе трещину, конечно, не заметишь. Освещают ротор мелькающим светом, частота мигания которого кратна частоте вращения ротора. При этом ротор „останавливается“. Изменяя фазу миганий, можно заставить ротор „остановиться“ в любом положении и, следовательно, просмотреть все участки его поверхности.

З А Д А Ч А 19

Какой силой F можно удержать на месте брусок массой т, лежащий на гладкой наклонной плоскости с углом при основа­ нии а?

* М. М и н н а р т. Свет и цвет в природе. Мѵ1 Физматгиз, 1959.

Р Е Ш Е Н И Е

На брусок действуют следующие силы: сила тяжести mg, реакция опоры Q и искомая удерживающая сила F (см. рис. а). По условиям задачи mg -f- Q + F = 0.

Проектируя это векторное равенство на оси ох и оу, где оу

перпендикулярна, а ось ох параллельна наклонной плоскости, получаем, что

Q —mg cos а + FV = 0, \

— mg sin a + Fx = 0. f

Из этой системы (учитывая, что если брусок лежит на плос­

кости, то должно выполняться неравенство Q 0) находим, что

Fx — mg sin а , Fy mg cos а.

Для наглядности все силы, удовлетворяющие последним соот­ ношениям, можно изобразить в координатных осях Fx, F , ориен­ тированных по Ох и Оу соответственно. Если начало искомого вектора F совпадает с началом системы координат О, то конец

этого вектора должен лежать на полубесконечном луче AB (см. рис. б).

Уместно пояснить, зачем нужны такие „идеальные“ задачи (см. также задачу 32), поскольку очевидно, что в реальных условиях соскальзывание бруска неизбежно сопровождается возникновением сил трения, которые в задаче считаются отсутствующими.

Любой реальный физический процесс столь сложен, что полный учет всех действующих факторов принци­ пиально невозможен. Неизбежно приходится идти на упрощения, ограничиваясь исследованием лишь основ­ ных из этих факторов. Заметим, что надо обладать опре­ деленным чутьем, чтобы в конкретных ситуациях ото­

36

идеализации (материальная точка, твердое тело, иде­ альный газ и т. д.). Используя их, следует помнить, что любая модель имеет ограниченную область приме­ нимости.

Что касается настоящей задачи, то скольжение почти без трения можно организовать достаточно легко, использовав в каче­ стве бруска массивную тележку на легких, свободно вращающихся колесах. При этом полученный нами ответ окажется достаточно близким к действительности.

Учет трения существенно усложняет решение (см. задачу 20).

3 А Д А Ч А 20

На наклонной плоскости с углом при основании а находится брусок весом G. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен /. Какую силу F следует приложить к бруску, чтобы он был неподвижен?

Р Е Ш Е Н И Е

Введем систему координат оху, так что ось ох параллельна наклонной плоскости, ось оу перпендикулярна к ней, причем обе оси лежат в вертикальной плоскости.

На брусок действуют силы: сила тяжести G, реакция опоры Q, удерживающая сила F и сила трения FTP. Направление последней

может быть и противоположным указанному на рис. а. Так как брусок неподвижен, то

37

а реакция Q направлена вверх от наклонной плоскости. Проеци­ руя равенство (1) на ось оу, получаем, что G cos а + Q + Fy — О, где Q iS? 0 или

Таким образом, указанному в задаче условию удовлетворяет любая сила F, составляющие которой подчиняются соотношениям

(5) и (3) или (6) и (3).

Для наглядности полученные решения иллюстрируются гра­

вектор, начинаясь в начале координат, оканчивается в точке,

1.FX= G sin a.

2.Fx — G sin a + fG cos a — fFy.

3.FX= G sin a — fG cos a -f-fFy.

4.Fy = G cos a.

Минимальные абсолютные значения искомых сил равны вели­ чинам fG (sin a — / cos a) в первом и нулю — во втором случаях.

Сравните результат с ответом на предыдущую задачу. При / -*■ 0 угол при вершине заштрихованной зоны также стремится к нулю, а сама зона в пределе вырождается в полубесконечный отрезок. Таким образом, нами получено решение, более общее, чем в задаче 19, однако за счет более сложных выкладок.

Можно ли считать такой ответ полностью исчерпы­ вающим явление? Нет, это лишь следующая модель, более сложная и точная сравнительно с задачей 19, но по-прежнему идеализированная. Ведь использован­ ное соотношение для сухого трения скольжения F ^ = =/<? является идеализированным соотношением, спра­ ведливым лишь приблизительно в ограниченных пре­ делах изменения величины нормального давления Q и т. д.

38