Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Погрешность округления прибавляют к погрешности са мого числа, и результат округляют всегда в сторону увеличе ния *.

Например, если число а = 6,4738 имеет абсолютную погреш

ность	Д., =0,0026, то цифра 7 верна, так как Д., <0,005, а
цифра	3 сомнительна, так как Да >0,0005. Сохраняя одну со

мнительную цифру, получаем а ^ 6,474 с погрешностью округ

ления 0,0002. Новую абсолютную погрешность		Д = 0,0002 +
+ 0,0026 = 0,0028 округляем	в сторону увеличения	Д =0,003 и
записываем окончательный	результат: 6,474 + 0,003.

4.Для больших чисел употребляется следующая запись: если в числе 12 732 000 цифра 3 сомнительна, а 7 верна, то это число записывают в виде 1,273107.

5.Если число 5 имеет абсолютную погрешность 0,003, то, сохраняя одну сомнительную цифру, следует писать 5,000.

§ 1.7. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е В Е Р Н Ы Х Ц И Ф Р В Ш И Р О К О М С М Ы С Л Е

Приведенная в определении верных ци'фр оценка погреш ности иногда оказывается недостаточной для сохранения вер


ных	цифр	при округлении.		Например,		в числе		а = 2,3854 с
Д.,	=0,0003 цифра 5 верна, а 4 сомнительна.
Округляя, получаем а = 2,385 и новую						погрешность				Д а =»
= 0,0003+ 0,0004 = 0,0007>0,0005, а					потому		цифра		5	теперь
• уже оказывается сомнительной. Если					округление			продолжить: s
а = 2,38;		Д а = 0,0007+ 0,005 = 0,006, то цифра 8 также								из вер
ной превращается в сомнительную.
Действительно, приближенное число после округления име
ет абсолютную			погрешность	Д -\- Д ' ,		где	Д — абсолютная
погрешность самого числа, а				Д ' — погрешность				округления.
Для того чтобы последняя после округления цифра									а.к была
верной, должно выполняться неравенство						Д + - Д '		: 5-10™
которое может			оказаться невыполнимым,				если	погрешность
округления близка (или равна) к максимальной								Д' М 8 к С		= 5 X

уi(v< *

Всвязи с этим в некоторых современных пособиях по чис ленным методам определение верной цифры вводится следую

щим образом: цифра лк считается верной, если Д а <	OJ • 10"
где со — выбранный заранее параметр, причем 5 <	ш < 10.

В этом случае говорят о верных цифрах в широком смысле.

Чем больше о), тем больше таких чисел, для которых ис тинная погрешность будет завышена. Поэтому, если прибли-

* И с к л ю ч е н и е из этого п р а в и л а д о п у с к а е т с я в м а с с о в ы х р а с ч е т а х , т а к к а к п о л у ч е н н а я т а к и м о б р а з о м п о г р е ш н о с т ь м о ж е т о к а з а т ь с я с л и ш к о м за - и ы ш е ш ю н .

женные числа появляются в результате вычислений с доста точно точными исходными данными, то выгоднее брать м воз можно меньшим. Так, если ш =5,6, то можно доказать, что пос ле округления останется верной предпоследняя верная до ок ругления цифра.

В технических же расчетах приближенные числа получают ся в результате действий с исходными данными, содержащими ошибки измерений. При малых значениях ы нужно будет про

изводить	округления, снижающие точность. Поэтому в этих
случаях	берут to близким к 10.
§ 1.8. О Ц Е Н К А О Т Н О С И Т Е Л Ь Н О Й П О Г Р Е Ш Н О С Т И
ПО К О Л И Ч Е С Т В У В Е Р Н Ы Х З Н А Ч А Щ И Х Ц И Ф Р

В определении верной цифры приближенного числа указа на оценка абсолютной погрешности, если известен десятичный разряд последней верной цифры. Относительную же погреш ность можно оценить, если известно количество верных знача щих цифр числа.

Пусть	в приближенном числе
а =	±	(я„ •	10" +	. . . - + - лт.л			• 1	0 " - ' " - ( а 0		Ф 0)
имеется т верных			значащих		цифр		а(),	а, , . . . , ат	,.	Тогда но
определению последней				верной		цифры		5 • Ю " - " ' " 1 <		Д., < 5 X
X 10" "',		так как, если		бы	Аа	была		не больше	5 • 10"_ '"~\| ,

то последней верной цифрой была				бы	а т . Разделив		правую
часть неравенства на \| а \|, получаем
? = —:' - <		5	'	1 0 Я " ' "		+ . .
	.„ • 10" +- . . . -'г			0Lm	,10"-'" + '	+ . .
	5	• 10" " l			1		(1.10)
		10"	2*0		• 10"		(1.10)
		10"	2*0		• 10"
Таким образом, относительная				погрешность		тем	больше,
чем меньше количество верных значащих цифр.
§ 1.9. П О Г Р Е Ш Н О С Т И		Р Е З У Л Ь Т А Т О В		А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Х
Д Е Й С Т В И Й

Постановка задачи. Основной задачей теории погрешностей является определение неустранимой погрешности при вычисле нии значений функции y = f(xi, Х2,...,хп) по известным по грешностям независимых переменных (исходных данных).

В дальнейших выкладках будем использовать обозначения: у, х1 — приближенные значения; у", х° — точные значения;

| Axt | = | xL — хп. | , | Ay I = j у — у I — абсолютные по грешности;

Л , А,-. — предельные абсолютные погрешности; 5у, 5Л.. — предельные относительные погрешности.

/. Погрешность суммы*	. .	^	„	« . . .
П У С Т Ь	,	"	**"	" * '
	У = У л , .			(1.11)
	/• 1

Абсолютная погрешность суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чи сел:

\| Ду \| <	п	.	(1.12)
\| Ду \| <	V \ Axt\	.	(1.12)
Действительно,так как
Ау = у - v(> = V Л^ . ,
	( = 1
тс
; Ау \| <	V \| \xt	\|.
	(=i
Из определения предельной абсолютной погрешности сле
дует, что І Axi \| С Аг. т. е.
l A y K V A . ,			(1.13)
	1=1

поэтому в качестве предельной абсолютной погрешности сум мы выбирается правая часть неравенства (1.13).

Итак, предельная абсолютная погрешность суммы прибли женных чисел равна сумме предельных абсолютных погреш ностей слагаемых:

* Р а с с м а т р и в а е т с я а л г е б р а и ч е с к а я с у м м а , з н а к и x-t м о г у т б ы т ь л ю б ы м и .

A y - V A , . .

(1.14)

Предельная относительная погрешность суммы слагаемых одного и того же знака не превышает наибольшей из предель ных относительных погрешностей слагаемых:

	оу	<,' max {o.r.j .		(1.13)
Действительно, пусть		х,->0,	i = 1, 2, ... , я, тогда
			//
		-Ч	У	^
		-Ч	' -1I	'
			у	'
и так как
	Л,, = -V, 3.t.,
то
V	X;	max {З.г} • V		х{
й., =	< —		^	« m a x ; 5 v . ; .

Правила сложения. Пусть складываются приближенные числа с разным количеством десятичных знаков. Из простои схемы

345, 4??? 9, 27?? 10. 021?

364, 6???,

где значком ? обозначена сомнительная цифра, видно, что обычное сложение нецелесообразно, поскольку не имеет смыс ла складывать верные цифры с сомнительными. Поэтому при сложении пользуются следующими правилами:

1) составляют без изменения числа с наименьшим количесівом десятичных знаков;

2) остальные числа округляют по образцу оставленных без изменения, сохраняя один запасной десятичный знак;

3) произведя сложение, результат округляют на один знак;

4) подсчитывают полную абсолютную погрешность резуль тата по формуле

	•	Д « Д, +		Д., 4- Д я ,					(1.16)
где
Л, — сумма	абсолютных			погрешностей исходных					данных;
Л., — абсолютная величина суммы погрешностей									округле
ния слагаемых (с учетом их знаков);
Л.,— абсолютная погрешность					округления		результата.
Пример 1.1.	Найти сумму			чисел		0,368; 9,27; 0,0849; 55,4,
каждое из которых		имеет все верные значащие					цифры.
Р е ш е н и е .
0,368 + 9,27 4 55,4 + 0,0849 яг
я=; 0,37 4		9,27 +	55,4 4		0,08 = 65,12 ^			65,1 ;
Д, =	0,0005 4 0,005 -\- 0,05 + 0,00005							0,06 ;
Д2 =	-	0,002 4	0,0019		=	0,0029 ^	0,01 ;
Д3	0,02 ;
Д =	0,06 + 0,01		-f 0,02 =			0,09 як 0,1 .

Таким образом, искомая сумма — 65,1 ±0,1 .

Очевидно, что 1 — сомнительная цифра, а 5 — верная.

2. Относительная	погрешность	разности.
Потеря точности при вычитании		близких	чисел
ПуСТЬ У = Х\—Х2,	Причем	0<Х2<Х[.
Предельная относительная погрешность разности опреде
ляется по формуле
и так как				"Щї'-Щ'.
Ду	=- Д Л ] 4- Дл-2	= л-[ о, 4	х., 5, ,
получаем
	х{ о j	4- хг 3 2		(1.17)
		У		(1.17)
		У
Из полученной формулы видно, что при достаточно близких
Х\ и *2, т. е. при достаточно малом у , относительная				погреш
ность может стать весьма большой даже тогда, когда				о.,- и Ъх
являются малыми. Например,		если лг( = 47,132 и х2		= 47,111 и

ЕСЄ значащие цифры верны, то

у=> х{ - хг = 47,132 - 47,111 = 0,021 ;

JC,		47,132	U > L U U U 1	•
А *„	-	0,0005	- 0,00001	;
хг	-	47,111	- 0,00001	;
2
A* +	А,г	_0Д)01

:0,05 ,

у— 0,021"

те. относительная погрешность разности приблизительно в 5000 раз больше относительной погрешности исходных данных.

Происходит потеря точности. Поэтому при приближенных вычислениях полезно преобразовывать выражения, приводя щие к вычитанию близких чисел. Например, при вычислении разности У 2,01 — Y 2 полезно представить ее в виде

0,01

V2,01 4- V 2

3.Погрешность произведения

Пусть
	у	= х, х2	. . . хп .	(1.18)
Будем предполагать, что х, >			0, / = 1, 2, ... , п. Тогда
	In у = £		I n * , .	(1.19)
Полагая приближенно, что
Л In у	st; d In у •		tify	Av
Л In у	st; d In у •		У
			У
и
Л In xt	^	d In ДГ(		•*<
				•*<
находим из (1.19):
		Ау	Дх,-
		У

откуда

V	АГ;	(1.20)
	АГ;

т. е. относительная погрешность произведения нескольких при ближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы от носительных погрешностей этих чисел.

Из формулы (1.20) следует, что

і—

Правая часть полученного неравенства может быть при нята за предельную относительную погрешность, таким обра зом,

т. е. предельная относительная погрешность произведения рав на сумме предельных относительных погрешностей сомножи телей.

Зная предельную относительную погрешность, находим предельную абсолютную погрешность по формуле

A y = - y S y .	(1.23)
Замечание. Для произведения двух сомножителей	у=ХіХг

предельная абсолютная погрешность может быть определена через предельные абсолютные погрешности сомножителей по формуле

Ау = Ад- х2+		А.Гі) xt	,
которая следует из (1.20):
I Ду I < V	і Axt	( <	^ 1 s +
1=1	'		J
			J
-•- —'-— Ад-	= x., Дt- - f X, Af .

Правила умножения. Относительная погрешность тем боль ше, чем меньше количество верных значащих цифр, поэтому из формулы (1.22) следует, что в сомножителях с разным ко личеством верных значащих цифр не следует сохранять излиш нее их число. Производя умножение, следует поступать сле дующим образом:

1) округлить сомножители так, чтобы каждое из них содер жало на одну значащую цифру больше, чем сомножители с наименьшим числом значащих цифр;

2. Зак. 428.	•	- ~	' 17 •
	:.:•)	- ~	; .... .:• •••'•Ч
	библией		-' ><

ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА

2) результат умножения округлить до количества знача щих цифр, которое имелось в сомножителях, оставленных без изменения. Например,

32,1 • 0,03 ~ 32 • 0,03 = 0,96 ^ 1 --= 0,01 • 10- .

4. Погрешность частного,

Пусть

	у —		х.	(1.24)
	у —			(1.24)
Так как
	In у =	In * i — In		х2
	Ау		\х2
	У		х2
то
Ау	<	\хх	-1-	Лх2
у		X,		X,
т. е.				(1.25)
		с.г.		(1.25)

Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Поэтому при делении пользуются теми же правила ми, что и при умножении.

§ 1.10. О Б Щ И Е Ф О Р М У Л Ы Д Л Я	В Ы Ч И С Л Е Н И Я П О Г Р Е Ш Н О С Т Е Й
Пусть y = f(xi, xzi...,xn)	— дифференцируемая функция.

При вычислении значения функции за счет ошибок в исходных

данных возникает		ошибка
Ау !=)_>»	Ус	! / ( * „ я - 2 , . . . , л - л ) - / ( * ? ,	х°,...,х»)\.

Обычно погрешности исходных данных Дх; настолько ма лы, что в пределах допустимой точности можно пренебречь их степенями выше первой. Тогда

Ау	У	I дх.	Дл-,
	Li	I дх.

откуда предельная		абсолютная погрешность				определяется
формулой
			дх,		А,..	(1.26)
			дх,
Разделив Ау	на	у \|,	находим		формулы	для предельной
относительной	погрешности:
		-у	1	д/		(1.27)
		-у	f	дх{		(1.27)
			f	дх{
или		п
		п		\ A.rt,		(1.28)
		У	дх,	\ A.rt,		(1.28)
		( = 1
откуда
		п	d-lnf		X,- о .	(1.29)
		У	dxt		X,- о .	(1.29)
		(=1	dxt
		(=1
§ 1.11. В Ы П О Л Н Е Н И Е		Л А Б О Р А Т О Р Н О Й			Р А Б О Т Ы

Пользуясь правилами действия с приближенными числами, произвести указанные действия. Определить абсолютную и от носительную погрешности результата. Округлить полученный результат так, чтобы все его цифры были верными.

1.4,3 + 20,3365—10,854:

а) Оставляем без изменения 4,3 — число с наименьшим ко

личеством десятичных знаков.
б) Остальные числа округляем, сохраняя один	запасной
десятичный знак: 20,3365 ==20,34; 10,854^ 10,85.
в) Складываем округленные числа, округляем на один де
сятичный знак результат:
4,3 + 20,3365— 10,854 « 4,3 + 20,34—10,85 = 13,79 ^	13,8.

г) Вычисляем абсолютную погрешность результата

А — A, - f А3 4- А, ,

где

А, — погрешность исходных данных; А, = 0,05 + 0,00005 + 0,0005 ~ 0,051;

А2 — погрешность округления слагаемых; А2 = |(20,34~20,3365) + (10,85—10,854) | = [0,0035—0,004 «

= 0,0005 ;

Д3 — погрешность округления результата; Л, = 13,8—13,79 = 0,01;

А= 0,051 + 0,0005 + 0,01« 0,062.

Так как

Л >0,05, то последняя цифра

результата 8 — со

мнительная.

Продолжаем

округление

результата:

13,8~ 14. Новая по

грешность

есть сумма

прежней

погрешности

и погрешности

этого

округления:

Д'

0,062 +

(14 -

13,8) =

0,062 + 0,2 ^

0,27 ^ 0,3 .

Так как

Д'<0,5, цифра 4 — верная.

Результат: 14 ±0,3.

д) Вычисляем относительную погрешность, используя бо

лее точное значение абсолютной

погрешности:

0 'Л

0,02 = 2«о •

2 . 0,862 - 7,15832:

а)

Оставляем

без изменения 0,862, так как в нем 3 верные

значащие цифры, а во втором множителе — пять.

б)

Округляем

7,1583 до четырех значащих

цифр: 7,1583^

«7,158.

в)

Производим вычисления

и в результате тоже оставляем

3 значащие цифры: 0,8621582 ~44,2.

г) Вычисляем относительную

погрешность

3 =

Sj +

о , ,

где

З;

— относительная

погрешность числа 0,862;

° 1

0,0005

~0"862~

О'ШЪЭ ;

— относительная погрешность числа 7.1582, равная удво

енной погрешности числа 7,158.

Абсолютная погрешность числа 7,158 равна сумме погреш

ности

исходного

числа

7,1583 и погрешности округления:

0,00005 + 0,0003,

таким

образом,

• Д > ° 0 ° 3 5

« 0,000098 ;

о ж

0,00069^0,0007 = 0,07%.

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
22.10.202315.13 Mб47Еремин, Е. Н. Основы химической термодинамики учеб. пособие.pdf
#
29.10.20233.12 Mб10Ерзинкян Л.А. Приготовление и применение лечебного ацидофильного молока и молока Наринэ.pdf
#
29.10.20238.7 Mб8Ерин Б.Г. Контроль качества мостостроительных работ.pdf
#
30.10.202321.35 Mб15Ермолаев Н.Н. Механика грунтов. Основания и фундаменты.pdf
#
30.10.202323.7 Mб21Ермолаев Н.Н. Проектирование оснований и фундаментов справочное пособие.pdf
#
23.10.20236.67 Mб4Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие.pdf
#
24.10.20239.48 Mб21Ермолин Н.П. Расчет коллекторных машин малой мощности.pdf
#
23.10.20238.12 Mб23Ермолов Р.С. Цифровые частотомеры.pdf
#
20.10.20238.24 Mб34Ермолов, Л. С. Основы надежности сельскохозяйственной техники учебное пособие.pdf
#
19.10.20232.64 Mб8Ерофеева, И. А. Импульсные устройства на однопереходных транзисторах.pdf
#
22.10.202311.43 Mб9Ерусалимский, Б. Л. Процессы ионной полимеризации-1.pdf