книги из ГПНТБ / Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении

нака Хх ■— единицей, а его наличие — нулем, составляем сле­ дующую таблицу распределения всех наблюдений:

В этом случае коэффициент корреляции подсчитывается по формуле (63). В качестве произвольных начал отсчета отклоне­ ний в обоих рядах удобно взять нулевое значение результирую­ щего и составляющего параметров. Тогда j = 0 и /=0 .

умножить все i и j друг на друга и на совместные частоты и по­ лученные произведения просуммировать. В результате получаем,

Таким образом, исходя из полученного коэффициента корре­ ляции, можно утверждать, что введенное мероприятие достаточ­ ной эффективности не показало.

Оценка тесноты связи между признаками при наличии кор­ реляционной таблицы может быть произведена по коэффициен­ там взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова. Значения этих коэффицентов определяются по формулам

( Л !— 1) ( А а — 1)

60

где ki — число интервалов по столбцам таблицы; к2— число интервалов по строкам таблицы;

(гг-4- 1 = > ------- --------сумма отношении квадратов частот каж­

дой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответст­ вующих строки и столбца.

Подсчет коэффициента С производится в следующей после­ довательности.

1 . Используя значения частоты для каждой клетки и итого­ вое значение частоты тех строки и столбца, на пересечении ко­ торых находится выбранная клетка, находим для последней ве-

п2ц

личину----------------. Так; для клетки, отвечающей интервалам

(«/)/(«/)( 3975—4000 по тяге и 3800— 3825 — по расходу топлива, величина

61

Полученные значения С и К свидетельствуют о наличии кор­ реляционной связи между рассматриваемыми величинами.

2.5. Определение коэффициентов уравнения корреляции

Для расчета коэффициентов уравнения корреляции (уравне­ ния регрессии), выражающегося прямой или кривой линией за­ висимости зависимого переменного A'i от независимого перемен­ ного Х2 необходимо:

1 ) выбрать подходящую форму уравнения на основе анализа корреляционного поля (корреляционной таблицы) или эмпири­ ческой линии регрессии;

2 ) составить систему нормальных уравнений для расчета ко­ эффициентов уравнения корреляции;

3) исчислить коэффициенты системы нормальных уравнений на основе расчетной корреляционной таблицы, либо на основе исходных статистических данных, представленных в табличной форме;

4) произвести переход к истинным значениям коэффициентов уравнения корреляции с учетом значений масштабов и подста­ вить их значения в исходное уравнение корреляции.

Определим коэффициенты линейного уравнения регрессии по

Для определения численных значений постоянных членов си­ стемы нормальных уравнений по исходной корреляционной таб­ лице производятся следующие действия:

1 ) находим итоговые значения (частоты) по каждому столб­ цу и строке в отдельности. Эти значения записаны в первой стро­ ке внизу и в первом столбце справа от корреляционной таблицы; 2 ) умножаем величины интервалов, выраженные в виде на­ туральных чисел, на значения частоты в каждом интервале и произведения записываем во вторую строку (столбец). Суммируя

62

записаны частоты, в правой стороне дробью вписываем резуль­ таты умножения величины каждого интервала, выраженного в натуральных числах с соответствующим знаком, на величину частоты, записанную в рассматриваемой клетке. Нижнее значе­ ние дроби соответствует произведению частоты клетки на значе­ ние интервалов результирующего параметра, (п^/), а верхние значения — произведению частоты клетки на значение интерва­ ла составляющего параметра (/г+). Так, например, для клетки, соответствующей интервалу результирующего параметра 3800— 3825 ( /= — 3) и интервалу составляющего параметра 3975—4000 (г = — 3), нижнее значение дроби будет равно 2 (— 3) = — 6 ;

5) по каждому столбцу (строке) производим сложение всех нижних (верхних) значений Пц1(пц1) с соответствующими зна­

знаком и произведение iE«,j/ (/ЕпдО записываем в пятую строку (столбец).

По приведенному порядку составлена табл. 16. Учитывая по­ рядок составления табл. 16 можно установить, что:

1 ) числа в первой строке под таблицей (в первом столбце справа) соответствуют частотам результирующего (составляю­

щего) параметра; 2) числа во второй строке снизу таблицы (во втором столбце

справа) соответствуют значениям результирующего (составляю­ щего) параметра в соответствующем масштабе ^(JCg);

63

Тогда система нормальных уравнений запишется в виде

78 = 88^'— 13^2;

18^= — 13*' + 283^а.

Решая эту систему уравнений с использованием определите­ лей, находим значения Ъо и Ьп\

С учетом этого уравнения переход от переменных х[ и х'2 к * , и Х 2 производится по формулам

= -Хм + b'QiXl — b’n Xl X 20; 1х .

Тогда

Ьа=3887+0,9881 •25 - 0,6884 — 4067 =1112;

25

Ьа = 0 ,6884 — = 0,6884.

12 25

Уравнение корреляции запишется в виде

* , = 1112+0,6884*2.

66

182= - 13/?; + 283/?+ + 176+;

Производим замену переменных + и х 2' на А4 и А+ Находим зна­

И окончательно

Xi = —35820+18,838А2— 0,00223А;.

На рис. 2 показана эмпирическая линия регрессии, прямая и параболическая линии корреляционной зависимости расхода топ­ лива от тяги.

2.6. Некоторые примеры двумерных корреляционных связей

Двумерные корреляционные связи могут быть широко ис­ пользованы для процессов серийного производства, ремонта и эксплуатации двигателей на летательных аппаратах. В этих ус­ ловиях двумерные корреляционные связи целесообразно исполь­ зовать для оценки степени стабильности качества сборки, отлад­ ки на заданных режимах различных партий двигателей, для выявления особенностей работы системы регулирования и в из­ менении параметров двигателей при переходе с одного режима на другой (например, с бесфорсажного на форсированный).

Решение возникающих вопросов применением двумерных кор­ реляционных связей связано с выявлением имеющихся законо­ мерностей в изменениях различных параметров в зависимости от выбранных результирующих параметров. Имея такие закономер­ ности, решение вопроса, например, о стабильности качества сборки, отладки может быть произведено методами математиче­ ской статистики определением существенности отличия в харак­ тере закономерностей для различных партий двигателей.

В качестве примера на рис. 3 приведены статистические за­ висимости изменения ряда параметров для двигателей одного ти­

70