книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие
.pdf- Х - + Х - g Г" -24-
= \ - x - r 2 ( ^ r - - £ r ) + ( - 1 ) *
;/4 = 1 — А - ) - А:2 |
х3 |
XІ |
хь |
|
— |
12 |
120 |
|
|
|
|
|
||
2 ! |
З ! 1 |
4 ! / ' v |
' |
5! |
Оценим погрешность четвертого |
приближения: |
|
||
Функция f(x, у) =x—у |
непрерывна на всей плоскости XOY, |
поэтому за а и ft могут быть взяты любые положительные чис ла:
|
R |
{0 < |
х •< а; |
у |
, < |
ft] . |
|
При |
|
(х, |
у) |
є |
/? |
|
|||
/ |
(х, |
у) |
|
•< | х |
— у |
| |
< ! х | 4- |
| у ; |
< |
л |
4- |
ft -= М ; |
|
||||
h — mm |
[а, |
|
• . . |
— min |
а, |
|
—г- |
— |
|
|
-—г- ; |
|
|||||
|
|
\ |
|
М J |
|
х а 4- ft / |
а +- ft |
|
|||||||||
|
|
|
|
Л/ = max |
| / ' у |
(х, |
//) ! |
= |
1 ; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
г, (х) |
< |
(а + |
ft) |
|
• |
|
|
|
|
|
|||
Для случая а — Ъ = 1, |
|
Л = |
™ |
получаем |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
х 5 |
|
^ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
£ 4 W < |
б 0 |
|
< 6 0 . 32 |
|
|
|
1 9 2 и |
|
|
|
|||||
Методом |
математической |
индукции |
легко |
убедиться, |
что |
||||||||||||
.'/., |
1 • |
х |
• |
2 |
2 ! |
|
3 ! |
' ' • • + t |
|
^ |
Л і |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
- М - 1 ) « - |
(л |
+ |
1 ) ! |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г/(х) = |
lim уп |
= |
1 - |
X + |
2 [е - * — (1 |
- |
х)] |
= |
2е~х |
- (1 - |
х). |
В правильности полученного решения убеждаемся, решая точным методом данное линейное дифференциальное уравне ние у' + у = х:
|
|
|
X |
|
х |
|
|
|
|
|
p(x)dx |
j |
P(x)dx |
|
|
У (х) |
- |
б |
х» |
Уо + \ |
Ч (х) еЛ'° |
dx |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
(х) |
= |
1; |
q (х) == X, |
Ху •= 0; |
Уо = |
1. |
Интегриру я, получаем |
|
|
|
||||
У (х) = е х |
1 4 |
• .V |
хех dx = |
е-х 1 + |
хех X |
V |
|
\ |
— ех |
||||||
|
|
|
J |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
[1 4 хех — ех + 1 ] - |
2е~х |
— (1 — х) . |
§ 8.2. М Е Т О Д Р А З Л О Ж Е Н И Я Р Е Ш Е Н И Я |
В С Т Е П Е Н Н О Й Р Я Д |
|
ПО С Т Е П Е Н Я М Н Е З А В И С И М О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й |
|
|
Этот метод можно осуществить в двух |
вариантах: пользу |
ясь разложением общего решения в ряд Тейлора; с помощью
неопределенных коэффициентов и показателей. |
|
' |
|
|||||
Остановимся на первом из них, так как второй излагается в |
||||||||
курсе «Функции |
Бесселя». |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть дано |
дифференциальное |
уравнение |
>г-го |
порядка, |
||||
разрешенное относительно старшей производной: |
|
|
||||||
|
y^=f(x, |
|
у, |
у' , . . . |
|
|
|
(8.5) |
с начальными условиями |
|
|
|
|
|
|
||
у \х-^хп = у0; |
у' |
= |
«/'«;..."; ^ |
!,-,,, = |
# Г 0 |
• |
(8 -6 ) |
|
Если функция f(x, |
у, у',..., |
у{" '>) |
является |
аналитической |
||||
по всем своим аргументам |
в окрестности точки (х0, уо,—, |
#(0"-1))' |
||||||
то существует разложение у(х) |
по степеням (х—Хо) в виде ря |
|||||||
да Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x)=V |
|
J ^ |
L . |
(х- _ Xj* . |
|
|
(8.7) |
Первые п коэффициентов этого ряда известны из началь ных условий:
У{к) (хо) = W , |
1, 2 . . . . . Л - 1 . |
(8.8) |
Для |
определения |
у/"' (х0 ) подставим |
начальные |
данные в |
||||
правую часть (8.5), тогда |
|
|
|
|
|
|
||
|
yW(xo) |
|
0<„ У\>- • • . < |
") • |
(8'-9) |
|||
Последующие коэффициенты |
ряда |
могут |
быть |
найдены с |
||||
помощью последовательного |
дифференцирования |
уравнения |
||||||
(8.5) по х, например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
„ ( « + D = J L - |
+ JL- |
у |
+ ... f |
|
^ |
|
, |
|
дх |
с*// |
у |
' |
г |
д / у ( п |
_ „ ./ |
|
Подставляя в правую часть этого выражения //'" из (8.5), обозначаем полученное выражение через f\(х, у , //,... , у ( " _ , ) ) , тогда
</<"м , (*о) = / i (*о. Уо. .'/о , • • • , //о" ") •
Продолжая процесс дифференцирования, получаем любой коэффициент ряда в виде:
^ i - ) ( x 0 ) = / f f l ( * 0 , |
/ о , . . .,#<'-'>) , |
(8.11) |
где
+ • • • + " Ц 1 й г . ' / " ; " Ь < S ' , 2 >
Общая оценка погрешности метода здесь отсутствует, одна ко очевидно, что его применение практически имеет смысл для
достаточно малых ( х — Х о ) . |
|
|
|
|
|
||
Пример 8.2. Написать несколько членов-разложения |
в сте |
||||||
пенной ряд решения у = у(х) уравнения |
|
|
|||||
|
у" |
+ ху' + у = |
0, |
|
|
||
удовлетворяющего начальным |
условиям |
|
|
||||
|
У |,=о = |
0, |
у' | . v = 0 |
= 1 • |
|
|
|
Р е ш е н и е . Разрешим |
уравнение |
относительно |
старшей |
||||
производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= |
— x y ' - y |
|
|
(8.13) |
|
и представим |
решение в виде |
ряда: |
|
|
|
||
у(х) = у(0) |
+ у'(0)х |
+ J |
~ f L x 1 4 . |
JtM-x-'.. |
. |
(8.14) |
142*
Из начальных условий имеем ;/(£)) = 0 |
и //(0) =-1 и из урав |
|||||||||
нения получаем |
у" |
|
- у (0) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(0) = |
= 0 . |
|
|
||
Чтобы определить последующие коэффициенты ряда, диф |
||||||||||
ференцируем уравнение (8.13): |
|
|
|
|||||||
у"' |
= |
- |
|
Ху" |
— 2у', |
откуда |
у"' |
(0) - |
— 2 ; |
|
//'V |
^ |
_ |
|
|
_ |
3 / , |
откуда |
i / l v |
(0) = |
0 ; |
y v = |
|
_ |
д-yiv |
_ |
4 ^ |
откуда |
y v |
(0) = |
8 , . . . |
|
Подставляя |
найденные коэффициенты |
в (8.14), получаем |
||||||||
|
|
У |
[х) |
|
XЯ |
х" |
|
|
||
|
|
|
|
3 |
15 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 8.3. Ч И С Л Е Н Н Ы Е М Е Т О Д Ы |
|
|
|
|
||||||
Постановка задачи. Рассмотрим |
уравнение |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dy |
/(*. |
У) |
|
(8.15) |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с начальными |
условиями |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
У |
Уо |
|
(8.16) |
|
Пусть |
у = |
у(х) |
|
точное |
решение (интегральная кривая) |
|||||
этой задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
У,
Х0 |
ОС j |
Рис. 8.1
Задача численного решения состоит в том, чтобы в задан ных точках Хо, X],..., хп,... найти значения у0, уи ..., уп
являющиеся некоторыми приближениями точных " значений у{хк) (рис. 8.1).
Интервалы ^xk = хк+і |
— xk |
чаще всего выбираются рав |
||||
ными, в этом случае число |
/г = |
Ахк |
называется шагом |
табли |
||
цы. Все численные методы сводятся к последовательному |
опре |
|||||
делению |
приближенных |
значений |
ук |
(k = \, 2, ... , «, ... ) по |
||
формуле |
J |
|
|
|
|
|
|
У*+і = Ук 4- Ьук |
, |
(8.17) |
т. е. задача сводится к последовательному вычислению вели
чин |
\ук. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 8.4. М Е Т О Д Э Й Л Е Р А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ной |
Идея |
метода Эйлера |
состоит в том, что значение производ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- £ - - / < * » ) |
|
|
|
|
|
|||||
на |
каждом |
промежутке |
Ахк |
|
приближенно • |
считается |
||||||||||
постоянным, а именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
/ ( * ; y ) L r « ^ 7 ( * * ; |
У,)- |
|
|
(8.18)' |
||||||||
|
Из |
(8,15) в промежутке |
(хк, |
х) |
имеем |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У (х) |
= |
у {хк) |
+ |
\ |
f |
(х; |
у) |
dx |
, |
|
|
|
откуда |
приближенно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
у (**• |
і ) |
У (хк) |
+f[xk\ |
|
ук) |
h . |
|
|
||||
|
Принимая |
правую |
часть |
этого |
|
равенства |
за |
ук л, |
полу |
|||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уь+t — Ук + f |
(xk~> |
Ук) h, |
|
* = |
0, |
1, |
2 |
, |
(8.19) |
||||
|
|
|
|
|
|
= |
/ |
(**; ук) |
/і . |
|
|
|
|
(8.20) |
||
|
Геометрически метод Эйлера реализуется следующим обра |
|||||||||||||||
зом: искомая |
интегральная |
кривая у = у(х), |
проходящая |
через |
||||||||||||
точку М0(х0, |
уо), приближенно |
заменяется |
ломаной линией, |
|||||||||||||
звенья которой на каждом шаге имеют угловой |
коэффициент |
|||||||||||||||
f(xk\ |
Ук) |
(рис. 8.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Эта ломаная называется ломаной Эйлера. |
|
|
|
||||||||||||
|
Погрешность метода Эйлера имеет вид: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
*п - |
I Уп - |
У (*„) I < |
|
|
I**"*" |
*0> |
- |
1 Ь |
|
где N — постоянная Липшища;
К |
д/ |
|
дх |
|
|
|
|
|
Из оценки погрешности видно, что метод Эйлера |
обладает |
|
следующими недостатками: |
|
|
— он применим лишь для достаточно малых h; |
|
|
— он приводит к накоплению погрешности при |
увеличе |
|
нии п. |
|
|
Р и с . 8.2
Поэтому метод используется обычно в тех случаях, когда нужно получить достаточно грубое приближение на небольшом промежутке.
Пример 8.3. Применяя метод Эйлера, составить на отрезке [0; 1] таблицу значений решения дифференциального уравне ния у'= 2ху, удовлетворяющего начальному условию y'.v-o — 1, выбрав шаг /г = 0,1.
Р е ш е н и е . Рабочие |
формулы: |
ЬУк = / (**; Ук) h\ |
ук і ук -\ Дуя , k — 0, 1, 2,... |
Последовательно заполняем табл. 8.1.
Из таблицы видно, что относительная погрешность, напри мер, ую составляет приблизительно 15%, т. е. приближение до статочно грубое.
|
|
Ч и с л е н н о е р е ш е н и е |
|
|
|
|
Т о ч н ы е |
|||
|
|
|
|
|
|
з н а ч е н и я |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/ (х, |
у) = |
|
Л\> |
= |
|
|
|
N |
X |
у |
= |
f{'x, |
v ) A |
= |
у = * * 2 |
|||
= |
2ху |
|||||||||
|
|
|
= |
2х\, |
0, |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
0,0 |
1,00 |
|
0,0 |
|
0,00 |
|
1,00 |
||
1 |
0,1 |
1,00 |
|
0,2 |
|
0,02 |
|
1,01 |
||
2 |
0,2 |
1,02 |
|
0,4 |
|
0,04 |
|
1,04 |
||
3 |
0,3 |
1,06 |
|
0,6 |
|
0,06 |
|
1,09 |
||
4 |
0,4 |
1,12 |
|
0,9 |
|
0,09 |
|
1,17 |
||
5 |
0,5 |
1,21 |
|
1,2 |
|
0,12 |
|
1,28 |
||
6 |
0,6 |
1,33 |
|
1,6 |
|
0,16 |
|
1,43 |
||
7 |
0,7 |
1,49 |
|
2,1 |
|
0,21 |
|
1,63 |
||
8 |
0,8 |
1,70 |
|
2,7 |
|
0,27 |
|
1,90 |
||
9 |
0,9 |
1,97 |
|
3,5 |
|
0,35 |
|
2,25 |
||
10 |
1,0 |
2,32 |
|
|
|
|
|
|
2,72 |
Изложенные далее методы численного интегрирования дифференциальных уравнений являются более точными, чем метод Эйлера. Их содержание состоит в вычислении величин
Ьум = Akh + Bk-jj- |
+ Ch - ~ + . . . , |
(8.21) |
которые получаются при разложении искомого решения в каж дом из промежутков Axk — h в ряд Тейлора:
и' |
I |
и" |
и"' |
|
Уъ\ \ — УкЛ уу - |
h + |
- | f -Hl |
+ " Т Г h 3 + ••• |
( 8 i 2 2 ) |
Значения производных вычисляют в соответствии с уравне нием y' = f(x; у) по формулам:
у'\ |
= ( / ' , + |
Л |
У ' ) |
Df |
{хк; |
ук) |
У"'н = |
f У \ у У' |
+ Гуу |
(У'Г |
+ f'yif'x |
+ |
Г у У')\ .»-.if t |
= Я 2 / ( * * ; ук) +/'у(хк; |
ук) Df{xk; ук) , |
(8.23) |
где
D
д
дх
J ду
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
К |
= У\, |
|
Bk |
= у"к |
, |
Ск = U к |
|
|||
получаем из (8.22) формулу |
(8.21). |
|
|
|
|
|||||
§ 8.5. М Е Т О Д Р У Н Г Е — К У Т Т А |
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим задачу Коши (8.15), (8.16). |
|
|||||||||
При вычислении величин Аук |
по формуле (8.21) |
в методе |
||||||||
Рунге—Кутта |
ограничиваются тремя слагаемыми, i \ е. |
|||||||||
кУк |
Хк = Ак |
!г + Вк |
ІЇ1 |
+ |
|
/г3 |
(8.24) |
|||
~2 |
|
Ск |
||||||||
Расчетные формулы имеют следующий вид: |
|
|||||||||
|
|
|
1 |
( |
|
|
|
|
|
(8.25) |
|
'•к = 1Г ( |
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч |
= |
hf |
(•**; ук) ; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ук + |
2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.26) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
hf |
хк |
+ |
|
% -т- |
|
|
|
|
|
|
hf (хк + A; |
r f |
рА ) |
|
|
|
|||
Вывод формул |
метода |
Рунге—Кутта |
|
|
|
|
Найдем геометрический смысл величин (8.26) с помощью построения на рис. 8.3, где
MF — касательная к интегральной кривой в точке М, ее уг
ловой коэффициент kM = y'M=f |
(xk\ ук)- |
Обозначим |
|
|
(8.27) |
147
НК — касательная к интегральной кривой в точке
и I |
, h |
, и |
h |
2
ее угловой коэффициент
|
/г |
*// = У'н =• / и * + |
у |
Р и с . 8.3
ИЛИ |
|
|
|
Раскладывая |
kH |
по степеням -g- и —~—, |
получаем |
|
|
1 |
! |
|
|
f |
|
|
|
y=yk |
|
1 |
/ |
д |
|
9 ! |
дх |
о < ду |
Ограничиваясь членами с Л2 и учитывая, что y-k~hf(xk; |
ук), |
получаем |
|
h |
|
у=-ч
D"- f
••у-у»
Обозначим
(8.28)
Из точки М проводим прямую, параллельную НК. При этом образуется точка
|
|
|
|
D\xk |
+ |
9 ; |
У к 4- kH |
2"Г |
|
|
||
Угловой |
|
коэффициент касательной |
в интегральной кривой |
|||||||||
в точке Z) имеет следующее |
разложение: |
|
|
|
||||||||
|
6D |
= / [хк + - у |
; |
/у* + |
|
- у - ) |
= / (хк; |
ук) |
+ |
|||
|
|
|
|
i d |
h |
, |
|
д |
|
З ь |
|
|
|
|
|
|
дх |
2 |
^ |
|
oty |
|
/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
I |
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
2 |
|
2 ^ |
<ty |
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kD |
f+fDf |
|
h- |
Dff\ |
|
-D2f |
(8.29) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
7ft |
= |
|
Л |
|
|
|
(8.29) |
В точке |
|
У (xk |
4- Л; ?/& 4- kHh) |
таким |
же образом |
получаем |
||||||
|
|
|
f |
+ h Df |
-\ |
— |
(f'y Df |
|
4- Di |
f) |
|
|
|
|
|
|
|
lk |
= |
kyh . |
|
|
|
(8.30) |
149