книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

Уі — х — 0,1 Xі

и уз = * - 0,1 х- + 0,5 е-*-* 3,2 .

X

X

?і (х) = \- У і dx

и <?, (х) = І" у,

dx .

о

6

'

Аналогично, так как

у

w

~ ~ tfx ~~

rf*

dx

h

dt

TO

'

A2>'o +

— 1) Ая Уо 'і

, 6 ^ - 1 8 / 4 - 1 1

A 4

Уо + • • •

(6.7)

4

ід

*

Таким

же способом

вычисляют

производные

любого по­

рядка.

Иногда

требуется

находить производные функции

y=f(x)

в основных табличных точках

xt. В зтом случае формулы чис­

ленного

дифференцирования

упрощают.

Поскольку

каждое

табличное

значение

можно

считать за начальное, то положив

х = Хо, t = 0, получаем

я * ) ~ т

U, _ ^

+

_ ^

+ * д

.( 6 . S )

/ " Ы

-^г^'у'о

-

А»у„

+

- f j - А ' у , -

- І - А : % + ...) . (6.9)

вость для полинома

г/ = х3 —2х—5, вычислив

у'

и у"

в точке

х= \ по формулам

(6.8) и

(6.9).

Р е ш е н

не. Составим таблицу разностей 6.1.

Таблица 6.1

<>

V.

Ду

Д г у

ДЗу

Д<\'

1

- 6

5

2

- 1

12

17

3

16

"18

35

4

51

24

59^

5

110

Получаем

У'(1) = ~ ( А у „

о

Т~

о

12

, 6

1 ,

у "

(1) =

~

(А-

у а -

Д * у 0 )

= 12

-

6

-

6 .

Пример

6.2.

Найти у ' (50)

функции

г/ =

lg х,

заданной

табл. 6.2.

Таблица 6.2

X

50

55

£0

65

У

1,6990

1,7404

1,7782

1,8129

Таблица 6.3

X

У

Ду

Д г у

50

1,6990

414

55

1,7404

- 3 6

378

6

60

1,7782

347

- 3 1

65

1,8129

у' (50) % 4- 0,0414 — А ( - 0,0036) - f 4j- 0,0005

0,0087.

У =

X

X

У' (50)

0,43429

0,0087

50

=

"

У І

1

Р„ (X) = II (X) V

~,Ц

X

Li

И ' ( Х Л

d

Рп

(х) « П' (х) \

У І

dx

£ 0

U'(*i){x

— Xi)

Ус

(х -

X , ) 2 И' ( X l )

Рп

(х)

= IT (Xj)

V

Уі

dx

{Xj - x.flY

(Xi)

£ J

УІ

+

i-0

(Xj

- X,)* П' ( X [ )

+ (X

W(x)y,

П

(x)y0

-

Xj) IT {XJ)

(-X

-

Xj)- 11'

(Xj)

Так

как

II

(xj)

=

0

и

(*, — x,y-

Н' (*,)

ф

О

при

і

ф

j ,

то вторая сумма обращается в нуль.

Разность в

квадратных,

скобках при х

=

Xj представляет собой неопределенность. Что­

бы ее раскрыть, напомним, что

1Г (х)

=

£

(х

-

х0)

(х

- X l ) .

. .

(х

-

X

/ = 0

X

{х — хі+і)

. . . (х

-

ха)

,

тогда

I I '

(х)

=

V

1 1

{ х

) -

=

п(х)

У

-

X

—

ХІ

у

'

Li

х

—

X,

'

<-i

В связи с этим имеем:

И'(х) Ус

П(х)

у,

(X~Xj)

R'(Xj)

( Х - Х , ) Ч 1 '

(Xj)

У у _

1Г (x)

I I

(х)

,,

П'

(*,)

X

— ху)'-

~

П'

(xj)

X

—

Xj

(х

X

(х

-

х,.)--

_

_._>7.

у

П'(х,.)

І - 0

X

— X,-

( =

0

X

(х -

Ху)2

X

—

X :

Т П * У

{

X j ~ X n )

{ X j " ~ X l )

• ' '

( x

J ~ X j - l )

(xj-xi+0-(Xj-Xn)

X

"

1

"

1

R ' „ U . ) - - t ^ - 4 ^ f

•

(6.12,

т. е. погрешность формулы

(6.8) равна

величине того

добавоч­

ного члена, который

отличает

Р'пп(хо)

от

Р'п(х(1),

как в оценке погрешности интерполяционного полинома

Нью­

тона, на основании

которого и получена формула

(6.8).

Аналогично может быть найдена погрешность

R"п (х0 ) для

иторой производной

f"(Xo).

Для подсчета f'(x)

в узлах интерполяции

формула

(6.8)

проще, чем (6.10), однако преимущество формулы

(6.10)

втом,,

1 го она годится

и для неравноотстоящих

узлов. При этом по­

грешность формулы

(6.10)

оценивается по формуле

(6.11).

В случае применения формулы (6.10)

к

равноотстоящим

узлам

формула

(6.11)

упростится. Так как х-,; і — х;

= п, то

(Xj -

Х{)) (Xj —

X , )

. •. . (Xj — Xj-i) (Xj — Xj: і) . . . (Xj —

x„) =

= h«j ( / - I ) . . . 1 (~1 ) . . . [ - (n-j)]

=

(-

\)»-ih»j

!

(n-j)l

для точек хо, Xi=x0

+ h, X2 = x0 + 2h с оценкой

погрешности.

Р е ш е н и е . Используя условие,

предварительно

вычис­

ляем:

ГГ (х0 ) =

(х( )

- х ( ) (х( ) - х,) =

( _ АХ ( - 2А) -

2А2 ,

1Г (х,) = (х{

— х0 ) (х, — х.,)

=

— Л2

,

I I ' (х,) =

(х3

— х0 ) (х., — X j ) =

2Л- ,