книги из ГПНТБ / Ермолаева Э.Н. Элементы численного анализа учеб. пособие
.pdf§ 2.6. О Ц Е Н К А П О Г Р Е Ш Н О С Т И М Е Т О Д А И Т Е Р А Ц И И
Покажем, что абсолютная погрешность процесса итерации стремится к нулю с возрастанием п со скоростью геометриче ской прогрессии:
I Xn-\-k — Хп \ = |
| Хц+k — Хп : * |
- l |
-f- |
Хп + к-1 |
— Х„ ; ь 2 |
Т" |
Хп ' k-2 ~ |
||||||||||||
— . . . — Хп : 1 f |
Хп г 1 — Хп | |
С |
* „ |
д. - |
Хп + и-\ [ + \ Хп\ к-\ — |
||||||||||||||
— Xn + |
k - 2 | |
" И |
| *п ; |
fc-2 |
— |
ЛГл-і-Л-з |
[ + |
• • |
• |
+ |
І - |
W i — |
хп |
| . |
|||||
В силу неравенств |
(2.12) |
имеем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
і хп+к - хп |
\ < 9» (1 + ? + <?2 + . . . + |
|
|
|
! х{ |
-- х„ ; - |
|||||||||||||
|
|
J |
|
пк |
|
|
|
|
I ^ |
|
лп |
- - |
|
I v |
|
V 1 |
|
|
|
|
nil |
|
|
* |
V |
|
_ |
у |
|
" |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 _ |
q |
• ~ i |
|
~« « - |
1 _ 9 |
|
<• ' |
|
|
|
|
||||||
так как q< 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
lim л:„ |
* *= с, |
то в пределе |
получаем |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
|
* ! — * „ , . |
|
(2.13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из этой формулы видно, что процесс итерации сходится к |
|||||||||||||||||||
корню £ |
тем быстрее, чем меньше |
| «' (х) | . |
|
|
|
|
|||||||||||||
Выведем другую формулу для оценки |
абсолютной |
погреш |
|||||||||||||||||
ности. Поскольку решаемое уравнение f(x) |
|
= 0 переписывается |
|||||||||||||||||
в виде х — ? (х) |
== 0, |
то |
/ |
(х) |
= |
х — « (х), |
следовательно, |
||||||||||||
|
|
/ |
(*п) |
= |
* л |
|
- |
? |
(•*„) |
= |
Ха |
- |
|
*„., |
, |
, |
|
|
|
а так как / ( £ ) |
=* 0, |
то справедливо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
хл - |
хп,, |
|
= |
/ (*„) = |
/ |
(*„) |
-/(?) |
= |
/' |
(с) (хп |
- |
I) |
|||||||
но теореме Лагранже, где с є (хп\ д). Поскольку
/' (с) - 1 - ?' (с) > 1 - ? ,
то имеем
а в силу неравенства (2.11):
- £ _ - ! * „ . - . * „ . , • . |
(2.13') |
|
- |
1 |
> |
|
|
|
Если |
q |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
I |
с |
- |
x„ і < дгл - х„ , І . |
(2.14) |
Итак, |
формулы |
(2.13) и (2.13') имеют место при |
| 'f' (л') | < |
|||
ц < 1 , а формула |
|
(2.14) — только при |
|
|||
Вывод. Если при ! 'f' (х) | < в окрестности корня ; два
последовательных значения х„ і и хп совпадают между собой с заданной точностью г (например, для этих приближений уста новились т первых десятичных знаков), то.с той же точностью
справедливо равенство с ^ |
хп. |
|
|
|
|
Однако при -g- < |
| ъ' (х) |
| < 1 |
из неравенства |
; х„ — х„.. \ \ < s |
|
может не следовать неравенство |
| с — хп\ < г. |
Поэтому |
урав |
||
нение (2.1) желательно преобразовать в уравнение (2.8) |
так, |
||||
чтобы Ф' (х) | < ~ |
в окрестности корня. |
|
|
||
Так, в примере 2.6 |
|
|
|
|
|
3 1 (А- ; 2)-
при АГ є [1; 2], поэтому оценка погрешности произведена верно. Если уравнение j(x) = 0 переписать в виде
f(x) |
(b — x) |
, т, е. |
X = X — - ' |
|
f ( b ) - f ( x )
то формула (2.9) примет вид (2.4).
Если же уравнение (2.1) переписать в виде
х = х |
f, <*>- , т. е. ? (х) = ? ї ( д 0 = * - - Д * > - - |
го формула (2.9) превратится в формулу (2.7).
Вывод. Методы хорд и касательных являются частными случаями метода итераций.
Поэтому все выводы настоящего параграфа остаются спра ведливыми для методов хорд и касательных.
|
Так, |
если |
в окрестности |
корня |
\'i'i(x) |
j < |
, то |
в |
смысле |
|
быстроты сходимости выгоднее применять метод хорд. |
||||||||||
|
В примере 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
. л _ |
_ |
1 - |
х |
, . |
_ |
(х' + З х - 1 ) ( 1 - х ) _ |
||||
|
|
г 1 - 1 |
|
_ |
З I 2x3 |
- Зх2 |
+ 1 I |
1 |
||
|
x3 |
+ 3x — 4 ' |
• 1 v ; |
|
(x3 + 3x - 4)2 |
|
^ 2 |
|||
і:ри |
x є |
[0; 1] и поэтому заключение о точности найденного кор |
||||||||
ня |
верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
же |
в окрестности |
корня |
\ъ'.,(х) |
J *?"2~> т о |
выгоднее |
|||
применять метод касательных. Из выражения для производ ной
_£{х)Г_{х)_
следует, что метод касательных при одном и том же числе ша-
юв п тем точнее, чем меньше |
\f'(x)\ |
в окрестности корня, что |
|||
согласуется с выводами, сделанными |
ранее. |
|
|||
В примере |
2.3 |
|
|
|
|
, , , , . |
2 і х (3я — Зх - 5) |
^ 1 |
|||
1?»(*>1 = |
' |
3 ( * » - Ц ' |
|
||
при х є [0; 3], |
поэтому |
корень с заданной |
точностью найден |
||
верно. |
|
|
|
|
|
В примере 2.4 для уравнения / ( х ) =? хк — а = 0 имеем
|
» / \ |
|
k |
\ |
X. |
ее |
' |
(Х) |
= |
г |
|
|
. — , |
- К ' |
|
k |
|
|
хк |
|
откуда 'f'2 (х) % 0 |
при |
хк—а^О, |
|
т. е. вблизи корня; поэтому |
||
метод Ньютона — самый лучший для приближенного извлече ния корней, причем абсолютная погрешность вычисляется по формуле (2.14).
Необходимо отметить, что при нахождении корней уравне ния рассмотренными методами считаем коэффициенты уравне ния числами точными. Поэтому корни уравнения могут быть найдены с любой степенью точности в том смысле, что при под становке их в решаемое уравнение (2.1) можно добиться тою,
что левая часть будет практически сколь угодно мало отли чаться от нуля.
§ 2.7. В Ы П О Л Н Е Н И Е Л А Б О Р А Т О Р Н О Й Р А Б О Т Ы
Рассмотрим пример. Найти корень уравнения 3 lgx + х2—6 = 0 с точностью до четвертого десятичного знака методом итера ций.
У
Ри с . 2.16
1.Сначала определим грубо приближенное значение корня ірафическим методом. Для этого данное уравнение запишем в виде 3 lgx = 6—х2 и по нескольким точкам построим графики
кривых yi=3\gx |
и г/2 = 6—х2, учитывая, что из условия следует |
||||
х > 0 (табл. 2.2 |
и рис. 2.16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
X |
0 |
1 |
2 |
у'"П) |
10 |
Уі |
— оо |
0 |
0,9 |
1,5 |
3 |
Уа |
6 |
5 |
2 |
— 4 |
— 94 |
|
|
|
|
|
|
Абсциссу точки пересечения кривых, найденную грубо цз графика рис. 2.16: Xo~2,3, считаем первым приближением ис комого корня.
2. Приведем данное уравнение к виду |
х=ъ(х) |
|
и проверим, |
||||||
|
|
|
. // |
м |
1 |
|
|
|
|
выполняется |
ли условие | ? (Л:) | < — в окрестности корня: |
||||||||
х = | / |
6 - |
3 lg х ; |
© (х) = | / 6 |
3 Ig ж ; |
|||||
|
|
' |
(х) = |
3 • 0.43 |
|
|
|
|
|
|
|
•2хУ |
Є — |
3\gx |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
?' |
(2, |
3) |
|
3 |
• 0,43 |
|
|
|
|
2 • 2,3 | / 6 - |
3 lg 2,3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
3. Уточним приближенное |
|
|
|
|
0 |
~2,3 но фор |
|||
муле (2.9): |
|
|
|
значение |
корня |
л: |
|
< |
|
хп |
= |
у 6 — 3 lg л:„_ |
и = 1, 2, 3 , . |
|
|
||||
Так как требуется вычислить корень с точностью до четвер того десятичного знака, то согласно формуле (2.14) процесс итерации надо закончить, когда у двух последовательных при ближений совпадут четыре десятичных знака.
Все промежуточные вычисления записываем в табл. 2.3 с пятью верными десятичными знаками. Значения lg* и значе ния корня находим с помощью таблиц логарифмов.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.3 |
|
|
|
|
6 — |
l g (6 - |
• l g ( 6 - |
|
хп 1 !g хп-\ 3 l S x n 1 - 3 i g * „ _ , |
|
- 3 1 g x „ |
, ) |
||||
|
|
|
|
|
|
||
2,3 |
J 0,36173 1,08519 |
4,0148 |
0,69150 |
0,34575 |
2,2169 |
||
2,2169! |
0,34575 |
1,03725 |
4,9628 |
0,69572 |
0,34786 |
2,2277 |
|
|
|
|
|
|
|||
2.227?! |
0,34786 |
1,04358 |
4,9564 |
0,69517 |
0,34758 |
2,2263 |
|
|
|
|
|
|
|||
2,2263 |
|
0,34758 |
1,04274 |
4,9573 |
0,6952.) |
0,34762 |
2,2265 |
|
|
|
|
|
|
||
2,22:5' |
0,34762 |
1,04286 |
4,9571 |
0,69523 |
0,31762 |
2,2265 |
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, лг4 = *5 = 2,2265. Следовательно, с точностью до 0,0001 число 2,2265 является корнем уравнения 3\gx + х2—6 = 0.
К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы |
|
1. Когда применяются приближенные |
методы решения |
уравнений? |
|
2. В чем суть графического метода? |
( |
3. |
Что такое метод проб, метод половинного деления? |
||||||
4. |
Сделать вывод |
формулы метода |
хорд в случае, если |
||||
/ ( а ) > 0 , / ( 6 ) < 0 , |
а<Ь. |
|
|
|
|
||
5. |
Будет |
ли |
формула метода |
хорд |
совпадать |
с формулой |
|
'2.4), если /"(*) <0,1(a) <0, f(b) |
>0? |
|
|
||||
6. Сделать вывод формулы метода касательных для случая, |
|||||||
если f(a)>0, |
f(b)<0. |
Какой знак должно принимать произве |
|||||
дение f(xo)f"(xo) |
для |
сходимости |
метода, где х0 |
— начальное |
|||
приближение? |
|
|
|
|
|
||
7.Когда применяют метод хорд, а когда — метод касатель
ных?
8.В чем суть комбинированного метода?
9.В чем суть итерационного процесса? При каких условиях З'Тот процесс сходится?
10.Как можно геометрически истолковать процесс итера ции? Какие случаи здесь могут быть?
11.Как оценивается погрешность метода итерации? Сде лать вывод соответствующих формул.
12. Как оценивается погрешность итерации в случае, если
і ?' |
(х) |
і < 4 - |
? |
|
13. Как уравнение f(x) |
= 0 можно привести к виду х |
— ъ (л)? |
||
Однозначно ли это делается? |
Как |
надо выбирать |
функцию |
|
(х)для быстрой сходимости метода итерации?
14.Существует ли связь между методами хорд, касатель ных и методом итерации?
15.Каким методом выбирают первое, грубое приближение
корня?
§ 2.8. М Е Т О Д Л О Б А Ч Е В С К О Г О Р Е Ш Е Н И Я |
* |
А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К И Х У Р А В Н Е Н И Й |
|
Предыдущая группа методов разыскания приближенных корней алгебраических уравнений предусматривала, прежде всего, отделение корней. Этот процесс достаточно затрудните лен в случае большого числа корней и особенно при наличии комплексных корней. В большинстве же практических вопро сов, связанных с электро- и радиотехникой, нужно знать не только вещественные, но и комплексные корни.
Метод Лобачевского предоставляет такую возможность, будучи достаточно простым в вычислительном отношении и применимым к любому алгебраическому уравнению.
I. Идея метода. Рассмотрим уравнение
/ (х) == Xя + а, ж»-1 + . . . + ап = 0 , |
(2.15) |
имеющее только вещественные корни, причем
46
'•v., > -v, > . . . > ] А „ | . (2.16)
Предположим, |
|
что по |
уравнению |
(2.15) |
удалось |
найти |
|
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ • ( А ) .-== |
A " -f- Л, х" 1 + . . . 4- Ап |
= 0 |
(2. і7) |
|||
с корнями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
X ' " . — |
А''" |
А " " , |
|
|
где /// — достаточно |
велико. |
|
|
|
|||
Коэффициенты |
и корни |
уравнения |
(2.17) |
связаны |
соотно |
||
шениями |
Виета: |
|
|
|
|
|
|
Л, ; X'" |
-\- X? f |
. . . 4 X™ |
— |
А., |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
• + |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л2 |
« |
(А'| |
х2)" |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
A'J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.18) |
As |
= |
( А , А , . . . А , ) " ' 1 4- |
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
Xn—s |
• • • |
Хп |
|
|
|
|
...+ - |
. |
х. |
|
А„= |
( А , |
А , . |
..Х„Г . |
|
|
|
|
|
Если //і — достаточно велико, то, так как корпи пронумеро |
||||||
ваны |
в порядке убывания их абсолютных |
величин, дроби в |
|||||
квадратных скобках значительно меньше единицы, и прибли женно можно положить:
Л, ^ л'" ;
Л, » (xj х,)т ;
(2.19)
As » (л, х , . . . л-,.)'";
Ап =-- (х, х2 . . . хп)>" .
Далее будет показано, что т — число четное, поэтому из равенств (2.19) могут быть вычислены абсолютные величины корней:
А т ;
Д.,
| х 2 |
(2.20)
Хп А„-\
Знаки корней устанавливаются подстановкой ± | х( ( в ис ходное уравнение. Итак, чтобы найти абсолютные величины корней уравнения (2.15), нужно уметь:
—составить по данному уравнению уравнение (2.17);
—определить в соответствии с заданной точностью вычис лений необходимую величину т.
Рассмотрим каждый из этих вопросов.
2.Процесс квадрирования корней. Построение уравнения (2.17) производится последовательным ^-кратным повторени ем одного и того же преобразования: по уравнению (2.15)
строится уравнение с корнями |
\**л>Л |
|
л ] і |
Л 2 і ' ' ' ' |
п ' |
повторяя процесс со вновь полученным уравнением, получаем уравнение с корнями
( - * ? ) 2 . |
( - 4 У |
|
( - х ° п У |
|
||||
и наконец, уравнение с корнями |
|
|
|
|
||||
|
( - |
х,Г* , . . . , |
( - |
хпу |
• |
|
||
Полагая т = 2к, |
|
по формулам |
(2.20) |
находим корни урав |
||||
нения. Этот процесс называется квадрированием |
корней. |
|||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
== хп |
+ |
aiXn-i |
+ |
. . . + Д „ = |
0 |
||
— данное уравнение, а |
|
|
|
|
|
|
||
F (х) |
= |
хп |
+ |
bl х"-1 |
+ |
. . . |
+ /?„ = |
0 |
— уравнение с квадрированными корнями. Его коэффициенты определяются по формулам
bl = cf.+ 2У ( - \ y a t - s a,±s , (і = 1. 2 , . . . , и). (2.21)
Итак, і-и коэффициент квадрированного уравнения равен квадрату /-го коэффициента исходного уравнения минус удво енное произведение окружающих его коэффициентов плюс удвоенное произведение коэффициентов, их окружающих и т. д., пока не используется один из крайних коэффициентов уравнения.
Например, если / (х) = х" 4- 2хі - х3 + Зх3 + 4х - 5 = 0 ,
то коэффициенты |
уравнения |
' |
|||
F (х) |
= х5 |
+ |
X J + |
xs + |
bA х- - f Ь, х + Ь, = |
будут |
равны: |
|
|
|
|
*1 = 22 |
- 2 - 1 • ( -• 1) = 6; |
||||
|
|
- І ) 2 - 2 • 2 • 3 4- 2 • 1 • 4 = - 3 ; |
|||
ft8 = З 2 |
- 2 ( - 1 ) • 4 + 2 • 2 • (-- 5) = — 3 |
||||
. bi |
= 42 |
— 2 • 3 • ( -- 5) = 46 ; |
|||
-( -- 5)- = 25 ;
Z7 (х) = ; X ' + 6х4 - Зх3 — Зх2 + 46х + 25 = 0 . Вывод формул (2.21):
/ (х) = (х — х( )(х — х.,) . . . (х — хп) = 0 ;
|
f(-x) |
= |
(—l)"(x |
+ х,) |
(х + |
* , ) . . . ( * + |
х„) = |
0; |
|
||||
f{x) • / ( - * ) |
= |
( - |
1)" (х2 |
- х 2 ) |
( х 2 |
- х 2 ) . |
... (х2 |
- х\) |
= |
0- |
|||
Обозначая х2 через —у, получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
F (у) = |
(у |
+- х2 ) (у + х2 ) . . . (у f |
х2 ) = |
0 |
|
|
||||||
—• уравнение с корнями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
v-2 |
_ |
r 2 |
|
|
_ |
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
Л ( |
, |
Л 2 |
, . . . , |
|
лп . |
|
|
|
|
|
Проследив приведенные выкладки на коэффициентах урав |
|||||||||||||
нения, получим формулы |
(2.21): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f(x)=xlt |
+ al |
X " - 1 |
+ |
а2 хп~2 |
+ а3 |
x * ~ 3 + |
. , . + |
ап^х |
х + ап |
= |
0; |
||
4. Зак. 428. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
/ |
(— |
х) |
== ( - |
1)" [хп |
— |
|
av |
х-"-1 |
+ а2 |
х"-2 — а3 л:"-3 + |
|
||||||
|
|
+ . . . + |
( - |
I)""1 |
an-i |
х + |
( - |
1)" а„] = |
0 ; |
|
|
||||||
/ (*) / |
( - |
*) = |
( - |
1)" [*ЇЛ |
+ ( - |
А? + 2а2 ) |
х2 "-2 |
+ |
(а2 - |
2а, а, |
+ |
||||||
-!- 2 |
• 1 • а4 ) |
х9 "-4 4- (— |
а2 |
+ |
2а2 |
а4 — 2а, а5 |
4- |
2а6 ) х'5"-6 |
+ |
||||||||
|
|
|
|
|
+ . . . + (_ |
1 ) « а я ] = 0 . |
|
|
|
|
|||||||
Полагая х2 |
= —у, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F(y) |
= у |
+ |
(я? |
- |
2а,-1) |
у - » |
+ |
(а2 - |
2а, а3 |
+ |
2 a 4 - l ) y » - s |
f |
|||||
+ |
(а2 |
- |
2а2 а, |
+ |
2а, аь |
- |
2аи |
• 1) у*-* + |
. . . + а\ |
= 0, |
|||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
а2 |
— 2 • 1 • а, ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
62 |
= |
а2 |
— 2а! а3 |
+ |
2_ • 1 • а, ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
63 |
= |
а2 |
— 2а2 а4 |
+ |
2а, а5 |
— 2 • 1 • |
ай; |
|
|
|
|||||
bi = а] + 2 У ( - 1 ) 5 а , _ , й . ; + 1 .
3. Определение необходимого числа квадрирований. Пред
положим, что после к квадрирований равенства |
(2.19) выпол |
||
няются в пределах заданной точности. Тогда после, (k+ |
1)-го |
||
квадрирования они выполняются тем более. |
|
|
|
Пусть коэффициенты |
k-ro квадрирования обозначены |
Ап |
|
а коэффициенты (k+1)-го |
квадрирования — ct. |
Тогда |
|
г 1 . ^ ( х 1 х 2 . . . х і - ) 2 * ; І = [ ( х , . . . х , . ) ^ ] ^ Л 2 ,
т. е. если требуемая, точность достигнута, то коэффициенты очередного квадрирования равны в пределах заданной точнос ти квадратам коэффициентов предыдущего квадрирования. За метив это, прекращаем процесс квадрирования.
4. Случай комплексных корней. Пусть
Xs,s+i = ге±1'* — г (cos ср + і sin ?) |
(2.22) |
— пара комплексных сопряженных корней уравнения |
(2.15), |
причем |
|
I x i j > I н \ > . • • > 1 х , і = ; х , + і | > . . . > , х п і .