Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

тогда

dP,

(х)

ТІ'

(х0)

(*о

Х ї )

П '

( х і

)

(ха

х,)

I I ' (х.,)

+ УоІ ..

1 ..

+ • -

\ -^U

"*Ч>

Х2

_2_

Уг

Остаточный член формулы

dl\

(х)

вычисляем

по формуле

(6.13):

R'2 (x) =

і 2 і

/ " '

( c )

—

/ "

( ? ) •

Аналогично

сделав

расчеты

для

х = Х[

и х = х%

получаем

следующие расчетные формулы с указанием остаточного чле на для трех равноотстоящих узлов:

/ '	Ы	( - Зу0 + 4 У і -	у,) +	/"'	,
/ '	=	( - Уо 4 J ' 2 ) -	- £ - / " ' ( ? , ) >

/' (*з) = - ^ р (Уо ~ 4у, -4- Зу2 ) + - ^ - / ' " ( У .

Замечание. Если таблица функции получилась в результате эксперимента, то из приведенных формул видно,, что малая ошибка в значении функции после деления на малый шаг h может привести к большой ошибке в значении производной. Еще хуже обстоит дело при вычислении производных высших порядков. Поэтому желательно, чтобы шаг таблицы был по крайней мере на порядок (т. е. раз в 10) больше, чем возмож ная ошибка в значении функции; для вычисления производ ной второго порядка шаг должен быть на два порядка больше этой ошибки.

К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы

1. В чем состоит задача приближенного дифференцирова ния и почему она возникла?

2.Какова сравнительная точность интерполирования, при ближенного дифференцирования и интегрирования?

3.Произвести вывод формулы приближенного дифференци рования, основанной на,первой интерполяционной формуле Ньютона.

4. Как выглядят формулы численного дифференцирования

восновных табличных точках xt. Сделать вывод.

5.Сделать вывод формулы (6.10). На основании какого ин терполяционного полинома она выводится?

6.По какой формуле производится оценка погрешности формул (6.6) и (6.10)? Можно ли по формуле (6.10) оценивать погрешность формулы (6.8)?

7.По какой формуле подсчитывают погрешность формулы

(6.8)?

8.По какой формуле подсчитывают погрешность формулы (6.10)? Сделать вывод.

9.В чем сравнительные преимущества и недостатки фор мул (6.8) и (6.10)?

Г л а в а 7

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Постановка задачи. Если для рассматриваемой функции первообразная выражается через элементарные функции, то определенный интеграл от данной функции вычисляется но формуле Ньютона—Лейбница. Однако не всякая первообраз ная выражается в конечном виде через элементарные функции. К «неэлементарным» функциям относятся, например, функция Лапласа

Ф (х) «=.- j е-? dt ,

которая играет большую роль в теории вероятностей, функ ция

_	d t
"(Г—	Р) (1 - k'1 Р) '

применяющаяся в электротехнике при расчете взаимоиндук тивности двух круговых витков, интеграл Френеля

встречающийся в теории интерференции и др. В этих случаях, а также когда зависимость между переменными задается гра фически или табличным способом, нельзя применить формулу Ньютона—Лейбница. Тогда применяют различные приближен ные методы.

1. Для приближенного вычисления определенных интегра лов часть неэлементарных специальных функций затабулиро-

вана. Например, во всех учебниках но теории вероятностей приводится таблица значений функции

Ф (х) = —1 \ е 2 dt .

2.Часто применяют разложение подынтегральной функции

вряды различного вида.

Пример 7.1. Вычислить

				sin	х		,
				х			а х
				х
с точностью до 0,001.
Р е ш е н и е .			Применяя ряд Маклорсна для sinx, получаем
sin	х	dx		1 - Т !	4 - А - - . . . 4 ( - 1 ) - Х
х		dx		1 - Т !	4 - А - - . . . 4 ( - 1 ) - Х
х
X -77	X 2 л - 2			+ . . . dx — x			Xі		X'"
X -77	-	1) ! .		+ . . . dx — x			3 • 3 !	1	5 • 5 !
(2n	-	1) ! .					3 • 3 !		5 • 5 !
						X' 2Л--1			Л- • • •
				{2n	-	1) - (2/i — 1) !			Л- • • •
Положим		x — it, тогда
	sin	X	dx — т. —		18		1 600	35 280Г +
			dx — т. —		18		1 600	35 280Г +
				_ 9
			3 265 920		439064 800

Погрешность в случае знакочередующегося ряда не пре восходит первого из отброшенных членов по абсолютной вели чине.

Так как шестой член меньше, чем 0,0007, то ограничимся пятью членами.

Промежуточные вычисления проведем с пятью значащими цифрами:

It
sin X dx	3,1416 — 1,7226 +0,5100 -0,0856 + 0,0091 =

= 1,8525 =с 1,852 .

Итак:

-dx =- 1,852 + 0,001 .

3. Если подынтегральная функция задана графиком, приме няют графическое интегрирование. Оно основано на геометри ческом смысле определенного интеграла, равного площади со ответствующей криволинейной трапеции. Эту площадь можно подсчитать примитивно, изобразив график на миллиметровке и считая клеточки или с помощью специального инструмента — планиметра. Площадь фигуры произвольного вида считывается с циферблата планиметра после обвода ее контура штырем планиметра.

4. Наиболее универсальными методами, пригодными к ин тегралам от произвольных функций, заданных любым спосо

бом, в особенности таблично	(это, в частности,	удобно при
применении вычислительных	машин), являются	методы чис

ленного интегрирования. Основная идея этих методов заклю

чается в том, что подынтегральную функцию								заменяют	близ
ким к ней интерполяционным					полиномом, первообразная				кото
рого находится элементарным					образом.
	Пусть известны		значения		функции		y—f(x)	в точках	a — x§\
х\\...	\ Jfn-Г,	хп = Ь.	Представим эту функцию в виде
		/ ( * ) =		Р„ (x) + Rn			(х),
где	Рп (х) — интерполяционный полином Лагранжа или Нью
тона. Почленно проинтегрировав						это равенство, получим
	ь		ь			ь
	j /	(х) dx=- [Рп		(х) dx		+ j	Rn (х) dx .
	, а		а			а
	За приближенное значение искомого интеграла принимают
		\f(x)dx^			f Pn(x)dx,				(7.1)

аа

апогрешностью этого приближения служит величина

r„ = j	Rn (х) dx .	(7.2)
а

Используя формулу (5.25), имеем

І r" I <	77ГІЛТТ СI ^ : 1				d x = m	a x	/[ ""Н ) (*) I х
	l	«	t l \| !	J	є [о; ft]
1			Ь
1			f
х (л +	і)	і	)'••(*-	* о ) ( x ~ x i )	• • • (х	-	хп) I dx .	(7.3)

§ 7.1. Ф О Р М У Л Ы П Р Я М О У Г О Л Ь Н И К О В

Для приближенного вычисления dx

разделим отрезок [а; Ь) точками

\ Хп — \\ хп

Л =

Х 0 ,

Х^\

Хъ

на я равных частей с длинами

Ах =

•

Обозначим

через

у0 ;

Уи

у 2 ; . .

. ; у<; • . .

; у«-г, уп

соответствующие

значения

функции y=f(x)

в точках

деления.

Составим суммы:

4 _v0

Ах

j / ,

Ах, 4-

уг

Ах

• • • -I- У; А* 4

• • . +

У«-і А *

5 f

j ' j

Ах

- f

у2

Ах

-h . . . +

у,

Ax' f

. . . 4-

y„_i

Ах

h Уя Ах .

Каждая из этих сумм является

интегральной

суммой

для

функции y=f(x)

на [а; Ь] и поэтому

приближенно

выражает

интеграл:

Ь-ап'х

^ / ( х ) г і д с я = ( у 0 + у 1

Ч - у ? +

. . . + у / + . . . + у я

- і ) Д х =

—

/г

у,;

(7.4)

— j

і-о

У Г Ь - + У « - І 4

У , ) Д * =

I /(x)rfx^Cyr r-y.2 4-.,.-[

( 7 - 5 )

((--іі

Формулы (7.4) и (7.5) называют формулами прямоуголь ников. Из рис. 7.1 видно, что если подынтегральная функция положительная и возрастающая, то формула (7.4) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (7.5) — площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников.

Р и с . 7.1

Когда функция монотонна на [а; Ь], то абсолютная погреш ность формул (7.4) и (7.5) не превышает величины площади прямоугольника, заштрихованного на рис. 7.1, основание ко-

аb а

торого равно ах	= — — ,	а высота равна уп—у0,	т. е. ошиб
ка не превышает	величины
	& =	\Уп-Уо\-	(7-6)

Замечание. На практике обычно вычисляют значения орди нат в средних точках

?* — 2 = *А-Н/2 •

Если соответствующие			ординаты /	(%k) — f	(xk.r\/2)	обозна
чить через	ук -1/2.	то формула прямоугольников примет вид:
J" / ( * )	СІХ %	jj-?-	{УМ2 + УЗ/2	+ . . . +	У/1-1/2) •	(7.7)
а

В большинстве случаев формула (7.7) точнее, чем (7.4) и (7.5), что видно на рис. 7.1. •

§ 7.2. Ф О Р М У Л А	Т Р А П Е Ц И Й
Более точное значение определенного			интеграла	получим, ,
если данную кривую с уравнением y=f(x)			заменим не ступен
чатой линией,	а вписанной ломаной (рис. 7.2). Тогда			площадь
криволинейной	трапеции	аАВЬ заменится	суммой	площадей
прямолинейных трапеций,		ограниченных сверху хордами ААи
АіА2,...,Ап.л	В,

ос

х, .. •

Р и с . 7.2

Так как площадь первой из этих трапеций равна

У» + У\' Ах ,

площадь второй равна

У і + У2 Ах

и т. д., то b

У,, і 4- yn	д		b — a		y0	i-y„	,			(7.8)
2	^	"	-	^	l	^	+	S	»')

Формула (7.8) называется формулой трапеций.

§ 7.3. Ф О Р М У Л А П А Р А Б О Л ( Ф О Р М У Л А С И М П С О Н А )

Формула парабол требует не большей затраты труда, чем предыдущие формулы, но приводит к еще более точным ре

зультатам при одном	и том же	разбиении отрезка [а; Ь].
Разобьем отрезок	[а; Ь] на	четное	число	равных	частей
т — 2п. Площадь криволинейной трапеции,				соответствующей
отрезку [хо; Х2] и ограниченной заданной			кривой y=f(x),		заме

ним площадью трапеции, ограниченной параболой второй сте пени, проходящей через три точки М0(х0; yQ), М{(хи ух),

Р и с . 7.3

М2(х2; у2) и имеющей ось, параллельную оси OY (рис. 7.3). Такую криволинейную трапецию называют параболической. Уравнение параболы с осью, параллельной оси О К, имеет вид:

у = Ах- + Вх + С

(7.9)

Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из усло вия, что парабола проходит через три заданные точки.

Аналогичные параболы строят и для отрезков [х2; х 4 ] , . . . , \х2п~2, х.1п]. Сумма площадей параболических трапеций даст приближенное значение интеграла.

Вычислим сначала площадь одной параболической трапе ции, а именно, докажем, что площадь, ограниченная параболой (7.9), отрезком оси ОХ и двумя ординатами, расстояние меж ду которыми равно h, вычисляется по формуле

S = -|- (Уо

4-У! + У2) ,

(7.10),

где

і/о и у2 — крайние ординаты;

;/i — ордината кривой в середине отрезка.

Р и с . 7.4

Для доказательства расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. 7.4. (От выбора системы координат величина площади не изменится.) Площадь парабо лической трапеции вычислим по формуле

5 = \ (Ах2	+ Вх +		С) dx	=	- Jh^ - {Alt'-	•{- 12 С) .	(7.11)
Коэффициенты		в уравнении			параболы	(7.9) определим из
следующих уравнений:
*п =		h	Уо =	,	/Ґ-
*п =		2~ .	Уо =	А	"J-
Xi =	0,	г// =	С ;				(7.12)
	А-		„	4
				4

Из решения системы (7.12) следует:

С = У и А~-^Г

(2Уо + 2Уг - 4^<) •

Подставив найденные значения для Л и С в формулу (7.11), получим формулу (7.10).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202315.13 Mб157Еремин, Е. Н. Основы химической термодинамики учеб. пособие.pdf
#
29.10.20233.12 Mб29Ерзинкян Л.А. Приготовление и применение лечебного ацидофильного молока и молока Наринэ.pdf
#
29.10.20238.7 Mб11Ерин Б.Г. Контроль качества мостостроительных работ.pdf
#
30.10.202321.35 Mб26Ермолаев Н.Н. Механика грунтов. Основания и фундаменты.pdf
#
30.10.202323.7 Mб29Ермолаев Н.Н. Проектирование оснований и фундаментов справочное пособие.pdf
#
23.10.20236.67 Mб14Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
#
24.10.20239.48 Mб85Ермолин Н.П. Расчет коллекторных машин малой мощности.pdf
#
23.10.20238.12 Mб50Ермолов Р.С. Цифровые частотомеры.pdf
#
20.10.20238.24 Mб63Ермолов, Л. С. Основы надежности сельскохозяйственной техники учебное пособие.pdf
#
19.10.20232.64 Mб18Ерофеева, И. А. Импульсные устройства на однопереходных транзисторах.pdf
#
22.10.202311.43 Mб15Ерусалимский, Б. Л. Процессы ионной полимеризации-1.pdf