книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие
.pdfПодставляя'эти |
выражения |
в формулу |
(5.10), пoлy^[ae^f |
||||
Р, (х) fc, Р. (ха + |
til) |
= у, |
+ |
/Ду„ + - ^ |
7 — |
42У« + • • • + . |
|
+ - , |
« - » - к |
\ , |
- к |
± » - » у , + |
. . . + |
||
+ |
' " - " • • J f |
- 1 + - 1 L 4 . y „ , |
( 5 , 2 ) |
Формулу (5.12) называют первой интерполяционной фор мулой Ньютона, где t вычисляется по формуле (5.11). Форму лу (5.12) выгодно использовать для интерполирования функции в окрестности начального значения х0, где t мало по'абсолютной величине.
Если в формуле (5.12) положить и = 1, то получим формулу линейного интерполирования:
|
Рі(х) |
= Уо + |
"Уо • |
|
(5.13) |
|
При п = 2 получаем формулу параболического вдш квадра |
||||||
тичного интерполирования: |
|
|
|
|
||
Р, |
(х) = ><„ + |
а У о |
+ |
t ( t ~ 1 } tfy„ . |
|
(5.14) |
Пример 5.7. В приведенной ниже таблице даны |
значения |
|||||
интеграла вероятностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Р |
|
|
|
|
|
V |
г. ] |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Применяя формулу (5.12), приближенно найти Ф |
(1',43). |
|||||
Р е ш е н и е . |
Дополняем |
заданную таблицу |
разностями |
|||
функции до третьего порядка |
включительно. При этом, чтобы |
|||||
в записи избавиться от десятичных нулей, значения |
разностей |
|||||
умножаем на 104 (табл. 5.9). |
|
|
|
|
За Хо принимаем ближайшее табличное значение к искомо му значению х =1,43, т. е. полагаем л:0 =1,4. Так как h = 0,1, то
1 , 4 3 - М _ _
1 |
o.i |
~ |
Подставляя / в формулу |
(5.12), получаем |
|
|
||||||||
Ф (1,43) |
0,9523. + 0,3 • 0,0138 + |
° ' 3 |
( |
^ ~ |
1 } (-0,0036) 4- |
||||||
+ |
Q . 3 ( 0 , 3 - 1 ) ( 0 , 3 - j ) . 0 0 0 0 9 |
= |
0 |
9 5 б 8 6 |
^ 0 9 5 6 g |
|
|||||
|
|
|
|
о ! |
|
|
|
|
|
|
|
(Табличное значение Ф |
(1,43) =0,9569). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.9 |
|
|
|
|
|
X |
У |
Ду |
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
0,8427 |
375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8802 |
|
— 74 |
|
|
|
||
|
|
|
1,1 |
301 |
|
|
10 |
|
|||
|
|
|
1,2 |
0,9103 |
|
- |
64 |
|
|
||
|
|
|
237 |
|
|
10 |
|
||||
|
|
|
1,3 |
0,9340 |
|
- |
54 |
|
|
||
|
|
|
183 |
|
|
9 |
|
||||
|
|
|
1,4 |
0,9523 |
|
- |
45 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
138 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
1,5 |
0,9661 |
|
|
- |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
/ |
1,6 |
0,9763 |
|
|
— 27 |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
0,9838 |
75 |
|
— 22 |
' |
5 |
|
|
|
|
|
1,7 |
53 |
|
|
6 |
|
|||
|
|
|
1,8 |
0,9891 |
|
— |
16 |
|
|
||
|
|
|
37 |
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
0,9928 |
|
— |
12 |
|
|
||
|
|
|
1,9 |
25 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2,0 |
0,9953 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
§ 5.5. |
ВТОРАЯ |
И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н А Я Ф О Р М У Л А |
Н Ь Ю Т О Н А |
|
|||||||
Поскольку при интерполировании вблизи конца таблицы в |
|||||||||||
формуле (5.І2) |
/ не мало, то формула |
(5.12) |
в этом |
случае |
|||||||
практически |
неудобна. И при интерполировании вблизи |
конца |
|||||||||
таблицы применяют вторую интерполяционную формулу Нью |
|||||||||||
тона. Дл я ее получения запишем |
полином (5.1) в виде: |
|
|||||||||
|
Рп (х) |
= |
а0 |
+ а, (* — х„) -f |
а2 (* - |
х„) (х — *„_,) -}- . |
|||||
|
+ |
аь (х —-х„) (х — x„-i) |
(х — х„-.2) •+ . . • + |
|
|||||||
|
|
|
+ |
а„ (х — хп) (х — ха-х) |
. . . (х — хх) . |
(5.15) |
Коэффициенты будем искать из условия |
(5.3). |
|
|
Положив в (5.15) х = хп, |
имеем у„ = а0 , |
при х=.х„-\ |
по |
лучаем |
|
|
|
У „ - 1 = УпЛ |
«і (Хп-1 — хп) |
, |
|
откуда |
|
|
|
При |
х — х„-2 |
из |
(5.1) |
имеем |
, |
|
|
|
|
|
|
||||
Уп-2 - |
>'„ + |
— |
~ |
|
(Хп-2 |
~ |
*„) "Г Я 2 |
( # „ - 2 |
- |
* я ) |
X |
||||
|
|
|
|
|
X ( * л - 2 |
— * л - і ) |
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у„_2 = у„ |
+ |
У ^ - У " - ' |
( - |
|
2А) |
+ а ; |
( - |
2А) ( - |
|
h) , |
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
__ |
Ул — 2ул _1 + |
ул _2 |
|
A-j/„_2 |
|
|
|
|||||
|
|
С* о —- |
' |
2 ! h- |
|
|
|
2 ! А2 |
|
|
|
||||
Применяя метод математической |
индукции, |
получаем |
|
||||||||||||
|
|
а — А* Уп~~к |
|
k = О 1 9 |
|
|
я |
|
|
|
|||||
|
|
* ~ |
А ! /г* ' |
|
|
|
|
' ' ' |
' ' |
' |
|
|
|
||
|
Подставляя |
эти значения |
в формулу (5.15), |
находим |
|
||||||||||
Рп |
00 = Уп + |
^ т у - |
(х - |
*„) |
+ |
" з Н ж " |
{ |
х - |
*"} |
х |
|||||
X |
(X - |
Xn-l) |
+ |
— ^ T > 3 ~ |
(* - |
*„) С* - |
' « - О |
(X ~ |
Хп-2) + |
||||||
|
|
+ - - - + - * ^ ( * - * » ) • • • ( * - * • ) • |
|
|
( 5 , 1 G ) |
Формула (5Л6) называется второй интерполяционной фор мулой Ньютона. Для применения этой формулы в более удоб ной записи в нее вводят новую переменную t по формуле
(5.17)
тогда |
|
|
|
|
|
х ~ |
_ |
х - ха |
+ h _ |
х - * я _ 2 |
, |
А |
|
д |
— - f - f - І , |
^- |
- f t - ! |
и т. д.
Подставляя эти значения в (5.16), получаем
РпЛх) |
= |
Уп + |
аз»»..! + |
- |
^ |
Г |
^ |
д'"' >'»-2 |
+ |
|
+ . . . + |
і т и ± 2 |
І А . Л . |
+ |
. . . + |
|
|||||
+ |
< |
( і ± |
1 ^ |
^ 1 |
^ |
1 |
, . |
У и |
. |
(5.18) |
Вторую интерполяционную формулу Ньютона для практи ческих вычислений применяют в форме (5.18).
Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции у для значе ний аргумента х, лежащих вне пределов таблицы, т. е. когда х є [х0; хп]. Тогда при хе [ху ; хп] замена функции полиномом называется интерполированием в узком смысле, а под терми ном интерполирование понимают обе операции.
Если х<Х2 и х близко к Хо, то для экстраполирования вы-
• годно применять первую интерполяционную формулу Ньютона
(5.12), так как тогда t= |
^—°- мало, причем |
^<0. |
||||||
Если |
же |
х > х 0 |
и х близко к х„, |
то удобнее |
пользоваться |
|||
второй |
интерполяционной |
формулой |
Ньютона (5.18), так как |
|||||
тогда |
t |
— |
X •—- X |
мало, причем г*>0. |
|
|||
|
г—— |
|
||||||
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньюто на обычно используется для интерполирования вперед и экс-
•траполирования назад, а вторая — для интерполирования на зад и экстраполирования вперед.
Однако операция экстраполирования менее точна, чем опе рация интерполирования в узком смысле.
Замечание. При интерполировании в середине таблицы применяют формулу Бесселя (фактически она тоже принадле жит Ньютону), которая, например, при п — Ъ имеет вид:
|
t { t - |
\ ) \ |
t - |
\ |
|
|
З ! |
|
|
где |
|
|
|
|
/ = |
(Л, (**) |
= |
Ум, ' k = Q, 1, 2, 3) . |
|
Эта формула |
обычно |
применяется на интервале (JCI; л:2)}. |
где 0 < г < 1 , и особенно удобной она оказывается при интерпо ляции на середину, т. е. при вычислении значения функции в средней точке
|
' |
|
X |
— Хх |
-j- |
|
(t |
= |
|
|
|
|
|
При этом формула |
имеет |
• вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р з { Х і + т ) = 3 , 1 + т A-Vi ~ ~ п г { Д 2 У о + д г У і ) |
|||||||||||||
§ 5.6. О Ц Е Н К И П О Г Р Е Ш Н О С Т И |
И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н Ы Х |
|
|
||||||||||
Ф О Р М У Л Л А Г Р А Н Ж А И Н Ь Ю Т О Н А |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Возникает вопрос, насколько близко построенный полином |
|||||||||||||
Рп (х) |
приближается |
к функции f(x), |
т. е. как велик |
остаточ |
|||||||||
ный член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• * „ ( * ) = / ( * ) - Л , М - |
/ |
|
|
|
|||||||
Решим задачу |
в предположении, что на отрезке |
[а; Ь]. со |
|||||||||||
держащем узлы интерполяции в точках х0, хи |
х2,... |
,х„, функ |
|||||||||||
ция f(x) |
имеет все производные до |
(п + 1)-го порядка |
включи |
||||||||||
тельно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для решения задачи введем в рассмотрение вспомогатель |
|||||||||||||
ную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
и |
(х) |
= / |
(х) |
- |
Рп |
(х) |
- |
*ttn+l |
(х) |
, |
|
(5.19) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П„., |
(х) |
= |
(х - |
х0) |
(х |
- |
*,) . . . (х |
- |
хп) |
, |
(5.20) |
а — не определенный пока постоянный коэффициент.
Поскольку
/ (xk) = Рп (хк) |
и Il„,.i (х) = 0, k = 0, 1, 2 , . . . , п , |
то и (хк) — 0.
Подберем коэффициент * так, чтобы функция и(х) обра щалась в нуль в любой зафиксированной точке q є [a; b), не совпадающей с узлами интерполяции, т. е. пусть
и Ы = / ( т , ) - / 3 я Ы - * 1 1 « + 1 Ы = о,
где т, ф хк . Так как
Пя ..,(т( ) ¥ = 0 ,
то
(5.21)
В результате функций и(х) при,таком значении коэффици-. ента а обращается в нуль на концах каждого из п + 1 отрез ков
[х0 ; |
х,], fx,; |
х,] , , |
. . , |
[х,; т,], |
[т,; |
х<:.,] , . . . , [х„. г, |
х„] . |
|||
Применяя теорему Ролля к каждому |
|
из этих отрезков, |
нахо |
|||||||
дим, что и'(х) |
имеет |
не менее п+ |
1 корня на [а; Ь]. Применив |
|||||||
теорему Ролля уже к производной и'(х), |
можем убедиться, что |
|||||||||
а"(х) |
обращается в нуль не менее п |
раз на [а; Ь). Таким |
обра |
|||||||
зом, |
на [а; Ь] производная uSn{ 1 1 (х) |
имеет |
хотя |
бы один ко |
||||||
рень |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м ( « : і ) ( Р ) = 0 . |
|
|
|
|
|||
. Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p<n+i>( J C ) = |
о |
и |
(х) |
= |
(п |
+ 1) |
! • |
|
то получаем
иі*--П(х) = /<"+" (х) — а (« + 1) ! .
При х = с из последнего равенства имеем
0 |
+ » (5) |
- « |
( я + |
1) ! . |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
* |
( « 4 |
1 ) ! |
К |
' |
ч
ГІз формул |
(5.21) и (5.22) получаем |
|
|||
|
|
f(t,)-Pn(*,) |
|
/("М)(;) |
|
|
|
ГТ,1 + і (ТІ) |
|
( « + ! ) ! |
|
или |
|
|
|
|
|
- Rn |
Ы = / Ы - Рп Ы = ^ Г 4 - т у т І Т " • 1 ( ї , ) • |
( 5 ' 2 3 ) |
|||
Выбираем |
т, произвольно, но не совпадающим с узлами ин |
||||
терполяции. Поскольку* для узлов |
интерполяции /?Я (Л'А )==0 и |
||||
11„ і (xk) |
= 0, |
то формула |
(5.23) |
справедлива для всех точек |
|
отрезка |
[а; Ь], т. е. формулу |
(5.23) |
можно записать |
в виде |
Итак, оценка остаточного члена Rn (х) интерполяционных
,полиномов Лагранжа и Ньютона производится по формуле (5.24), где П„.\(х) задается формулой (5.20).
Поскольку £ является корнем на [а; Ь] производной и.("~1)(х), который бывает очень трудно найти, то для более простого рас
чета. Rn |
(х) вводят величину |
|
|
|
|
МП:Л |
= шах |
(ж) | , |
|
|
|
х б [а; |
Ь\ |
|
и тогда |
из (5.24) получаем |
|
|
|
/ |
|
( / м ) г j И " + | f x ) ; ' |
( 5 - 2 5 ) |
Пример 5.8. В условиях примера 5.1 найти 1пЗ,5 и оценить погрешность.
Р е ш е н и е . Из выражения для Рг{х) в примере 5.1 нахо дим 1пЗ,5^Рз(3,5) = 1,2552. Для оценки погрешности заметим, что
тогда |
|
|
3 . |
М4 |
= max |/'V(*)|:=-"і;-- |
||
|
.і' € (2; 5] |
/ |
О |
и. следовательно, |
|
|
|
! R3 (3, 5) | |
| - • J - 5 |
• 0.5 • 0,5 • 1,5_ = |
0 ) Ш 8 8 < 0 ) 0 0 9 |
Для оценки погрешности полинома Лагранжа применяют формулу (5.25), а так как в полиномах Ньютона узлы интерпо лирования равноотстоящие, то формулу (5.24) в этом случае можно представить в более удобной форме. А именно, приме няя формулу (5.11), получаем
X |
~~~ |
|
til |
) |
|
|
|
|
|
|
х |
— xv |
= |
х |
— |
(ха |
+ h)) = |
h (t |
— |
1) |
; |
х |
— |
= |
x |
— |
(x0 |
4- 2A) = |
h(t |
- |
2) |
; |
A: — х л |
= |
д: —• (хи |
-+- «Л) = |
h (t |
~ |
п) |
\ |
1I„+ 1 (*) = |
А"4 1 * ( / — 1) . . . (* - |
/г) . |
|||
Тогда из формулы |
(5.24) |
получаем остаточный член первой |
|||
интерполяционной формулы |
Ньютона |
|
|
||
Rn (*) = А" 1 |
t ( t ~ ( n |
+ i)(\ |
~ |
— /(" |
1 ° ( ^ • • |
Аналогично, сделав в формуле |
(5.24) |
замену л; переменной |
/ но формуле (5.17), получим остаточный член второй интерпо
ляционной формулы Ньютона |
|
|
|
||
* . ( * ) - « » • |
^ У - е * " |
1 |
- ^ - |
||
Па практике очень часто бывает сложно |
оценить произ |
||||
водную |
|
а е с л и аналитическое выражение f(x) не |
|||
известно, |
то и невозможно пользоваться |
двумя последними |
|||
формулами. |
|
|
|
|
|
Обычно при практических |
вычислениях |
интерполяционная |
|||
формула |
Ньютона |
обрывается |
на членах, |
содержащих такие |
разности, которые при заданной точности можно считать по
стоянными. Предполагая, |
что Д ' ! + 1 у |
почти постоянны для |
||
функции y — f{x) и h достаточно |
мало, |
и учитывая формулу |
||
(5.8), приближенно можно положить |
\ |
, |
||
f(n;\) |
А „ + 1 ~ |
Д« + 1 уп |
ш |
Тогда погрешность интерполяции первой формулой Ньюто на оценивается величиной
т. е. абсолютной величиной того добавочного члена, который отличает Р„ц(х) от Рп (х)., Отсюда вытекает следующая практическая рекомендация: в интерполяционной формуле
Ньютона надо удерживать столько членов, чтобы первый от брасываемый член был меньше допустимой погрешности рас чета.
Надо отметить еще, что из (5.26) и неравенства (которое приведем без доказательства)
« ' - " • • • « - » > |
< ^ А ^ т № < « < « ) |
{п + 1) ! |
4 (я + 1) |
можно получить простую, хотя и грубую оценку погрешности интерполяции в виде:
Эта оценка оказывается полезной при выборе степени ин терполяционного многочлена, например, если третьи разности очень малы, то можно ограничиться многочленом второй сте пени, что вполне согласуется с выводами, сделанными в § 3.
Аналогично формуле (5.26) при тех же условиях погреш ность интерполяции второй формулой Ньютона оценивается величиной
I- |
t ( t + \ ) . . . ( t + п) |
^" |
' У п. |
|
|
{п+\)\ |
|
||
Пример 5.9. В примере 5.7 определить |
погрешность ответа |
|||
по формулам (5.26) и (5.27). |
5.7 имеем: п — 3; t = Q,3; |
|||
Р е ш е н и е . |
Из решения примера |
|||
| у У о ; = j 0,0005 - 0,0009 | = |
0,0004 . |
|
||
По формуле |
(5.26) получаем |
|
|
|
Я з 0 . 4 3 ) |
0,3 ( 0 , 3 - 1) (0,3 — 2) (0,3 — 3) |
0,0004 |
||
4 ! |
|
|
||
|
|
|
|
= 0,000016 < 0,00002 . По формуле (5.27) получаем
R 3 (1,43) | < ^ - Ц - • 0,0004 = 0,000025 < 0,00003 .
Более грубая оценка по формуле (5.27) показывает, что в ответе со столькими десятичными знаками, сколько дано в ус ловии, т. е. в ответе 0,9569 — все цифры верные,
98
Это верно и в общем случае, а именно, если максимальные разности практически постоянны, то результат интерполирова ния по формулам Ньютона обыкновенно имеет столько верных десятичных знаков, сколько их есть в табличных данных, и по этому оценка погрешностей не обязательна.
К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы
1.В чем суть задачи интерполирования?
2.Для чего существуют две формы интерполяционного по линома Лагранжа?
3.Получить интерполяционный полином Лагранжа в виде формулы (5.6).
4.Что такое разность «-го порядка? Какими свойствами об ладают разности?
5.Как применяется таблица разностей в вопросе о замене функции полиномом?
6.Когда применяют интерполяционную формулу Ньютона,
гкогда — Лагранжа?
7.Вывести первую интерполяционную формулу Ньютона (5.12).
8.Для чего существуют две интерполяционные формулы Ньютона: (5.12) и (5.18)? Когда применяют первую, а когда — вторую?
9.Что такое экстраполирование функции? По каким форму лам можно производить экстраполяцию?
10.Что такое остаточный член интерполяционных формул Ньютона и Лагранжа?
11.По какой формуле производится оценка остаточного члена интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона?
12.Почему оценку остаточного члена можно упростить для формул Ньютона, и как это делается?
13.По каким формулам оценивают остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона и второй формулы Ньютона?
14.Как по члену формулы Ньютона можно оценить погреш ность расчета? Можно ли по отбрасываемому члену оценивать погрешность обеих формул Ньютона или только первой?
15.Как оценивают погрешность интерполяционных формул Ньютона, если функция задана эмпирически?