книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие
.pdfТак |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
(xs |
xs fl)'» |
== |
; |
|
|
|
(xl x2. |
. . xs)m |
+ (xl |
x2 . |
. . Xs-i |
xs+1)m |
= |
= (x, |
x2 . . . Xs-i)m |
[(xsr |
+ (xs+l)'"} |
= |
(x, x2 |
. . . *,_,)« X |
|
x |
|
X |
2rm |
cos m-f , |
|
|
|
система равенств (2.18) имеет вид: Л, = - д ; ( 1 + «,) ;
Л, . ; |
= » ( * , . . . |
*,_,)'* |
(1 + «5-і) ; |
|
|
|||
|
Л5 |
= |
|
. . . |
. і)" 2/"" (cos mv + |
a,); |
(2.23) |
|
As+l |
= |
(x, |
. . . Xs-i)M |
r-'" (1 4- xs+i) |
; |
|
||
|
Ля |
= |
(x, |
. . .*,_,)» |
г2 » ( X , T 2 . . . |
, |
|
|
где |
( / = 1 , 2, ... , n) — те величины, которыми можно было |
|||||||
пренебречь в случае действительных корней. |
кроме as, |
|||||||
В данном |
случае |
можно |
пренебречь |
всеми я,, |
||||
так как |
cos |
/гас? может стать как угодно малым. Приближенно |
||||||
полагаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А\ |
• |
yftl |
• |
|
|
|
|
As-i % (xl |
. .• • |
Xs- 0 " ; |
|
|
|
|||
|
As |
= |
(*1 |
• .•. |
xs- i)'n |
2rm (cos' /гас? + |
aJ ; |
(2.24) |
As+i |
% (x( |
. . . xs.:)m r-'"1 ; |
|
|
||||
Ап = ( * ! • . • • xs-:
Все коэффициенты, кроме As, как и в предыдущем случае остаются положительными, а по достижении необходимой точ ности будут представлять собой квадраты коэффициентов пре дыдущего квадрирования. Но коэффициент As в силу присут ствия в одном из множителей cos /де? будет меняться беспоря-
дочно и по величине, и по знаку. Таким образом, если в процес се квадрирования становится заметным такой меняющий знаки коэффициент, то это является признаком наличия комплексных корней, первый из которых совпадает по номеру с «беспоря дочным» коэффициентом.
Из системы (2.24) получаем
I хх: = л, |
X s |
- l \ = |
А.,. |
|
|
|
|
|
|
, - ( ^ ) f c |
, . , K . . ( ^ ) - . |
< ш |
||
Определив из данного уравнения (2.15) знаки действитель ных корней, находим аргумент <? с помощью теоремы Виета:
— at = У xt = х, + ...-т-xs -i + 2r cos ! ? + ^ + 2 + ...-г^л - (2.26)
Из уравнения (2.26) иногда удобнее определять не 'f, а дей ствительную часть комплексных корней:
и = г cos ? = — y (al+xl + ...-\-xs-i+xs+2+--+xn) |
. (2.27) |
Тогда мнимая часть определяется через г и и:
v = Y~r3^~u?, |
(2.28) |
и окончательно имеем:
Xs,s+\ — U ± VI .
5. Образец выполнения лабораторной работы. Найти корни уравнения х3+2х2+ \0х—75 = 0 с точностью до четвертого де сятичного знака.
Для наглядности и в силу заданной точности |
вычисления |
|
будем вести, записывая |
числа с пятью значащими цифрами. |
|
Результаты вычислений |
удобно располагать в |
специальной |
табл: 2.4. |
|
|
Таблицу заполняем, пользуясь правилом образования коэф фициентов квадрированного уравнения.
К |
„к |
|
К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т Ы |
при |
|||
|
|
|
|
|
|
||
2 |
X і |
X 2 |
|
X. |
|
||
|
|
|
|||||
0 |
4 |
4 |
2 |
|
4 0 |
|
|
|
|
і |
|
|
Ю г = 100 |
|
|
|
|
-2-10-1 = |
- 2 0 |
-2-2-675)= 300 |
|||
і |
2 |
і |
- і б |
|
400 |
|
|
|
|
|
С - 1 6 ) 2 = |
255 |
(4Q0)2 = (60 000 |
||
|
|
|
-2-і .400 = -800 |
C-2)C-1fe)-5625 |
|||
с |
4 |
і |
-5,44 |
|
|
|
|
|
|
|
С-54«Ог295940 |
СУмоч Эг |
|
||
ъ |
|
|
|
|
-2-(-544>i,1fe4MO |
||
8 |
і |
- 3,8406- -І05 |
і , 4 8 9 і |
• 10И |
|||
|
|
|
1>4750- |
1 0 м |
2,2175102 1 |
||
|
|
|
- 2 , 9 7 8 5 Ч о " |
7,6899 • Юг° |
|||
т |
16 |
1 |
|
|
2,2944 |
• |
<0 2 2 |
|
|
|
2,2597- |
1 0 2 г |
5,2644 |
• |
ю**; |
|
|
|
-4,5888 • 1 0 й |
3, ОіЬ2 • 104 ' |
|||
5 |
_32 |
1 |
- 2 , 2 2 9 М 0 " |
5,2674 |
• |
ЮЧН |
|
|
|
|
|
|
2, 7745 • |
t o 8 9 |
|
|
|
|
-1,0557 MO''5 |
4 ,4785 • (0 8 г |
|||
6 |
64 |
1 |
-5,5657- ІО^ |
2, 774 5 • <о8 9 |
|||
СЬ О Є О А Н ЫЙ
ЧЛ Е Н
-7 5
С-75)* = = 5625
5625
(562 5 ) 2 = = 5, {641107
5,4641- Ю7
і , 00U - 10
•
<,0022- Ю*
1,0045 • 10f e o
' і, 0089 - іО, 2 °
Сделав шестое преобразование,' замечаем, что коэффициен ты при х3, х и свободный член являются (в пределах заданной точности) квадратами предыдущих коэффициентов. Поэтому процесс квадрирования прекращаем.
Коэффициент при х2 ведет себя «беспорядочно», т. е. не яв ляется всегда положительным и в последнем преобразовании не равен квадрату предыдущего коэффициента. Следователь но, данное уравнение имеет два комплексных корня, а именно
х\ и х%, так как о их наличии дал знать коэффициент |
А\. |
||
С помощью формул (2.24) получаем: |
|
|
|
А0 |
, |
^ |
^ |
А0 |
|
|
|
так как Л п = 1: |
|
|
|
А
А,
откуда при /?2 = 64,
r i 28 = 2,7745 • Ю 8 9
Логарифмируя, находил} г = 4,9976.
*3 |
1.0089 • 10'-° |
= з,бЗбі • 1о»о, |
г = о , - ; ; / т™.8 |
||
|
2,7745 • 10 » |
|
откуда | х3; =3,0002.
Подставляя поочередно в уравнение +3,0002 и —3,0002, определяем знак #з: #з = 3,000 (в пределах заданной точности).
По формулам (2.27) и (2.28) находим действительную и мнимую части комплексных корней:
и = ~ ( - а, — х3) = - 1 - ( - 2 - 3,0002) = - 2,5001 ;
v = V г2 - и'- = У" 4,9976'- — 2.50012 = 4,3281 .
Результат:
#1 = —2,500 + 4,328/;
х2 = —2,500—4,328/; #з = 3,000.
54 |
v |
Г л а в а |
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
'* |
||||
МЕТОДОМ ЖОРДАНОВЫХ ИСКЛЮЧЕНИЙ |
|
||||
Требуется решить систему т линейных уравнений с п неиз |
|||||
вестными: |
|
|
|
|
|
|
|
У , - £ |
a n * s = 0 . |
г = 1, 2 , . . . , т |
(3.1) |
|
|
.9=1 |
|
|
|
или в развернутом |
виде |
|
|
||
Уі |
Xj |
Х-г |
• • • |
. . . Хп С1\п |
^= 0 , |
Уr |
— Xj |
— |
С1Г2 — • • • |
Xs |
. . . — Xn |
drn |
^ Qf c i |
|
Ут |
x l атІ |
Х1 |
Яті |
• • • |
X s ams |
• • • Xn |
a m n ~ |
0. • |
В этой главе будет описан способ решения системы, назы |
||||||||
ваемый методом жордановых |
исключений. |
|
|
|||||
§ 3.1. ШАГ Ж О Р Д А Н О В Ы Х |
И С К Л Ю Ч Е Н И Й |
|
|
|
||||
1. Систему |
(3.1) записывают в виде табл. 3.1. |
|
|
|||||
Определение. Шагом жордановых исключений, произведен ным над табл. 3.1, называют операцию разрешения одного из уравнений, например г-го по счету, относительно одного из не известных, например xs, подстановки этого неизвестного во все остальные уравнения системы и затем получение системы в ви де новой таблицы, аналогичной первой.
- л , 3-s • •
0 =
|
|
% |
|
|
|
|
|
• • |
a<s |
• |
|
|
|
|
|
|
|
||||
% * 1 |
1 1 |
* |
• |
• |
« |
t |
t t |
|
l i t |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
|
|
* |
t |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
» |
» |
« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 = |
|
|
|
|
|
|
• |
- |
- |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Уm |
||
|
„ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, из уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
У г |
x l а г 1 |
х 2 а г 2 |
|
• • v *~ x s a r s — • • • |
|
Хп |
й г а |
= 0 |
|||||||||||||
при условии |
arf Ф 0 |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
xs |
= |
ars |
|
.( — х1 |
аг1 |
— х-, ап |
|
— . . . — xs-\ ar,s |
і — |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— Xs-i-i a,, |
s |
і |
- |
• |
• • |
— |
xn |
arn |
|
+ |
1 |
• yr) . |
|
|
|||||
После подстановки значения xs |
в i-e |
уравнение |
имеем |
||||||||||||||||||
(должно быть |
і •= г): |
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
._, |
||||||
О = - 7 — |
[ - |
* i («и |
|
|
- |
a r i a J s ) |
— |
*2 |
( a |
/ 2 ars |
- |
a , 2 |
a,.,) — |
||||||||
- . . . - xj (au |
ars |
-r- arj |
als) |
|
- . . . — xn |
{aln |
ars |
|
- arn |
als) + |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
ІУі <*rs |
- |
y, ais)\ |
, |
|
|
|
, |
|
|
|||||
где j Ф s . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введя |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= flJ/ fl« — arj ais > |
Й ' . " + 1 — У і Й « ~ Угais . |
|
|
||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = — |
— |
( — jcjftj! |
- |
|
x2bi2 |
- ... |
- |
|
|
- ... |
- |
xnbin |
+ |
blt„ + i). |
|||||||
Тогда система (3.1) |
перейдет в систему, которую можно за |
писать в виде табл. 3.2 |
(где і ф г, j Ф s). |
|
Таблица 3.2 |
0 -
0 =
|
«... • |
|
|
І |
ft, |
ft,*-/ |
• ftn |
R |
|
ft, |
ft,. • |
ft,*-/ |
ft,™ • • 4. |
П 1-І |
: а
|
Q с |
. • |
|
|
• |
|
|
0 = в |
£ |
. m n |
Є |
|
|
|
т,П1-1 |
где общая операция деления на ars выделена отдельно.
Описанная операция перехода от табл. 3.1 к табл. 3.2 и есть шаг жордановых исключений с разрешающим элементом ars. Этот шаг можно сформулировать в виде следующих четырех правил:
1. В новой табл. 3.2 столбцов на один меньше, чем в исход ной табл. 3.1, а именно, нет столбца с коэффициентами при не известном xs.
2. Элементы/-й разрешающей строки не изменяются, но от сутствует разрешающий элемент ars.
3. «Обыкновенные» элементы b{j (іФг, j Ф s), т. е. эле менты, не принадлежащие разрешающей строке, вычисляются по формуле
|
|
|
|
|
(3.2) |
4. Все элементы новой таблицы делятся на |
разрешающий |
||||
элемент ars (что' в табл. 3.2 |
изображено |
символически делени |
|||
ем всей таблицы на |
ars). |
|
|
|
|
Замечание. Практически |
запомнить |
формулу |
подсчета b{j |
||
при |
разрешающем |
элементе ars лучше, если |
рассмотреть |
||
табл. |
3.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
а „ |
. . . |
a |
* |
• • • |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
* і * |
* і |
|
|
... |
• • * |
« 1 * |
0 = |
а „ |
• • • |
a |
* |
|
i t ' . . . |
|
( * 1 |
|
|
t і * |
>< |
і і \ |
||
0 = а „ |
• • • |
t i « |
i l l |
••• |
a« |
||
|
< • • |
. і . |
• і . |
> • • |
|||
0 = |
ami |
... |
a,, |
... |
• ' • |
a m „ |
|
Пример 3.1. Произвести один шаг жордановых исключений с разрешающими второй строкой и вторым столбцом над си стемой
1 — 3*, - 2х2 = 0
2 — - 4х2 = 0
З - ЗХІ — Зх* — х3 = 0
ирезультат записать в виде системы.
Ре ш е н и е . Запишем систему в виде табл. 3.4.
Таблица 3.4
|
|
г |
|
/ |
|
J |
' 0 |
1 |
|
0 = |
/ |
ч |
0 |
г |
0 = |
т |
3 |
/ |
3 |
1
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я » '— а,3 |
= 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
<7И |
а.п |
— а.п а,.. |
3 |
• 4 |
1 • 2 |
= |
|||
Ап — avi |
0-22 |
— я,., а,,. |
0 |
- 4 - -0 |
2 = 0 |
; |
|
||
*81 = |
|
|
|
= 3 |
- 4 - -1 •3 - 9 |
; |
|
||
= |
|
$93 ^*32 |
г- 1-4- -0 |
3 - 4 ; |
|
|
|||
й1 4 = У і а 2 2 "— у, а 1 2 |
== 1 •4 - 2 •2 = 0 |
||||||||
^34 = Уз |
а22~ " У З а32 |
= |
3 • 4 |
- 2, |
3 = |
|
6. |
||
то в данном примере |
табл. 3.2 |
примет |
вид табл. |
3.5 или 3.6. |
|||||
|
Таблица .3.5 |
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
/ |
|
|
|
1 |
|
|
0 = |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
||
0 = |
10 |
О |
0 |
|
|
|
/ |
0 |
|
|
|
|
г |
|
|
|
г |
||
X = |
1 |
0 |
|
|
|
Ч |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
0= |
9 |
Ч |
6 |
|
|
|
9 |
/' |
J |
|
|
|
Ч |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 3.6 представляет собой запись системы |
|
|
|||||||
|
|
0 = і • о — *, - j - - |
ч |
0 , |
|
|
|||
|
|
хг |
- і . |
1 |
1 |
|
• 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 = |
1 |
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
|
х |
|
|
|
X., |
|
1 |
4 х і ' |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
3 |
9 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
||
2. Решение системы |
(3.1) |
заключается в получении число |
||||
вых значений xs, |
удовлетворяющих |
системе. Решить |
систему |
|||
(3.1) можно, применяя |
последовательно шаги жордановых ис |
|||||
ключений, т. е. |
переводя |
последовательно все |
значения |
|||
xs (s= 1, 2, ... , п) |
в крайний |
левый |
столбец табл. 3.2. |
|
||
Однако надо еще раз подчеркнуть, что операция перевода значения х9 в r-ю строку крайнего левого столбца возможна лишь в случае ars ф 0,
Шаги жордановых исключений можно применять до тех пор, пока в левый столбец не перейдут все элементы xs, или по ка нельзя будет перевести какие-то элементы xs в левый стол бец потому, что соответствующие разрешающие элементы рав ны нулю. Последний случай соответствует либо несовместности системы, либо наличию бесконечного множества решений.
Возможные случаи решения системы (3.1) рассмотрим на примерах в следующем параграфе.
§ 3.2. Р Е Ш Е Н И Е С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х |
У Р А В Н Е Н И Й |
||||||
1. Система имеет единственное |
решение. |
||||||
Пример 3.2. Решить |
систему |
|
|
|
|
||
|
4 — 2х1 — 2х2 |
+ х3 |
|
— #4 |
= 0 , |
||
6 — 4#! |
— Зх2 |
+ |
x-i |
— |
2х4 |
=» 0 |
|
12 |
- 8Х[ —- 5х., + |
Зх3 |
— 4х4 |
= 0 , |
|||
6 |
- 3xt |
- Зх2 +- 2х3 |
- 2*4 |
= 0 . |
|||