книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие
.pdfТаким образом, найденное значение интеграла отличается от истинного его значения не более, чем на величину
А -}- | ги < 0,00038 + 0,00012 == 0,0005 < 0,001 .
Итак, полученный результат 1,463 удовлетворяет условию задачи.
Пример 7.4. Вычислить.
о,н
dx
1 4- хг
взяв п = 8, по формулам: прямоугольников (7.4) и (7.5), трапе ций (7.8), парабол (7.14). Погрешность оценить двумя спосо бами:
1)сравнением с точным значением интеграла;
2)вычислением по формуле (7.6) прямоугольников, с по мощью оценки (7.23) для формулы трапеций и оценки по грешности формулы парабол (7.28).
Р е ш е н и е . Для оценки погрешности формул трапеций и парабол вычисления придется проводить дважды: с шагом
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , 8 ^ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и с шагом, в два |
раза |
большим |
|
h2 |
= 2h\ = 0,2. Точно |
вычислим |
||||||||||||||
данный в условии |
интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
Г — 4 ^ 4 - |
^ |
arctg х |
I = |
arctg 0,8 |
= |
38°39'35"= 0,67473.' |
|||||||||||||
)о |
l+x- |
|
|
|
* |
|
Jо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Угол определили по таблицам и выразили его в радианах.) |
||||||||||||||||||||
Запишем расчетные формулы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Формула прямоугольников: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
. |
У, •= |
0,1 |
(г/0 |
+ |
yt |
+ |
у2 + |
yt |
+ |
уІ |
+ |
г/, + |
ук |
+ |
У7) |
|
||||
|
/ 2 |
:= |
0,1 |
(г/, |
- f |
у, |
+ |
Ул+ |
|
yt |
+ |
ys |
+ |
уа |
+ |
У, |
+ |
уь) |
• |
|
Формула трапеций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
•Л = |
0,1 \J±±M^ |
|
|
+ |
У і |
+ |
у2 |
|
+- У і |
+ |
yt |
+ |
у5 |
+ l |
h + |
у, |
||||
Ji = |
о,2 [J» |
+ У* |
+ |
уг |
+ |
у, |
|
f |
у, |
|
|
|
|
|
|
|
130
Формула парабол:
|
О |
|
2 (/л' |
4- //4 + |
//е ) |
-I- 4 (у, |
4- + //3 4- |
/ / 7 ) | ; |
|
|
[і/о -Ь У* + |
||||||||
|
0,2 |
|
2//4 + |
4 («/а |
+ //«)] |
|
|
|
|
|
(//о + |
Ун + |
|
|
|
||||
|
Нахождение |
интерполяционных |
узлов |
оформим |
в |
виде |
|||
.табл. 7.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.3 |
||
|
|
|
|
|
|
К о э ф ф и ц и е н т |
п р и V/, |
||
k |
|
1 \- |
4 |
|
1 |
в ф о р м у л е п а р а б о л |
|||
|
Vt. — • |
1 + |
., |
= 0,1 |
Л = |
0,2 |
|||
|
|
|
|
|
h |
||||
0 |
0 |
1 |
|
1,0000 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
0,1 |
1,01 |
0,9901 |
|
4 |
0 |
|
||
2 |
0,2 |
1,04 |
0,9615 |
|
2 |
4 |
|
||
3 |
0,3 |
1,09. |
0,9174 |
|
4 |
0 |
|
||
4 |
0,4 |
1,16 |
0,8621 |
|
2 |
2 |
|
||
5 |
0,5 |
1,25 |
0,8000 |
|
4 |
0 |
|
||
6 |
0,6 |
1,36 |
0,7353 |
|
2 |
4 |
|
||
7 |
0,7 |
1,49 |
0,6711 |
|
4 |
0 |
|
||
8 |
0,8 |
1,64 |
0,06098 |
|
1 |
I |
т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты вычислений оформим в виде табл."7.4.
ВЫ В О Д Ы
1.Рассмотренные формулы для оценки погрешностей дают завышенные значения по сравнению с истинными погрешнос тями.
2.Анализируя результаты, видим, что при одних и тех же данных формула трапеций более точна, чем формулы прямо угольников, а вычисления практически не усложняются, и осо бенно высокой точностью обладает формула парабол при
сравнительной ее простоте. |
\ |
НазВаниє |
Результат |
О. ёсо/іЮпіНая |
Относ |
ительная |
|||||
|
вычисления |
погреш |
носгпь |
no і ре UJ H ocmb |
|||||
J, |
0 693 |
75 |
|
001922 |
|
0 |
028^3% |
||
|
|
|
оогооо |
|
|
|
|
||
1 |
0 65437 |
|
|
0,03 |
= |
3% |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоіго/tb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
С,09Ч<01 |
|
|
|
|
|
|
ов?ч24 |
|
0,000/э |
|
0,00073 |
|
-0,07% |
||
X |
0,6300? |
|
0,04466 |
|
0,0066 |
~ |
0,66% |
||
|
|
|
~0 |
0/5< |
0 |
02 |
|
|
|
J,я |
0,67923 |
|
0,00000 |
|
0, ООО % |
||||
0,67475 |
|
Oj |
00002 |
0,00003 |
~ |
0,003% |
парово*
?z0y00000l4< <. 0 00002
К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы
)
1. В каких случаях применяют численные методы вычисле ния определенных интегралов?
2. Что понимают под численными методами вычисления определенных интегралов?
3.Исходя из геометрических соображений, доказать фор
мулы:
а) прямоугольников (7.4), (7.5); б) трапеций (7.8); в) парабол (7.14).
4.Доказать эти же формулы на основании интерполяцион ного полинома.
5.Как производится оценка погрешностей формул числен ного интегрирования:
а) в случае аналитического задания функции?
б) в случае табличного задания функции?
6. Можно ли произвести оценку погрешности формул (7.5) и (7.7) по формулам (7.19) и (7.20)?
J 32
7.Как применить формулу (7.6) для подсчета оценки по грешности формулы прямоугольников, если функция не моно тонна на отрезке [а; Ь]?
8.Какие формулы дают самую хорошую оценку погрешнос ти формул: прямоугольников, трапеций, или парабол?
9.Какова сравнительная точность формул прямоугольни ков, трапеций и парабол при одном и том же шаге разбиения?
Упражнения к главе 7
2dx
1.Вычислить \ по формуле Ньютона—Лейбница и по
формулам прямоугольников, трапеций и парабол, разбивая интервал интегрирования на 10 равных частей. Затем оценить в процентах относительную погрешность результатов, получен ных по приближенным формулам. (Все вычисления дел'ать с четырьмя десятичными знаками.)
Отв.: !п2~0,6931; 0,7188; 0,6688; 0,6938; 0,6932.
2. На сколько частей следует разделить интервал интегри-
чтобы вычислить его с точностью
до 10~2 по приближенным формулам: прямоугольников, тра пеций и парабол.
Отв.: пх> 100; л 2 > 4 ; пг> 1.
3. Площадь круга единичного радиуса равна ~. Взяв еди ничный круг с центром в начале координат, уравнение окруж ности которого х2 + у2= 1, и применив для вычисления площади этого круга интегрирование, получим
о
Пользуясь формулами прямоугольников, трапеций и пара бол, вычислить приближенно число г., разбивая интервал ин-, тегрирования [0; 1] на 10 частей. Полученные результаты сравнить между собой и с табличным значением числа г..
Отв.: По правилу |
прямоугольников - ^2,904 (с |
недостат |
ком) и rss3,305 (с избытком). По формуле трапеций |
3,104. |
|
По формуле парабол |
3,127. |
|
4. Вычислить |
|
|
|
10 dx |
|
используя формулу парабол при и =10. Найти модуль перехо да от натуральных логарифмов к десятичным. Сравнить с таб личным значением.
Отв.: 1п10~2,31; |
|
||
М = |
1 |
0,433 |
|
In 10 |
|||
|
|
5. Вычислить по формуле парабол интеграл
1,35
\f(x)dx,
пользуясь табл. 7.5 значений функции f (х).
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.5 |
X |
1,05 |
1,10 |
1,15 • |
1,20 |
1,25 |
1,30 |
1,35 |
fix) |
2,36 |
2,50 |
2,74 |
3,04 |
3,46 |
3,08 |
4,60 |
6. Под действием переменной силы F, направленной вдоль оси ОХ, материальная точка переместилась по .оси ОХ из поло жения х = 0 в положение х = 4. Вычислить приближенно рабо ту А силы F, если-дана табл. 7.6 значений ее модуля F. Вычис ление провести по формуле трапеций и по формуле Симпсоиа.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7.6 |
X |
0,0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
F |
1,50 |
0,75 |
0,50 |
0,75 |
1,50 |
2,75 |
4,50 |
6,75 |
10,00 |
Отв.: По формуле трапеций — 11,625; по формуле Симпсо
иа — 11,417.
7.Прямая линия касается берега реки в точках А и В. Для измерения площади участка между рекой и прямой АВ прове
дены 11 перпендикуляров к АВ от реки |
через каждые |
5 м |
(следовательно, прямая АВ имеет длину |
60 м). Длины |
этих |
перпендикуляров оказались равными 3,28; 4,02; 4,64; 5,26; 4,98; 3,62; 3,82; 4,68; 5,26; 3,82; 3,24 м. Вычислить приближенное зна чение площади участка. •
Отв.: ^239 м2 по формуле парабол.
В примерах 8—16, пользуясь формулой парабол, вычислить данные интегралы, которые не могут быть найдены в конечном
виде с помощью |
элементарных |
функций. Число я разбиений |
|||||
отрезка интегрирования указано в скобках, |
|||||||
8. |
jі |
У |
1 - |
Xя |
dx |
(10) . |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
«0,837. |
|
|
|
|
||
9. |
jі |
У |
I + |
XІ |
dx |
(10) . |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.; |
«1,09. |
|
|
|
|
||
Ю. |
5 |
dx |
|
|
|
|
|
J |
- ^ - ( 6 ) |
|
|
|
|||
|
In |
X |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
-2,59. |
|
|
|
|
||
11. |
j |
У |
cos ? |
df |
(10) . |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
«0,950. |
|
|
|
|
||
12. |
} |
V |
1 — |
0,1 |
sin- ъ d'i |
(6) |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
«1,53.. |
|
|
|
|
||
13. |
| |
- ! ^ L . r f . r ( i o ) |
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
«0,985. |
|
|
|
|
||
, . |
Т |
sin X |
, |
. |
. „ . |
|
|
14. |
о |
— - — |
dx |
(10) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
«1,371. |
|
|
|
|
||
1 5 - |
f - , s r ( 1 0 ' • |
|
|
||||
|
2 |
«1,118. |
|
|
|
|
|
Отв.: |
|
|
|
|
|||
16. |
j |
sin |
(х-) |
t/x |
(10) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв.: «0,157.
Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интегралы:
1 |
dx |
17. . |
1 + х |
Отв.:о 0,69.
1dx
18.J 1 4- XІ
Отв.:о 0,79
19. |
і |
|
|
dx |
|
||
J |
|
1 + |
xs |
|
|||
|
|
|
|||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
0,84. |
|
|
|
|||
|
2 |
|
х |
|
|
л- dx . |
|
20. |
j" |
l g |
|||||
|
і |
|
|
|
|
|
|
Отв.; |
0,28. |
|
|
|
|||
21. |
Jf |
|
|
x |
**-dx. |
||
|
і |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
0,10. |
|
|
|
|||
22. |
J1" |
|
S |
[ |
x |
x |
dx. |
|
|
|
n |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
1,61. . |
|
|
||||
23. |
( |
|
- |
^ |
|
L ^ |
( i x _ |
|
J |
|
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
1,85. |
|
|
|
|
Отв.: |
|
|
|
|
|||
0 . |
( 2 |
|
cos |
|
x |
, |
|
24. |
J |
|
|
|
x |
dx . |
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
Отв.: |
0,09. |
|
|
|
|||
25. |
ГС |
|
|
|
dx . |
||
і* |
|
- |
—• |
|
|||
|
J |
|
1 |
+ |
* |
|
|
|
о |
|
0,67. |
|
|
|
|
Отв.: |
|
|
|
|
|||
|
і |
|
е~*г |
dx . |
|||
26. |
j |
' |
|||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отв. |
0,75. |
|
|
|
|
Г л а в а 8
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Очень важно уметь применять основные методы прибли женного решения дифференциальных уравнений, так как даже Б случае достаточно простых обыкновенных дифференциаль ных уравнений не всегда удается выразить решение в квадра турах.
В зависимости от формы, в которой представляется прибли женное решение уравнения, методы приближенного интегриро вания дифференциальных уравнений можно разделить на три группы.
Аналитические методы предусматривают получение при ближенного частного решения уравнения либо в виде квадра тур, либо в виде степенных рядов, равномерно сходящихся, при определенных условиях, к точному решению. Среди ана литических методов основными являются:
—метод последовательных приближений;
—разложение решения в ряд по степеням независимой пе ременной или по степеням некоторых параметров уравнения;
—• разложение в ряд по степеням начальных данных. Графические методы предполагают приближенное построе
ние интегральных кривых.
Численные методы дают приближения для значений точ ного решения лишь в отдельных точках и их оформляют в виде таблицы.
Цель настоящей главы состоит в том, чтобы дать достаточ но полное изложение численных методов решения обыкновен ных дифференциальных уравнений первого порядка, и потому для иллюстрации аналитических методов представлено лишь схематическое изложение первых двух из них.
$ 8.1. М Е Т О Д П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н Ы Х П Р И Б Л И Ж Е Н И Й
Изложим этот метод применительно к дифференциальному
уравнению первого порядка |
|
У) |
(8-1) |
с начальным условием |
|
У І-ї=і-„ = Уо • |
(8.2) |
Предположим, что в некоторой окрестности течки М0(х0, |
уQ) |
уравнение (8.1) удовлетворяет условиям теоремы существов„а- шія и единственности решения *.
Интегрируя |
правую и левую части уравнения (8.1) |
в преде- |
|
- лах от х0 ДО х, |
получаем интегральное |
уравнение |
|
|
х |
|
|
|
У (*) = У, + J / (*, |
//) dx . |
(8.3) |
Решение уравнения (8.3) удовлетворяет дифференциально му уравнению (8.1) и начальным условиям (8.2).
Если интервал (х0, х) достаточно мал, то приближенно можно полагать в нем функцию у(х) равной у0, и в качестве первого приближения выбрать функцию
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уі |
(х) = у<> |
+ |
\ |
f (х, yv) dx . |
|
|
||||||
Подставив |
затем |
в правую часть уравнения |
(8.3) |
функцию |
||||||||||
У І { Х ) , найдем второе приближение: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у, |
(х) |
= |
у0 |
+ |
\ |
f |
{х, yt) |
dx . |
|
|
|
|
Все дальнейшие |
приближения |
строятся |
по |
формуле |
|
|||||||||
|
|
Уп (х) |
- |
|
|
X |
/ |
(*. уп-i) dx |
, |
|
(8.4) |
|||
|
|
Уо + |
J |
|
||||||||||
* В о б л а с т и \х—Хо |
\ < а, \у |
у0, |
<Ь |
с у щ е с т в у е т е д и н с т в е н н о е |
р е ш е н и е |
|||||||||
у р а в н е н и я |
(8 . )), |
у д о в л е т в о р я ю щ е е |
н а ч а л ь н ы м у с л о в и я м |
(8.2), |
если |
в этой |
||||||||
о б л а с т и ф у н к ц и я f ( x , у) у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю Л и п ш и ц а |
|
|
||||||||||||
|
|
/ С*. УО" - |
/ (-г, |
у 2 ) |
I |
, Л' | y L |
- |
у 2 ' |
, |
|
|
|||
где Л'' — |
п о с т о я н н а я |
Л и п ш и ц а |
— |
не |
|
з а в и с и т |
от |
х, у\, уі; |
в |
к а ч е с т в е |
||||
Л' м о ж н о |
в ы б р а т ь |
max |
; f'v |
(х, у) | . |
|
|
|
|
|
|
|
причем |
имеет |
место теорема, |
устанавливающая, |
что, если |
|||
функция |
J (х, у) |
в окрестности |
точки Л10 (х0 , уо) удовлетворяет |
||||
условию |
Липшица, то |
последовательность |
{у„ (х)} |
на |
некото-. |
||
ром достаточно |
малом |
отрезке |
[х0; xo + h] |
равномерно |
сходит |
||
ся к точному решению |
у(х): |
|
|
|
|
у (х) — lim у,г (х) .
Если f(x, у) определена и непрерывна в области
R {0 < |
х — х0 |
< |
а; |
|
\ у — {/„ | < |
Ь] , |
и |
|
|
|
|
|
|
max 1 / |
(х, у) |
| < |
М |
|
при (х, у) |
є R, |
то за величину h можно принять |
|
|
, |
|||
|
h — mm |
х, |
М |
|
||
|
|
|
|
|
|
Погрешность метода последовательных приближений опре деляют по формуле
з „ (х) = | у (х) - уп (х) | ; MN* - ^ П у Г '
Пример 8.1. Методом последовательных приближений най ти приближенное решение дифференциального уравнения у'~х—у, удовлетворяющее начальному условию у\х=о = Ь
Р е ш е н и е . Интегрируя уравнение от 0 до х, получаем
х
|
|
|
|
у — 1 -\- f (х — у) dx , |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
I |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда при ;/о =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
у1 |
= |
1 + |
\{у- |
\)dx=]-x+ |
- |
~ |
- |
|
|
( - 1 ) 2 - 2 Т |
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
х- \ |
|
|
, |
.. |
, |
., |
|
х?> |
|
у, |
=r. |
1 + |
\ (х |
— 1 + |
х |
dx |
— |
— |
|||||||
-—- |
1 — |
х |
-f |
х2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
у- |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- x |
+ 2 - j T |
+ (- |
|
I ) 3 |
~у |
|
|
|
и аналогично