книги из ГПНТБ / Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении

Из полученного уравнения видно, что тяга на рассматривае­ мом режиме тем больше, чем больше расход воздуха через дви­ гатель и чем меньше диаметр реактивного сопла. Такой вывод вполне закономерен. Относительную точность определения тяги по формуле (67) можно оценить сравнением получающегося по формуле (67) относительного изменения тяги при изменении G„ или Dc на 1% с относительным изменением тяги по каждому из этих параметров, подсчитываем по методу малых отклонений [15]..

В соответствии с уравнением (67) на каждый процент уве­ личения расхода воздуха через двигатель или уменьшения ве­ личины диаметра реактивного сопла тяга рассматриваемого ти­ па двигателя будет соответственно увеличиваться на 0,65 или 0,46%. Это примерно составляет 2/3 величины изменения тяги, которое получается по методу малых отклонений. -

Средняя величина вероятной ошибки определения тяги па формуле (67) составляет

82

где значение 1Р= 1,645 взято по табл. V [24] для Я =10% и числа степеней свободы /г = 128— 1= 127.

Вероятная средняя ошибка коэффициентов парной корреля­

мk i3h : 1,56 < 3 ,0 ;

JVlr13— 1 2

1Г13

м— К23 П' п_: 3,80 > 3 ,0 ;

Jvlr23 1 2

1— л23

Проведенный корреляционный анализ выявил относительно меньшую зависимость результирующего параметра от состав­ ляющего параметра Хъ по сравнению с составляющим парамет­

ром Х2.

Эти данные получены при надежности почти всех коэффици­

ентов корреляции.

При расчете в стандартизованном масштабе уравнение кор­ реляции запишется в виде

^1=:Р2^2+Рз^3.

83

а система нормальных уравнений в виде

P2= /‘i2— Рз/'гз;

•Рз — Пз---р2/'32-

Из этого следует, что каждый пз параметров р2, >Рз, характе­ ризующий зависимость переменного Х[ от соответствующего па­

где — среднее квадратическое отклонение зависимого пере­

менного X it а а х . и ах — переменных Х2 и Х3.

Свободный член находится после определения 612.3 и 613.2 по формуле

6и= А х 612 3А 2 613 2Л 3.

Определим параметры ранее рассмотренной линейной корре­ ляции с использованием стандартизованного масштаба.

Решая систему нормальных уравнений

р2= 0,2425— р30,3066;

Рз= —0,135— (ЗоО,3066,

получим р2= 0,3347; р3= —0,2376.

Значения коэффициентов уравнения регрессии получаются после перехода к натуральному масштабу. Тогда

ы=0,3347 ^ - = 41,89;

12'3 0,159

При расчетах в стандартизованном масштабе общий коэффи­ циент множественной корреляции исчисляется по формуле

^ 1 .2 3 = V Г2Г 12 Н- !^3Г 13-

В нашем случае

fi1M= V 0,3347 •0,2623 + ( - 0,2376) ( - 0,1356)=0,27.

Оценим параметры трехмерной линейной корреляционной свя­ зи результативного признака — коэффициента форсирования тя­ ги на максимальном режиме работы двигателя с факториальны-

84

мп признаками — значениями тяги, создаваемой основным и форсажным контурами двигателя по статистическим данным, приведенным в первых трех столбцах табл. 21 и на рис. 6 (зна­ чения тяги даны в виде разности между истинными значениями

тяги для каждого экземпляра двигателя и значениями тяги для

/е(1,= 50 % ).

д м ф.к,кгс

Рис. 6. Статистическая зависимость отклонений от номинальных значе­ ний величины тяги, создаваемой форсажным и основным контурами, от коэффициента форсирования тяги

Сиспользованием формул для парной корреляции установим,

скаким из факториальных признаков наиболее тесно связан ре­

12 1 '"30 •94,49 — 12,62 / 3 0 - 80826 — ( — 548)2

Наиболее тесная связь существует между коэффициентом форсирования тяги и тягой, создаваемой форсажным контуром

Таблица 21

£ 12,6 —548 197 —2479,1 2571,1 —58766 94,49 80826 75245

86

(i\з). причем эта связь прямая — с увеличением коэффициента форсирования тяги увеличивается и тяга, создаваемая форсаж­ ным контуром. Остальные коэффициенты корреляции — отри­ цательны, а потому связь между рассматриваемыми признаками обратная, т. е. с увеличением первого признака значения второго признака уменьшаются.

Найдем коэффициент частной корреляции /'13.2 двумя из ранее указанных способов — формулы (19), (21).

Формула (19) в этом случае принимает вид

Г13.2 V ^13.2^31.2 •

Чтобы найти b13.2, используем порядок составления системы нормальных уравнений, указанный в разд. 1.6. Для пг= 3 полу­ чаем следующую систему нормальных уравнений:

Подставляя в эту систему вместо алгебраических обозначений соответствующие числа из последней строки табл. 2 1, получаем

12,6 = 30£>о— 548612.3+ 1976132;

—2479,1 = —54860+808266i2.3—587666i.32;

2571,1 = 19760—587666i2.3+75245613.2.

Решим эту систему уравнений методом определителей. Тогда

Раскрывая каждый определитель путем перехода к более низ­ шему порядку определителей, получим для заменателя

Домам= 30 (80826-75245— 58766-58766) +548[(— 548) X

X 75245— (— 197) X 58766]+197(548-58766— 197-80826).

Окончательно получится

^1з.2= 0,0218; 612.з= —0,01603.

Чтобы найти й31.2, заменим в рассматриваемой системе нор­ мальных уравнений индекс « 1» на индекс «3» и наоборот, в ре­ зультате получим новую систему нормальных уравнений

пли систему с числовыми значениями коэффициентов

19/= 30+—548+2.1+12,6+i.o;

—58766 = — 548++80826+2.1— 2479,1 b3L2;

2571,1 = 12,6+— 2479,1 +2.1+94,49+1.2-

Решая последнюю систему нормальных уравнений, найдем

+ 1.2= 5,/4; 7^32.1 — — 1,423.

Тогда

г312 = +0,0218 •5,74 = 0,354.

Найдем значение ri3,2 по формуле (22). Подставляя в эту формулу ранее определенные значения коэффициентов парной корреляции, получим

■,962 — ( — 0,887) ( — 0,761) _ Q ggg

/ ( I — 0,8872) (I — 0,764

Определим общий коэффициент корреляции по формуле (17)

Сопоставляя полученные значения коэффициентов корреляции, можно выявить закономерность

Д1.23>/'13.2>/‘31.2-

Найдем зависимость числа оборотов на режиме малого газа от высоты и скорости полета по статистическим данным, для ко­

88

торых значения коэффициентов системы нормальных уравнений

н масштабы рассматриваемых параметров характеризуются сле­ дующими величинами:

/г= 29; V + = 210,2; V jc' = 64,05;

V + = 7,043; V - V < = 613,77; V + + = 59,3242;

^ + + = 18,6742; V + 2= 198,007; V + ’ = 2,5426; AT10= 70;

А + = Ю ; A + = 0,600.

В этих статистических данных числа оборотов на режиме ма­ лого газа представлены в виде процентов от максимального зна­ чения числа оборотов, высоты полета — в километрах, скорости полета — в виде числа М полета. Статистические данные полу­ чены для высот полета Я^ПО км при 0,600<М < 1,440 для дви­ гателя, у которого на рассматриваемых высотах полета числа оборотов на режиме малого газа больше чисел оборотов начала автоматической работы системы регулирования, а расход топ­ лива через камеру сгорания определяется производительностью топливного насоса на упоре минимальной подачи.

Система нормальных уравнений запишется в виде

210,2 = 296; + 64,050б;2 з + 7,043б;з-2;

613,77 = 64,0506; + 198,0076^ з + 1 8,6742б;з2;

59,3242 = 7,0436;+18,67426;23+ 2,54266;32.

Решая эту систему, получим

б ;= 1,487; 612 3=2,802; 6 ^ = 0 ,0 4 4 2 .

Истинное значение коэффициента 60 будет

60= 70— (10-2,802+0,600-0,0442) +1,487 = 43,44.

Зависимость числа оборотов на режиме малого газа, соответ­ ствующая рассматриваемым статистическим данным, будет

Из уравнения (68) следует, что число М в имевшемся диа­ пазоне изменения его влияет на число оборотов малого газа не­ существенно. На 20 км число оборотов на режиме малого газа будет равно максимальному значению числа оборотов для данного двигателя.

89

3.3. Некоторые примеры линейных множественных регрессионных моделей

Для любого типа авиационных двигателей можно установить многомерные корреляционные связи между большим числом ре­ зультирующих параметров, определяющих например, основные данные (тягу, мощность, удельный расход топлива), надежность и устойчивость работы (запас устойчивой работы компрессора, форсажной камеры, впброускоренпя корпусов двигателя) и со­ ставляющими параметрами (величинами параметров рабочего процесса, геометрическими параметрами в виде площадей, зазо­ ров, посадок). Иногда может вызвать трудность правильное и достаточно полное выявление всех определяющих параметров, необходимых для анализа, и недостаточная статистическая ин­ формация по отдельным составляющим параметрам, связанная, как правило, с тем, что контроль некоторых составляющих пара­ метров производится по соответствию их технологическим до­ пускам, без указания конкретной величины составляющего пара­ метра для каждого двигателя.

Ниже даются типовые примеры определения параметров уравнения многомерных корреляционных связей и анализа по­ лученных результатов по подтверждению их объективности и точности. Эти примеры составлены применительно к статисти­ ческим материалам, полученным при серийном производстве двух типов двигателей — ТВД и ДТРД и относятся к установ­ лению связи уровня вибраций турбовинтового двигателя с ха­ рактером и величиной посадок элементов опор вала воздушного винта, удельного расхода топлива ДТРД с газодинамическими и геометрическими параметрами газо-воздушного тракта и др. Естественным является то, что по приведенному порядку могут определяться корреляционные связи и для других типов двига­ телей.

1. Для турбовинтового двигателя можно установить как рас­ четами, так и экспериментальными исследованиями взаимодейст­ вие между корпусом двигателя и воздушным винтом при виб­ рациях. Так, например, вибрографирование одного типа ТВД показывает, что его отдельные элементы обладают различными частотами собственных колебаний при работе двигателя с воз­ душным винтом и без него. Это положение может быть подтвер­ ждено, например, результатами определения амплитудно-частот­ ных характеристик узлов двигателя (корпуса редуктора, лобо­ вого картера, камеры сгорания) с винтовой массой и без нее, приведенными на рис. 7 и 8. При дальнейших исследованиях двигателя была получена оценка жесткости корпуса редуктора, вала винта, опор этого вала, лобового картера, корпуса комп­ рессора на собственные частоты колебаний [27]. Наибольшее влияние на двигатель оказывают элементы конструкции узла ре­ дуктора. Установлено, что уменьшение на 45% податливости де­

90

талей узла редуктора, определяющих жесткость связи между двигателем и винтом, увеличивает расчетную частоту больше, чем на 20%. Изменение жесткости корпуса компрессора и вала винта изменяет частотную характеристику системы и снижает уровень виброперегрузок на лобовом картере в 2 раза, а на кор­ пусе камеры сгорания — в 3 раза.

Хотя ужесточение элементов двигателя эффективно сказы­ вается на снижении виброускорений, однако в процессе серий-

корпусе передней опоры

ного производства изменять жесткость их не всегда представляется возможным. Поскольку на величину вибраций оказывает влияние и взаимодействие между воздушным винтом и корпусом двигателя, а на изменение собственных частот колебаний — по­ датливость деталей узла редуктора, то возникает необходимость оценки характера посадки по подшипникам вала винта на уро­ вень вибраций в зоне рабочих чисел оборотов. Такую оценку целесообразно провести статистическим путем, поскольку экспе­ риментально это выполнить затруднительно, так как практиче­ ски не удается исследовать на разных двигателях влияние на вибрации посадок подшипников редуктора, зафиксировав другие факторы, определяющие виброперегрузки.

Типичная схема установки вала воздушного винта авиацион­ ного турбовинтового двигателя на двух подшипниках и обозна­ чения исследуемых посадок его элементов даны на рис. 9. Зна­ чения допусков на посадки установлены для серийного произ­ водства следующие:

—0,040 +0,003; +0,018sg63=sS+0,085;

—0,020s£64s^ +0,023; + 0,018s+65< +0,085.

91