книги из ГПНТБ / Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении

М. А. АЛАБИН, А. Б. РОИТМАН

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ

АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ

ДАННЫХ В ДВИГАТЕЛЕСТРОЕНИИ

М осква «МАШ ИНОСТРОЕНИЕ»

1 9 7 4

А45

УДК 519.272 : 621.541

Алабин М. А., Ройтман А. Б. Корреляционно-регрессион­ ный анализ статистических данных в двигателестроеннн. М., «Машиностроение», 1974, 124 с.

В книге даны общие определения и основные формулы тео­ рии корреляции и регрессии, методики корреляционно-регрес­ сионного анализа статистических данных, примеры расчета и оценки статистической значимости параметров двумерных и многомерных регрессионных моделей. Приведена программа обработки статистических данных на ЭВМ.

Основная цель книги — изложение типового порядкаана­ лиза статистических материалов по авиационным двигателям ме­ тодами теории корреляции и регрессии для практического ис­ пользования этих методов с целью улучшения качества, совер­ шенствования методов выходного контроля, выявления зако­ номерностей процессор производства и эксплуатации серий­ ных двигателей.

Книга предназначена для инженерно-технических работни­ ков авиационной промышленности и специалистов, занимаю­ щихся применением математической статистики в технике. Она будет полезна преподавателям и студентам технических и эко­ номических высших учебных заведений.

Табл. 35, ил. 17, список лит. 31 иазв.

i

© Издательство «Машиностроение», 1974 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние годы создана последовательная и достаточно строгая теория корреляционно-регрессионного анализа стати­ стических данных, базирующаяся на современных теоретико-ве­ роятностных представлениях. Теоретические основы корреляции и регрессии изложены в работах Ю. В. Линника [6]; Я. И. Лу-

Методы корреляционного и регрессионного анализов позво­ ляют установить статистические зависимости между зависимой переменной (результирующим параметром, признаком) и неза­ висимыми переменными (составляющими параметрами, призна­ ками), оценивать статистическую значимость и степень влияния на результирующий параметр каждого составляющего ’ пара­ метра. Эти методы широко применяются в различных областях народного хозяйства, в том числе при конструировании, произ­ водстве и эксплуатации авиационных двигателей.

Классический регрессионный анализ основан на обработке результатов так называемых «пассивных экспериментов». Пред­ полагается, что исследователь ведет наблюдение за некоторым неуправляемым процессом или ставит эксперименты произволь­ ным образом, руководствуясь интуицией или удобством проведе­ ния эксперимента.

Как показано в работе [11], объективность данных много­ факторного регрессионного анализа по результатам «пассив­ ных экспериментов» зависит от ряда причин.

1.При пассивном многофактором эксперименте трудно оце­ нить ошибку эксперимента и, следовательно, нельзя достаточно строго проверить гипотезу об адекватности представления ре­ зультатов испытаний и выбранной математической модели, не­ возможно выбрать критерий для отбрасывания измерений, со­ держащих грубые ошибки.

2.Отдельные параметры-признаки могут быть взаимно коррелированы, поэтому невозможно оценить соответствующий эффект воздействия каждого составляющего параметра на ре­ зультирующий параметр.

3.В хорошо организованных производственных процессах параметры-признаки изменяются в оуень узком диапазоне значе­ ний; в этом случае исследователь оказывается перед неразреши­ мой задачей: необходимостью описать поверхность регрессии полиномами хотя бы второго порядка, находящимися в окрест­ ности одной точки.

3

г12 — коэффициент парной корреляции; г12.34... m — коэффициент частной корреляции; ■fti.234... 71— общий коэффициент корреляции;

1] — показатель корреляционного отношения;

кгс тяги в ч у Н тяги в ч

t3— температура газов перед турбиной, 0 С; h — температура газов за турбиной, °С;

^САЬ ^ сап»

ВСАШ—площадь сопловых аппаратов турбины, см2 (м2); Во — атмосферное давление, мм рт. ст. (Н/м2);

«пурт— положение рычага управления двигателем;

Увил — угол установки лопаток входного направляющего аппара­ та;

6;, А ;— радиальные зазоры или величина посадок, мм (м); rii — число оборотов ротора низкого давления, об/мин; п2— число оборотов ротора высокого давления, об/мии; а — уровень доверительной вероятности;

Sz — среднеквадратическая ошибка для малых выборок; z_— распределение Фишера для малых выборок;

т—относительная среднеквадратическая ошибка фактических данных относительно расчетных;

5

Г л а в а /

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ И РЕГРЕССИИ И ОБЩИЙ ПОРЯДОК КОРРЕЛЯЦИОННО­ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

1.1.Задачи статистического измерения связей

вдвигателестроении

При конструировании, производстве, эксплуатации и ремонте авиационных двигателей часто возникает необходимость исполь­ зования обширного статистического материала для решения ря­ да проблем без проведения дополнительных экспериментальных испытаний. Кроме того, в ряде случаев даже в результате сложных экспериментальных испытаний невозможно получить удовлетворительный ответ на интересующий вопрос из-за труд­ ности их проведения или нецелесообразности испытаний в таком объеме, по которому можно объективно оценить проявление изу­ чаемого вопроса применительно ко всем двигателям генеральной совокупности.

Для газотурбинных двигателей различного целевого назначе­ ния свойственна определенная взаимосвязь геометрических и газодинамических параметров с основными данными ^(тяга, удельный расход топлива и др.), устойчивостью и надежностью работы двигателей. Например, такая связь проявляется при изменении осевых и радиальных зазоров в лопатках ступеней компрессора и турбины, площадей проходных сечений по га­ зо-воздушному тракту и др. Степень этого проявления опреде­ ляется возможными сочетаниями геометрических и газодинами­ ческих параметров в поле технологических допусков, свойствен­ ными всем двигателям генеральной совокупности. Аналогично ■проявляется влияние на устойчивость и надежность работы дви­ гателей на летательных аппаратах условий эксплуатации двига­ телей (наработки на основных режимах, характера профиля по­ лета и др.), на вибрации двигателей — характера посадок ос­ новных элементов вращающихся масс и т. д.

7

Процесс серийного производства не может обеспечить абсо­ лютной тождественности всех выпускаемых двигателей по раз­ личным геометрическим и газодинамическим параметрам. Каж­ дая партия двигателей имеет свою комбинацию значений гео­ метрических, газодинамических параметров, находящихся в поле технологических допусков. В связи с этим для оценки ста­ бильности качества выпускаемых двигателей, поведения их в эксплуатации возникает необходимость оценки закономерностей, определяющих характер и величину изменения результирующих параметров (устойчивости и надежности работы, тяги, расхода топлива, вибраций) от изменения составляющих параметров (за­ зоров, площадей, посадок) и выявления основных факторов, влияющих на неблагоприятное изменение какого-либо результи­ рующего параметра.

Такие и ряд других задач могут быть решены методами кор­ реляционного и регрессионного анализа соответствующих стати­ стических данных.

Методы корреляционного и регрессионного анализа могут быть применены для оценки:

— влияния разброса газодинамических и геометрических па­ раметров на некоторые выходные характеристики двигателей:

— влияния конструктивных посадок элементов на отдельные свойства двигателей (влияние посадок элементов подшипников трансмиссии на коэффициент виброускорений корпусов двига­ теля и др .);

—эффективности конструктивных изменений, проводимых в процессе серийного производства;

—влияния жесткости режимов (статической, динамической, тепловой, вибрационной нагруженности) на работоспособность двигателей в эксплуатации и др.

Исходными материалами для корреляционного и регрессион­ ного анализов служат результаты замеров различных геомет­ рических параметров при сборке и ремонте, газодинамических параметров и основных данных — при испытаниях, выявления, отказов и неисправностей — при массовой эксплуатации для достаточно представительной выборки двигателей. В качестве такой выборки могут быть взяты двигатели выпуска определен­ ного календарного срока (месяца, квартала и т. п.), эксплуати­ рующиеся на линиях различной протяженности или на разных типах летательных аппаратов и др.

Методы корреляционного и регрессионного анализов могут быть применены только для таких параметров, которые при ка­ чественном рассмотрении их являются вазимосвязанными. На­ пример, статистические связи могут быть установлены между тягой, как результирующим параметром, и расходом воздуха че­ рез двигатель, коэффициентом форсирования тяги и др. — как составляющими параметрами. И, наоборот, статистические связи

8

не могут существовать между тягой, с одной стороны, давлени­ ем и температурой масла — с другой стороны и т. п.

Кроме того, применение корреляционного и регрессионного анализов основывается на следующих предпосылках.

1 . Результаты наблюдений над параметрами Ху, Х2, ..., Хт представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины.

3. Точность измерения каждого из параметров меньше диа­ пазона (предела) изменения данного параметра.

Ыа практике часто приходится иметь дело с результатами наблюдений, не подчиняющимися нормальному распределению. В этом случае всегда можно подобрать такую функцию преоб­ разования, чтобы перейти от Xi к новой случайной величине 2 = =/(A 'i), распределенной приближенно нормально. Например, многие асимметричные распределения часто удается аппрокси­ мировать нормальным законом, перейдя от случайной величины Ху к случайной величине z= ln Ху.

Второе требование также не всегда выполняется в условиях

.реальных наблюдений. Если удается найти функциональную за­ висимость а2(Ах) = ф (А !), то оказывается возможным предло­ жить такое преобразование случайной величины, которое позво­ ляет получить однородные дисперсии. Преобразования случай­ ных величин подробно изложены во многих руководствах по математической статистике [10, 16] и др.

1.2. Основные определения й обозначения

Случайная величина — величина X, представляющая ре­ зультат случайного опыта, наблюдения, замера. Определенные значения одной и той же случайной величины обозначаются как Ху (i= 1, 2, . .., k ). Случайными величинами являются зависи­ мые переменные или результирующие параметры (обозначаемые Ху) и независимые переменные или составляющие параметры (обозначаемые Х2, Х3, ..., Хт) .

Результирующими параметрами являются выходные пара­ метры, свойства, характеристика двигателя, определяющие воз­ можность использования двигателя по назначению (тяга, запас устойчивой работы компрессора и форсажной, камеры, виброус­ корения корпусов, надежность работы и др .).

Составляющими параметрами являются все геометрические (зазоры, площади проходных сечений, посадки), газодинамиче­

9