книги из ГПНТБ / Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении

Таблица 30

Как видно из рассмотрения табл. 30—33 (из сравнения коэф­ фициентов множественной корреляции т]), наиболее точно опи­ сывают взаимосвязь параметров выражения (83) и (86). Однако в этих выражениях имеется существенная парная корреляцион­ ная связь между параметром Ро (этот параметр существенно свя-

113

В с в я з и с э т и м ф о р м у л ы ( 8 3 ) и ( 8 6 ) р е к о м е н д у е т с я п р и м е ­ н я т ь с у ч е т о м о т м е ч е н н ы х о с о б е н н о с т е й .

Л и ш е н ы н е д о с т а т к а , у к а з а н н о г о в ф о р м у л е ( 8 9 ) , ф о р м у л ы ( 8 2 ) и ( 8 5 ) , х о т я в е л и ч и н ы F и -ц у н и х н е с к о л ь к о н и ж е , ч е м в ф о р м у л а х ( 8 3 ) и ( 8 6 ) . Ф о р м у л ы ( 8 2 ) и ( 8 5 ) м о г у т б ы т ь р е к о ­ м е н д о в а н ы д л я и с п о л ь з о в а н и я в у к а з а н н о м в т а б л . 2 9 д и а п а з о н е и з м е н е н и я п а р а м е т р о в . П р и э т о м , н а п р и м е р , ф о р м у л у ( 8 2 ) м о ж ­

З д е с ь а — д о в е р и т е л ь н а я в е р о я т н о с т ь .

П р е д с т а в л е н и я р е ш е н и й в ф о р м е б е з р а з м е р н ы х п а р а м е т р о в ( 8 1 ) и ( 8 4 ) м е н е е т о ч н о о п и с ы в а ю т п р о ц е с с п о т е р и у с т о й ч и в о ­ с т и п о с р а в н е н и ю с д р у г и м и п р е д с т а в л е н и я м и .

Ш

Таблица 33

Яср

В заключение следует обратить внимание на два обстоятель­ ства.

Построение регрессионных моделей произведено по резуль­ татам «пассивного» эксперимента. Объем экспериментального ма­ териала можно уменьшить, применив методы планирования экс­ перимента.

Полученные формулы можно обобщить на более широкий диапазон изменения параметров, применив методы теории раз­ мерностей.

3. 5. Сравнение результатов корреляционно-регрессионного анализа при двух формах математической модели

При конструировании и доводке авиационных газотурбинных двигателей нередко возникают вопросы, связанные с изысканием эффективных конструктивных мероприятий по снижению уров­ ня вибраций двигателя. Для этих целей приходится применять

Рис. 15. Конструкция опор роторов ГТД со специальными элемен­ тами, снижающими уровень вибрации:

а—с упругим кольцом; б—с пластинчатым демпфером; <?—типа беличьего колеса; г—с гидродинамическим демпфером

специальные демпфирующие устройства (рис. 15) в виде упругих колец (а), пластинчатых демпферов с тонким слоем рабочей жид­

Но наряду с этим естественным является и снижение вели­ чины вибраций за счет соответствующего выбора величины и характера посадки упругих элементов двигателя.

Решение таких задач приводит к необходимости привлечения теории нелинейных колебаний к исследованию многоопорных ро­ торов, взаимодействующих с корпусом двигателя. Дополнитель­ но к этому при наличии большого статистического материала достаточно эффективными в решении таких задач могут ока­ заться методы корреляционного и регрессионного анализов.

П 6

Рассмотрим решение таких задач на примере опоры ротора авиационного газотурбинного двигателя, в узел которой введено упругое кольцо (рис. 16). Обычно упругое кольцо 3 устанавли­ вается между гладким кольцом 2, которое садится непосредст­ венно на внешнюю обойму подшипника 1 ротора двигателя, и стаканом 4 статора. Статистические данные по замеру величины вибраций на 188 двигателях на двух режимах работы приведены в табл. 34.

Будем определять влияние посадок упругого элемента толь­ ко на вибрации с 1-й роторной частотой, предполагая, что уро­

ределяющим уровень вибраций двигателя.

Применимость к поставленной задаче корреляционного и ре­ грессионного анализов правомерна по следующим соображе­ ниям:

—вибрации двигателя существенно зависят от посадок дета­ лей в узлах подшипников [18];

—распределения виброперегрузок двигателей и посадок уп­

ругих элементов представляют собой усеченное нормальное рас­ пределение;

— в процессе серийного производства всегда можно обеспе­ чить необходимый объем статистического материала.

Результаты расчетов по определению характеристик линей­ ной и логарифмической трехмерных корреляционных связей для двух режимов работы — малого газа и основного режима и по оценке достоверности принятых моделей приведены в табл. 34.

Линейное уравнение корреляционной связи для режима ма­ лого газа на основании табл. 34 может быть записано в следую­ щем виде:

117

Таблица 34

Параметры трехмерной корреляционной связи виброускорений двигателя с посадками упругого кольца опоры

Модель и параметр связи

Как следует из табл. 34, коэффициенты регрессии bi2,з и й13.2 статистически значимы, причем на уровень вибраций большее влияние оказывает посадка 6з : р3> р 2- Полученная величина дис­ персионного отношения (Т7=1,18), характеризующего степень адекватности уравнения регрессии, невелика. Однако в некото­ рых случаях следует ограничиваться малыми значениями вели­ чины F, так как принятие соответствующего решения в процессе серийного производства может основываться даже при условии получения сравнительно небольшого улучшения результирующе­ го параметра от вводимого мероприятия. Поэтому, если удается обеспечить достаточно большую представительность выборки, то результатами, подобными рассматриваемому, не следует пре­ небрегать при условии, что последующая экспериментальная проверка подтверждает статистические выводы.

118

Если задаться сравнительно небольшим уровнем статистиче­ ской значимости а ~ 2 0 % , то оказывается, что уравнение (90) статистически значимо. Необходимо иметь в виду, что здесь и в дальнейшем оценка статистической значимости была проведена по приближенно подсчитанным значениям ЕТабл, так как обыч­ но для значений а > 1 0 % величины /ч-абл в статистических спра­ вочниках не приводятся.

Знаки при коэффициентах регрессии — отрицательны. Это означает, что для уменьшения величины вибрации необходимо увеличивать величину натяга по обеим посадкам.

статистической значимости при уровне доверительной вероятно­ сти а = 20 %, а также величины средних арифметических значе­ ний результирующего и составляющих параметров и среднеквад­ ратических отклонений, характеризующих соответствующие рас­ пределения случайных величин.

Применение логарифмической модели к статистическим дан­ ным для режима «малый газ» позволяет получить уравнение рег­ рессии в следующем виде:

119

Здесь так же, как и для линейной модели, коэффициенты рег­ рессии статистически значимы и входят в уравнение регрессии со знаком минус. Однако следует отметить, что F ^ > F л. л и г|л> > ilл. л, т. е. линейное уравнение регрессии точнее описывает связь

влияния большинства составляющих параметров, изменяющихся в поле допусков по техническим условиям, на результирующий параметр удовлетворительно описывается линейными членами многомерного ряда Тейлора. Этот вывод также подтверждается сравнением значений коэффициентов парной корреляции: г,-л>

> Гi Л.л-

Для зависимости «виброперегрузки— посадки упругого коль­ ца» на основном режиме работы двигателя при уровне статисти­ ческой значимости сс ~ 2 0 % получаем следующее линейное урав­

садки упругого кольца».

На рис. 17 показаны сглаженные гистограммы распределения коэффициентов виброперегрузок двигателей на режиме «малый газ» и основном режиме для различных видов посадки упругого кольца. При исходных посадках упругого кольца съем двигате­ лей со сдаточных испытаний по дефекту «повышенный коэффи­ циент виброперегрузок по первой роторной гармонике» дости­ гал 25%. Изменение посадки упругого кольца обеспечило смещение максимума (моды) кривых распределения вибропере­ грузок в область малых значений.коэффициента виброперегрузок и снижение съема двигателей с испытаний до 7%. Дальнейшее увеличение посадок по упругому кольцу не привело, как это вид­ но из рис. 17, к эффективному изменению кривой распределения виброперегрузок. По-видимому, это объясняется тем, что суще­ ствуют оптимальные значения зазоров в опоре и эффект от даль­ нейшего увеличения зазоров становится незначительным.

Приведенные примеры многомерного корреляционно-регрес­ сионного анализа статистических данных свидетельствуют о воз­ можности и целесообразности использования его на этапах соз­ дания, серийного производства, эксплуатации авиационных дви­ гателей. Имеющаяся на этих этапах корректная статистическая информация позволяет получить объективные результаты кор­

120

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Бернштейн С. Н. Теория вероятностей. М., Гостехиздат.

2.Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В. Курс теории вероятностей п

математической статистики. М„ «Наука», 1969, 511 с.

5. Езекиел М., Фокс К. А. Методы анализа корреляций и регрессий. М. «Статистика», 1968, 558 с.

4.Крнстинь О. П., Гайле И. Э., Лейерте А. А. Методологические вопро­ сы корреляционного анализа. Экономико-математические модели. Изд. АН

СССР, 1969, № 2, с. 78—92.

5.Линдберг Р. Корреляционное исчисление. Рига, 1968.

6.Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-ста­

тистической обработки наблюдений. М., Фнзматгнз, 1962, 3-19 с.

7.Лозинский С. Н. Сборник задач по теории вероятностей и математи­ ческой статистике. М., «Статистика», 1967, 127 с.

8.Лукомский Я. И. Теория корреляции и ее применение к анализу произ­ водства. М., Госстатиздат, 1966, 375 с.

9.Миллс С. Статистические методы. М., Госстатиздат, 1965, 799 с.

10.Налимов В. В. Применение математической статистики при анализе

вещества. М., Фнзматгнз, 1960. 430 с.

11.Налимов В. В., Чернова Н. А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М., «Наука», 1965, 340 с.

12.Программы по математической статистике для ЭВМ «.Минск-22», М.,

Гиредмет, 1969, 216 с.

13.Румшинский Л. 3. Элементы теории вероятностей. М. .«Наука», 1966,

155 с.

14.Фишер Р. А. Статистические методы для исследователей. М., Госстатиз­ дат, 1958, 266 с.

15.Черкез А. Я. Инженерные расчеты газотурбинных двигателей методом

малых отклонений. М., «Машиностроение», 1965.

779с.

18.Григорьев Н. В. Нелинейные колебания элементов машин и соору­

№2, с. 60—67.

20.Коренев В. Г., Шейнин И. С. Устройство для гашения колебаний ме­ ханических систем. Авторское свидетельство № 1,51532.— «Бюллетень изобре­ тений и товарных знаков Госкомитета по делам изобретений и открытий

СССР», 1962, № 21, с. 49.

21. Красников А. С., Ройман А. Б., Лукьянов С. С. и др. Устройство дйя демпфирования механических систем. Авторское свидетельство № 187454.— «Официальный бюллетень ЦНИИ патентной информации», 1966, № 20, с. 170.

122