книги из ГПНТБ / Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении

Ниже приведены записанные на «языке» автоматического программирования одной из широко распространенных отечест­ венных ЭВМ — «Наири-2» программы:

а) расчета линейной двумерной корреляционной зависи­ мости;

б) расчета сумм результирующего параметра и составляю-' щих параметров, сумм квадратов результирующего параметра и составляющих параметров, сумм произведений результирующе­ го параметра на каждый из составляющих параметров, средне­ квадратичных отклонений каждого параметра и коэффициентов частичной корреляции;

в) решения системы т линейных уравнений с т неизвестны­ ми (т. е. программа расчета коэффициентов многомерной кор­

реляционной зависимости bo, Ь12.34...т , &13.24 ... ?л, •■ Й1Ш.23... m-l) • Программа расчета линейной двумерной корреляционной зависимости (программа 1 ) предусматривает расчет для опреде­ ленного числа парных значений ТЛ п Х2 (в данном случае взято 30 таких пар). Изменение числа парных значений X i п Х2 дости­ гается за счет перебивки шапки и операторов 3 и 11. Принятые соотношения в буквенных обозначениях в книге н используемых

в машине «Напрп-2» приведены в табл. 1.

Программа 1

ап

10-11-1973 г. 1 «Наиры» i = 30xy /=126rtn -

1 допустим г'= 1-<-

2 допустим г = 0 л = 0 м= 0 ш = 0 s = 0-<— 3 допустим 2 = 30-<— 4 введем

8вычислим ш = ш-|-.к|<—

9ВЫЧИСЛИМ S = S - j - y 2<—

10 вставим i = l+l-*~

* В программах 1, 2, 3 знак «< -» означает оператор «Возврат каретки».

30

11если i—31 <4-«-

12вычислим \ = }/ ((ш/г) — (r/z)2)«—

13вычислим 81 = ]/"Ц5/2) — [л/zf) —

14 вычислим Ч|2= ( (u/z) — ( (гл)/г2) ) <-

15вычислим Ь12= (м /(г62) ) — ( (гл)/(22бг) )-*-

16вычислим Ь0= (л— b12r)/z-^-

17печатаем 86i624i2bobi2-f-

18кончаем

исполним 1-<—

Для расчета многомерной корреляционной зависимости ис­ пользуются программы 2 и 3. Обе они составлены для корреля­ ционной зависимости четвертого порядка (т = 4). Некоторое ус­ ложнение программы 2 вызывается тем, что ЭВМ «Наири-2» не воспринимает операторы типа Хи, X2i и т. п., т. е. операторы, у которых первый индекс — цифра, а вторая — буква (i, j, k).

Программа 2 также предназначена для 30 сочетаний значе­

Если необходимо изменить порядок корреляционной зависимо­

раторе 4 количество АД равно числу сочетаний СА,_i - Принятые обозначения приведены в табл. 2.

Таблица 2

Программа 2

ап

10-11— 1973 г. 2 «Наири»

31

i = 3 0 x y z t у'= 44глмбча-«-

1допустим i= l-«-

2допустим Г4= 0 г2= 0 г3= 0 г4= 0-с—

7ВЫЧИСЛИМ Г2= Г2+ £/;-*-

8вычислим r3= r3+ z,~<-

9ВЫЧИСЛИМ Г4= Г4—^|-<— 10 ВЫЧИСЛИМ Л1= Л|4-Х; ■*-

11вычислим л2= л 2+ г/]^г

12ВЫЧИСЛИМ Л3= Л3+ 2?-«-

13ВЫЧИСЛИМ Л4= Л4+ ^±Г

14ВЫЧИСЛИМ Mi = Mi+.Vj(/i-<—

15ВЫЧИСЛИМ М2= M2+ .VfZ,-«-

16ВЫЧИСЛИМ М3= М3+ Xitj-<—

17ВЫЧИСЛИМ M4= M4-j-tjiZi-*-

18ВЫЧИСЛИМ М5= М5+ г/1-г'г-«-

19ВЫЧИСЛИМ Мб= М6+ 2,-^-«- 20 вставим г = £ + 1-<—

21 если t—31 < 5-е—

22 ВЫЧИСЛИМ 8Х= У (Л1- Г^

23вычислим 8а = / ( л 2-г |)« -

24вычислим 8з = 1/ (Л з -г 1)>

25вычислим 84= 1/(л 4- г 2)<-

26печатаем 86i626364-*-

27вычислим ч]2= (Mi—(г4г2) )/(6i62)-<-

28вычислим ч13= (м2—(г±г3)) / (6i63)

29вычислим 4i4= (м3—(г4г4) )/(6164)

30вычислим ч23= (м 4— (г2г3) )/(6263)-«-

31вычислим ч24= (м5— (г2Г4) )/ (6264)

32вычислим ч34= (м6— (г3г4))/(6364)-<-

33вычислим ац=1 a42= r2 ai3= r3 ai4= r4 aio= rr«-

34вычислим a2i= r 2 а22= л2 а23= м 4 a24= Ms a2o=Mj-«

35вычислим a3i= r3 а32= м4 азз= л3 а34= Мб а3о=м2-<

36вычислим а4[ = г4 а42= м 5 а43=Мб а44= л 4 а4о=м3-1

37печатаем 8 Ч)2Ч13Ч14ч23ч24ч34-<-

38печатаем 8 anai2ai3a14aio-t-

39печатаем 8

40печатаем 8 a3ia32a33a34a3(r<—

41печатаем 8 a4ia42a43a/i4a4o4—

42кончаем

исполним 1-«-

После вычисления значений ^ Лг1, V Х г, ^ А ^ , V X mt

для получения коэффициентов многомерной корреляционной за­ висимости bo, Ьи.34...т, ^13.24 ... .......... blm,23...m-l НвОбхОДИМО р е -

шнть систему т линейных уравнений с т неизвестными, в каче­ стве которых и фигурируют коэффициенты многомерной корре­ ляционной зависимости.

Для этой цели служит программа 3, в которой используется стандартная подпрограммарешения системы линейных уравне­ ний (оператор 8). В данном случае программа предназначена

(31"), то коэффициенты уравнения регрессии могут быть опре­ делены, например, для трехмерной корреляционной зависимости, по следующим уравнениям:

Определение коэффициента регрессии Ь12 уравнения прямой линии вида Xl= b0 + bl2X2 может производиться по одной из сле­ дующих формул:

Порядок определения членов правой части указанных урав­ нений аналогичен порядку, приведенному в разд. 2.4, для вычис­ ления значений коэффициента корреляции.

1. 8. Оценка правильности формы уравнения регрессии

Оценка адекватности выражения (27) производится сравне­ нием дисперсионного отношения Фишера с табличным его зна­ чением, которое с определенной доверительной вероятностью да­ ет нижний предел этого отношения. Значение F подсчитывается по формуле

где X 1 = l f L .

п

Если Е > Е табл, то считается, что выражением (27) правильно определяется поведение зависимой переменной.

В некоторых случаях используется показатель адекватности, называемый среднеквадратическим относительным отклонением, который имеет вид

34

По формуле (45) оценивается относительная среднеквадратическая ошибка расчетных данных относительно фактических на стадии определения формы модели, а по формуле (46) опре­ деляются пределы, в которых могут находиться фактические дан­ ные относительно расчетных при использовании данной модели. Эта формула применяется на стадии, когда форма модели оп­ ределена.

Важным этапом оценки правильности формы уравнения рег­ рессии является анализ значимости составляющих параметров, которые рассматриваются взятой моделью, и выявление на ос­ новании этого «лишних» параметров. «Лишние» параметры за­ теняют влияние основных параметров, ухудшают оценочные по­ казатели, особенно при малой информации.

Оценку степени влияния.каждого составляющего параметра, входящего в модель, можно производить:

а) по показателю Д, указывающему изменение результирую­ щего параметра под влиянием максимального размаха исходной информации /-го параметра.

Этот показатель имеет вид

— для линейной модели:

очень слабо. Отношение — — выявляет наименьшее влияние ка- ■^ост

кого-либо составляющего параметра. Однако условие ——- > 1 не

•^ост всегда свидетельствует о том, что рассматриваемый параметр не

«лишний»; б) окончательно решить вопрос о степени влияния каждого

составляющего параметра можно с помощью частного корреля­ ционного отношения

где I]2— квадрат нескорректированного корреляционного отно­ шения, рассчитанный по формуле (24), но без поправ­

ки в S2 ■

ост’

Л (у)'— такой ж е коэффициент для модели с исключением /-го п ар ам етр а.

Dj

модели определить минимальное значение отношения —— для •^ост

дополнительного параметра и проверить значимость его коэффи­ циента ту. Это повторяется до тех пор, пока влияние всех пара­ метров, включаемых в модель, не будет значимым.

Так как неизвестно, не будут ли значимыми отбрасываемые на ранней стадии исследований модели составляющие парамет­ ры в другой совокупности составляющих параметров, то, начи­ ная со второго этапа отбрасывания «лишних» параметров, нужно вводить их снова в модель, проверяя значимость. Это, естест­ венно, увеличивает объем расчетов, но при использовании ЭВМ такой порядок не вызывает существенных затруднений.

1.9. Оценка точности, надежности и гарантийных границ параметров корреляционной связи

Значение коэффициента корреляции, получаемое по данным случайной выборки, не характеризует в полной мере тесноту свя­ зи между рассматриваемыми параметрами. Достоверность, на­ дежность полученного значения, гарантийные границы, в котот рых с определенной (приемлемой) степенью доверия будет нахо­ диться истинное значение коэффициента корреляции, могут быть определены для случая, когда распределение коррелируемых случайных величин достаточно близко к нормальной форме, по следующей схеме:

— находится среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции ог:

1 - Л12 .

— вычисляется величина t:

t = ^ . °Г

Если 3, то можно считать, что вычисленный коэффициент корреляции является достоверным;

— определяется по таблице значений функции Лапласа зна­ чение абсолютного нормального отклонения tp, соответствующее выбранному значению уровня доверия. Тогда гарантийные гра­ ницы для коэффициента корреляции будут

36

При малом числе наблюдений (п<30) среднеквадратическая ошибка находится по формуле

Величина этой ошибки может заметно отличаться от действи­ тельного значения средней ошибки. Определение средней ошиб­ ки коэффициента корреляции на основе весьма колеблющейся эмпирической величины коэффициента корреляции дает постоян­ ную погрешность, уменьшающую значение коэффициента корре­ ляции в генеральной совокупности.

При рассмотрении вместо коэффициента корреляции вели­ чины

было установлено [14], что распределение этой величины мало зависит от численности выборки и от значения коэффициента корреляции в генеральной совокупности, быстро приближаясь к нормальному распределению при возрастании числа наблюде­ ний. Для малых выборок можно принимать приближенно z-pac- пределение за нормальное с дисперсией

Благодаря этому величину z удобно использовать для вероят­ ностей оценки выборочного значения коэффициента корреляции, позволяющую и при малочисленных наблюдениях пользоваться таблицей значений интеграла вероятностей. Для этого достаточ­ но по таблице значений z определить z, соответствующее полу­ ченному коэффициенту корреляции, и затем вычислить значение

величины t, как отношение t к его средней ошибке — - 1 .

V п— 1

Используя z-преобразование, можно в вероятностном отно­ шении оценить разность между коэффициентами корреляции для двух независимых, случайных выборок. В этом случае ошибка разности для величин zL и z2 может быть определена по фор­ муле

корреляции случайна.

Для примера оценим существенность различия между значе­ ниями коэффициентов корреляции /'1= 0,876 и /'2= 0,719 для двух

37

независимых выборок с числом наблюдений /гх== 100 и «2=150. Пользуясь табл. I [24], находим значения z2=l,3587; zo= 1,0959.

О 9fi98

Тогда !4rfz~0,131; / ^ ^ ^ - s 2 , 0 . B таблице интеграла вероятно­

стей такой величине t соответствует вероятность 0,8545. Таким образом, вероятность того, что разность между значениями двух коэффициентов корреляции, обусловленная случайными ошибка­

выборки, для которых вычислены коэффициенты корреляции, взяты из имеющих разную корреляцию совокупностей.

В связи со случайным характером статистической информа­ ции определенный по ней коэффициент корреляции может быть отличен от нуля и для тех переменных, между которыми и не должно быть корреляционной связи. Следовательно, для провер­ ки гипотезы об отсутствии корреляции необходимо проверить, значимо лн получаемое значение коэффициента корреляции от нуля.

Поскольку значение коэффициента корреляции для генераль­ ной совокупности случайных значений неизвестно, то проверяется гипотеза об отсутствии корреляции для этой генеральной сово­ купности. Для этой цели используются таблицы квантилей Z- распределения, зависящего только от количества сопряженных пар .наблюдений. По этим таблицам находится значение выбо­ рочного коэффициента корреляции для определенной довери­ тельной вероятности в предположении, что корреляция в гене-

38

ральнои совокупности случайных значений параметров отсутст­ вует. Сравнивая это значение с произведением абсолютного зна­

чения коэффициента корреляции на ]/"п — 1 , устанавливают зна­ чимость выборочного коэффициента корреляции. Если величина

Так, для /г= 26, /'=0,793 произведение \г\Уп— 1=3,96.Если это число больше табличного значения даже для р = 0,999, то корре­ ляционная связь между параметрами существует.

Аналогично тому, как это было приведено для коэффициен­ та корреляции, оцениваются надежность и находятся гарантий­ ные границы корреляционного отношения, для которого средняя квадратическая ошибка вычисляется по формуле

и коэффициента регрессии, для которого средняя квадратическая ошибка будет

sx, УI — г2

(54)

sx? -/п

Смысл этой формулы может быть уяснен, если представить квадрат ошибки коэффициента регрессии

DxSxt

В числителе формулы квадрата ошибки фигурирует остаточная дисперсия значений зависимой переменной, характеризующая их колебания около линии регрессии, в знаменателе — сумма квад­ ратов отношений значений независимой переменной. Ошибка тем меньше, чем меньше остаточная колеблемость значений за­ висимой переменной по отношению к колебаниям значений не­ зависимой переменной. Иными словами, величина ошибки коэф­ фициента регрессии определяется случайными колебаниями зна­ чений зависимой переменной около линии регрессии, для которых в общей колеблемости этой переменной тем меньше, чем точнее определена линия регрессии.

Проверка статистической значимости i] при малой инфор­ мации проводится по z-преобразованию Фишера:

так как ^-распределение близко к нормальному уже при малом

39