книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

4- N ak cos — j — х

kit

(9.1)

х

f

(x)

cos

kit

x

dx ,

(9.2)

—j —

bk = ~ j " f

(x)

s i n

—j~

x

dx

называется рядом Фурье функции f(x)

и сходится к ней во всех

точках ее непрерывности, если f(x)

удовлетворяет условиям

тервалов монотонности в промежутке

(—/; / ) .

Практически разложение функции в ряд Фурье сводится к

вычислению интегралов

(9.2), если

известен аналитический

вид f(x). Однако во многих практических случаях

функция

f(x) задается табличным

способом

или графически

и тогда

Пусть функция y = f(x)

задана

в промежутке [0; 2т] и име­

ет период 2т. Разделив

промежуток

на

п

равных частей точ­

ками

*i =

( t

~ Р 2 *

;

і = 1, 2 , . . . , « + 1 ,

по формуле прямоугольников будем иметь:

fl0 ^

1 -"

1

"

2т

V

у, Axt

=

—- /у= 1

УІ

~п

т. е.

_2_

п

V

УІ

га

І = І

2_

/г

cos kxt

,

(9.3)

п

У уг

2

л

У J/; Sin UJC;

п

§ 9.1. М Е Т О Д

Ш А Б Л О Н О В

1

2 °

xt;

«і

~

-

JQ-

У]

УІ

cos

20

V у, cos

xt

— \yx

cos

0°

+

y2

cos

18° +y3

cos 36° -f- УІ

COS 54° +

г=і

+ уь

cos 72°

+

г/6 cos 90°] +

[y1 cos

(180°

-

72°)

+

+

y& cos (180° -

54°) +

y,

cos

(180° -

36°) +

4-

y10 cos (180° — 18°) +

yn

cos

180°]

+

4- \yn

cos

(180°

+

18°)

+

. . . +

г/20

cos

(360° -

18°)] =

— ІУі + У2c o

s

18° +

Уз c o s 36е

4- У І cos 54°

4

4- уь cos 72° +

у и cos 72° 4

У18

cos 54° 4-

4

уіа cos 36° - f у30

cos 18°) — (уп

4- r/1 0

COS 18° 4

4- у9 cos 36° +

у» cos 54° 4- У: cos 72° +

4 yv> cosl8°

4- yls

cos 36° +

y „ cos 54° + yx,

cos 72°) . (9.4)

Таким образом, в расчете используют значения cosx и sinx

только в промежутке [0; - - - ] .

Составляем

табл. 9.1,

Таблица 9.1

N

9с

Уі cos/8' %cos36°

%Cos59' 9iCos729

-

-

-

-

'7//

/'/ A

t

У,

w///m

1

(ft

y.ccs/8'

92ccS5</c

9zCCS7Z°

3

У*

y3u>s 18*

93CcS5<t° </ъСоь71°

9

'9,

9чСс&Ъбс % ccs W

# cos'/'2'

9s

& CAS 36* 9s cos 54° y}CoS72"

6

9б

У( CDi/8"yt Cos Ъ6°9i ccs59°

96Cos7Z°

7

97

9, ccs36" 9Tccs5*°

9e

Cos 72*

8

У$

t/tCOi/6* 98ccs36" 9i ccsW

9» cos 72°

9

У9

9scoi/S°

9s cosi6°

9sccs5</c

9>ccs7Z'

10

У,* 9,.«>s/8e

9,0 СОІ36"9/cCcs&°

9„C0S72

11

У»

9ч">*№

9„ ccs 54° 9„co<.72"

42

У* <ttcos/8* y,z

Cos36"

yKccS72°

13

У»

y,sa>sl8* 9,Лсо%Ыа

9,s cos/2*

14

Яг

9„ cos/8'

y„ cossf

9м Cos 72°

15

У*

y,r Cos/8* 9„ caS6* faces 54' 9^ cos 72*

16

9*

& cos/8* 9,t

ccs36*9*a>s5</"

17

9,7

9n cos/8* 9,ra>s36*9,rCes5^

9,7 ccs7T

18

9*

Чи cos/8 °9ft

ызб* yitccssb" У/ЛСа7г*

19

9*

Уч cos/8' $SCCS36'9,scos,s40

У„ cos 72'

го

9гс

e

Ух COS54*

e

9»cosi8

9»cos72

іде cos 18й = 0,951; cos 36й = 0,809;

cos 54° = 0,598; cos 72° = 0,309.

На шаблоне точно такого же размера и формы, как табли­

ца, вырезают окошечки вместо

тех клеток, значения которых

вошли в сумму

(9.4) (рис. 9.1).

: У,

:

ах

_

,

где знаком Е(+ ) обозначена

сумма,

вошедшая в а} со знаком

У

Ak sin

(o)» х 4-

?*)

,

поэтому

для

найденных

коэффициентов

вычисляем

значения

Ak

и

«А по формулам:

sin

fA

ак .

(9.5)

COS

—

Окончательно

получаем

f

(х) ^

-~-

+

Л, sin

(л

+

=?,) + A,

sin (2х

+

ъ)

+

• •

•

С П И С О К Р Е К О М Е Н Д У Е М О Й Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.

А в д е е в а

Л . И.,

З у х о в и ц к и й С. И .

Л и н е й н о е

и

в ы п у к л о е

про ­

г р а м м и р о в а н и е .

М., « Н а у к а » ,

1968.

2. Д е м и д о в и ч Б . П . и М а р о н И. А. О с н о в ы в ы ч и с л и т е л ь н о й ма ­

т е м а т и к и .

М.,

« Н а у к а » ,

1960.

3.

Д е м и д

о в и ч

Б .

П.,

М э р о н

И . А., Ш у в а л о в а

Э.

3.

Ч и с л е н ­

ные

м е т о д ы а н а л и з а . М.,

« Н а у к а » , 1962.

4.

П о л о ж и

й Г. Н.,

П а х а

р е в

а

Н . А.,

С т е п

а п е н

к о

И. 3. и д р .

М а т е м а т и ч е с к и й

п р а к т и к у м

п о д

ред .

Г.

Н . П о л о ж е г о .

М., Г о с у д а р с т в е н н о е

и з д а т е л ь с т в о ф и з и к о - м а т е м а т и ч е с к о й

л и т е р а т у р ы ,

1960.

5. С м и р н о в В . И . К у р с в ы с ш е й м а т е м а т и к и , т. I I . М., Г о с у д а р с т в е н ­

ное

и з д а т е л ь с т в о ф и з и к о - м а т е м а т и ч е с к о й л и т е р а т у р ы ,

1961.

6. Т е р е н т ь е в

В.

Д .

К у р с

п р и б л и ж е н н ы х

вычислений .

И з д .

В В И Л

им. п р о ф . Ж у к о в с к о г о , 1958.

П р е д и с л о в и е

3

Г л а в а

1.

Основные

правила

приближенных

вычислений

. . .

5

§

1.1.

А б с о л ю т н а я

п о г р е ш н о с т ь

п р и б л и ж е н н о г о числа

.

.

5

§

1.2.

О т н о с и т е л ь н а я

п о г р е ш н о с т ь

п р и б л и ж е н н о г о

числа .

.

6

§

1.3.

Д е с я т и ч н а я

з а п и с ь п р и б л и ж е н н ы х

ч и с е л . ,

З н а ч а щ и е

ц и ф р ы

числа

7

§

1.4.

О к р у г л е н и е

чисел

8

§

1.5.

В е р н ы е

ц и ф р ы

числа

9

§

1.6.

П р а в и л а

записи

п р и б л и ж е н н ы х

чисел

. . . .

10

§

1.7.

О п р е д е л е н и е

верных

ц и ф р

в ш и р о к о м

с м ы с л е .

.

.

11

§

1.8.

О ц е н к а

о т н о с и т е л ь н о й

п о г р е ш н о с т и

по

к о л и ч е с т в у

в е р н ы х з н а ч а щ и х ц и ф р

12

§

1.9.

П о г р е ш н о с т и

р е з у л ь т а т о в

а р и ф м е т и ч е с к и х

д е й с т в и й

.

12

§ 1 . 1 0 . О б щ и е ф о р м у л ы д л я в ы ч и с л е н и я п о г р е ш н о с т е й

.

.

18

§

1.11. В ы п о л н е н и е

л а б о р а т о р н о й

р а б о т ы

19

Г л а в а

2. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных

уравнений

22

§ 2.1.

П о с т а н о в к а з а д а ч и

22

§

2.2.

М е т о д

проб

24

§

2.3.

М е т о д

х о р д

( м е т о д

п р о п о р ц и о н а л ь н ы х частей)

.

. '

27

§

2.4.

М е т о д к а с а т е л ь н ы х

( Н ь ю т о н а )

30

§

2.5.

М е т о д и т е р а ц и и

( п о с л е д о в а т е л ь н ы х

п р и б л и ж е н и й ) .

.

36

§

2.6.

О ц е н к а п о г р е ш н о с т и

м е т о д а

и т е р а ц и и .

.

.

.

41

§

2.7.

В ы п о л н е н и е

л а б о р а т о р н о й

р а б о т ы

44

§

2.8.

М е т о д Л о б а ч е в с к о г о

р е ш е н и я а л г е б р а и ч е с к и х

у р а в н е н и й

46

Г л а в а

3.

Решение системы

линейных

уравнений

методом

ж о р д а н о -

вых исключений

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

55

§

3.1. Ш а г ж о р д а н о в ы х

исключений

55

§

3.2.

Р е ш е н и е

системы

л и н е й н ы х

у р а в н е н и й

. . . .

60

§

3.3.

К о н т р о л ь

вычислений

63

§

3.4.

О п и с а н и е

л а б о р а т о р н о й р а б о т ы

65

§

3.5.

М е т о д

Г а у с с а

68

Г л а в а

4.

Сглаживание экспериментальных зависимостей по мето­

ду

наименьших

квадратов

71

§ 4.1. О п р е д е л е н и е п а р а м е т р о в

ф у н к ц и о н а л ь н о й з а в и с и м о с т и •

по м е т о д у н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в

73

§

4.2.

О п р е д е л е н и е

п а р а м е т р о в п а р а б о л ы

в т о р о г о

п о р я д к а

ме­

д о м н а и м е н ь ш и х

к в а д р а т о в

74

§

4.3.

О б о с н о в а н и е

ч е т о д а .

75

§

4.4.

В ы п о л н е н и е

л а б о р а т о р н о й

р а б о т ы . . . . . .

76

Г л а в а

5.

Интерполирование

функций

78

§

5.1.

И н т е р п о л я ц и о н н ы й

полином

Л а г р а н ж а . . . . .

79

§

5.2.

Д р у г о й

в и д и н т е р п о л я ц и о н н о г о

п о л и н о м а

Л а г р а н ж а

.

81

§

5.3.

Р а з н о с т и

р а з л и ч н ы х

п о р я д к о в

82

§

5.4.

П е р в а я

и н т е р п о л я ц и о н н а я

ф о р м у л а

Н ь ю т о н а .

. .

87

§

5.5.

В т о р а я

и н т е р п о л я ц и о н н а я

ф о р м у л а

Н ь ю т о н а .

.

.

9!

§

5.6.

О ц е н к и

п о г р е ш н о с т и

и н т е р п о л я ц и о н н ы х

ф о р м у л

Л а г р а н ж а и Н ь ю т о н а

94

Г л а в а

6.

Приближенное

дифференцирование .

100

§ 6.1. Ф о р м у л ы п р и б л и ж е н н о г о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я , о с н о в а н ­

ные

на

первой

и н т е р п о л я ц и о н н о й

ф о р м у л е

Н ь ю т о н а .

.

103

§

6.2.

Ф о р м у л а

п р и б л и ж е н н о г о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я ,

о с н о в а н ­

н а я

на

и н т е р п о л я ц и о н н о й ф о р м у л е

Л а г р а н ж а .

.

106

§

6.3.

О ц е н к а

п о г р е ш н о с т и

ф о р м у л

ч и с л е н н о г о

д и ф ф е р е н ц и ­

р о в а н и я

108

Г л а в а

7.

Численные методы вычисления определенных интегралов .

112

§

7.1.

Ф о р м у л ы п р я м о у г о л ь н и к о в

115

§

7.2.

Ф о р м у л а

т р а п е ц и й

117

§

7.3.

Ф о р м у л а

п а р а б о л

( ф о р м у л а

С и м п с о н а ) .

.

.

. 1 1 8

§

7.4.

В ы в о д

ф о р м у л п р я м о у г о л ь н и к о в ,

т р а п е ц и й

и

п а р а б о л

на

о с н о в а н и и

и н т е р п о л я ц и о н н о г о

п о л и н о м а .

.

.

120

§

7.5.

О ц е н к а

п о г р е ш н о с т и

ф о р м у л

п р я м о у г о л ь н и к о в

и т р а п е ­

ций

122

§

7.6.

О ц е н к а

п о г р е ш н о с т и

ф о р м у л ы

п а р а б о л .

.

.

. 1 2 3

§

7.7.

Р е ш е н и е

т и п и ч н ы х

п р и м е р о в

126

Г л в а а

8. Приближенное

интегрирование

обыкновенных

дифферен ­

циальных

уравнений

137

§ 8.1. М е т о д п о с л е д о в а т е л ь н ы х п р и б л и ж е н и й .

.

.

. 1 3 8

§

8.2.

М е т о д

р а з л о ж е н и я

р е ш е н и я

в

степенной р я д

по

с т е п е н я м

н е з а в и с и м о й

п е р е м е н н о й

141

§

8.3.

Ч и с л е н н ы е

м е т о д ы

143

§

8.4.

М е т о д

Э й л е р а

144

§

8.5.

М е т о д Р у н г е - К у т т а

147

§

8.6.

М е т о д А д а м с а — К р ы л о в а

154

§

8.7.

В ы п о л н е н и е

л а б о р а т о р н о й

р а б о т ы

159

Г л а в а

9.

Практический

гармонический

анализ

162

§

9.1.

М е т о д ш а б л о н о в

163

§

9.2.

В ы п о л н е н и е

л а б о р а т о р н о й

р а б о т ы

166

С п и с о к

р е к о м е н д у е м о й

л и т е р а т у р ы

167