книги из ГПНТБ / Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении

могут быть приведены к виду выражения (27). Прологарифми­ ровав выражение (28), получаем

При представлении численных значений зависимого и неза­ висимого переменных в стандартизованном масштабе уравнения регрессии имеют вид

тизованной переменной tu соответствующее заданным значениям i2, t3, .. ., tm. Коэффициенты |32, Рз, •••, Pm показывают, на какую часть значения сигмы изменилось бы среднее значение зависи­ мого переменного, если бы соответствующий параметр увеличил­ ся бы на одну сигму, а прочие составляющие параметры остались без изменения. Поскольку все переменные выражены в сравни­ мых единицах измерения (сигмах), то коэффициенты р2, Рз . . .,

. . ., Рпг показывают сравнительную силу влияния изменения каж­ дой переменной на изменение зависимой переменной.

Коэффициенты уравнений регрессии определяются решением системы нормальных уравнений. Порядок составления и реше­

20

Для логарифмических уравнений регрессии выражение (30) запишется в виде

2 (^l ' ^0 ^12.34. . . т ^ 2 ^13.24 3 m f ~ 111'П.

Приравняв нулю первые частные производные по неизвестным параметрам bj, после элементарных преобразований можно по­ лучить систему нормальных (т— 1 ) уравнений:

(31)

bo 2 ^ + V 34...m 2 Х **т + ^3.24...mУ , Х 3Х„

+ ь 1тМ. . . ^ У 1х т2 = У 1х тх 1.

Дополнительно составляем уравнение вида

иЬ 0-\- Ь12 3i_ т 2 Х 2 -\~ ^13.24...т 2 “Г ^lm.23...;n—12 ^ т = 2 ^

1.6. Составление системы нормальных уравнений для любого числа неизвестных

Система нормальных уравнений для т неизвестных состав­ ляется следующим образом.

1. Выписывается уравнение регрессии без свободного члена в форме отклонений от среднего значения каждой случайной ве­ личины. Такое уравнение будет иметь вид

2. Каждый член уравнения (32) умножается на коэффициент первого члена, т. е. на .г2. Тогда получается новое уравнение

3. Постоянные коэффициенты каждого члена уравнения (33) записываются в форме суммы по числу наблюдений. И тогда первое уравнение системы нормальных уравнений будет иметь вид

^12.34...т 2 Х 2~*Г ^13.24.. . т 2 Х 2Х 3 + •••■ ■^lm.23...m —l 2 Л*2Х т — 2 Х 1Х &

(34)

21

Таким образом, порядком, указанным в пи. 3, 4, получается система нормальных уравнений с (т— 1) неизвестными для оп­ ределения всех коэффициентов регрессии. Последним уравнени­ ем является уравнение, по которому определяется свободный член уравнения регрессии, представляющий собой разность меж­ ду средней величиной результирующего параметра и суммой про­ изведений средней величины каждого составляющего параметра на соответствующий коэффициент регрессии:

Аналогично указанному порядку может быть составлена си­ стема нормальных уравнений и для случая, когда расчет ведется с использованием абсолютных значений случайных величин. Эта система имеет вид

+* l » . 2 3 . . . » - l 2 ^ = 2 ^ 1 '

Система нормальных уравнений при использовании стандар­ тизованного масштаба имеет вид

22

Из этого следует, что каждый из параметров (32, (Зз, •• Рш, ха­ рактеризующий зависимость результирующего параметра от со­ ответствующего составляющего параметра, равен коэффициенту парной корреляции результирующего параметра с одним из сос­ тавляющих параметров за вычетом влияния остальных состав­ ляющих параметров, действующих косвенно через влияние на этот параметр. Абсолютная величина параметра позволяет су­ дить об относительной силе влияния каждого составляющего па­ раметра; знак минус указывает при этом на обратную зависи­ мость.

Параметры уравнения корреляции в натуральном масштабе вычисляются по, формулам

Свободный член уравнения корреляции после определения зна­

—алгебраическим решением;

—механизированным путем с использованием ЭВМ. Наиболее достоверные результаты, особенно при решении

системы из четырех и более уравнений по большому количест­ ву наблюдений, могут быть получены только на ЭВМ.

Алгебраическим путем целесообразно решать системы с чис­ лом уравнений не более четырех. Первый путь алгебраического решения заключается в том, что дополнительными преобразова­ ниями обеспечивается решение уравнения с одним неизвестным,

23-

а идя в обратном , порядке, находят значения всех остальных неизвестных. Второй путь алгебраического решения основан на использовании определителей.

Ниже приведены типовые порядки алгебраического решения следующей системы уравнений (записанной в форме отклонений от среднего значения каждой случайной величины):

Ввиду сравнительной громоздкости решения указанной си­ стемы уравнений в общем виде, произведем ее решение приме­ нительно к следующим уравнениям:

Для нахождения значений коэффициетов 612.з4; 613.24; 614.2з над уравнениями последней системы производятся действия в сле­ дующем порядке.

1. Все члены уравнения (а) делятся на постоянный коэффи­ циент при 612.34, а знаки заменяются на обратные

2. Все члены уравнения (а) умножаются на абсолютное зна­ чение коэффициента при втором члене уравнения (а')

3. Из уравнения (а'') вычитается уравнение (б)

4. Делим все члены уравнения (г) на коэффициент при пер­ вом члене

5. Умножая все члены уравнения (а) на абсолютное значе­ ние коэффициента при третьем члене уравнения (а'), т. е. на

4,545:

6. Вычитаем из (6) уравнение (а"')

24

7. Умножаем все члены уравнения (г) на коэффициент при втором члене уравнения (г'), т. е. на 0,3206:

8. Складываем уравнения (г") и (г'")

60,676&14.2з= —84,654.

Тогда

^14.23= — 1,395.

9.Подставляем Ьц.23= — 1392 в (г')

*>13.24 + 0,32(— 1,392) =2,757.

Отсюда

циентов £12.34, £13.24, £14.23 в уравнение для определения свобод­ ного члена, получим

6о=—213.

Тогда искомое уравнение регрессии, представляющее собой зависимость тяги на максимальном режиме от расхода воздуха через двигатель, диаметра реактивного сопла, температуры газов за турбиной, будет иметь вид

£>= — 213 + ЗО0В+ 3,2047*- 1,39а .

Система уравнений (а), (б), (в) может быть .решена и дру­ гим способом.

Разделим все члены каждого уравнения на коэффициенты при одной и той же неизвестной величине. Осуществляя это по отношению к £12.34, будем иметь

£12.34+ 2,666£13.24 + 4,545£i4.23 = 32,182;

£12.34— 29,227£13.24— 5,682^14.23= — 55,738; £12.34—3,333£i3.24+ 6,666614.23= 9,999.

Вычитая из второго и третьего уравнений первое, получим си­ стему двух уравнений с двумя неизвестными

31,893£i3.24+ 10,227£i4.23— 87,920;

5,999£ i3.24— 2,121 £14.23= 22, 183.

25

Тем же путем преобразуем эту систему к виду

При алгебраическом решении системы уравнений вторым путем неизвестное значение каждого коэффициента уравнения регрессии находится как частное от деления двух определителей. Составление и решение определителей осуществляется в следую­ щем порядке.

1. Вначале составляется определитель знаменателя, предст ляющий собой все члены левой части системы уравнений, на­ писанные в табличной форме:

2 Х22 ХйХ3..... ■2 Xn-x 'i

2 Л*2Л'з 2 Х3 ‘ ’' ~

Дэнам

^ Х3Хт Х3Хт" - 2 -^

2. Определитель числителя получается из определителя зн менателя заменой всех членов столбца при определяемом зна­ чении коэффициента уравнения регрессии на соответствующие значения членов правой части системы уравнений. Тогда, напри­ мер, определитель числителя для нахождения коэффициента 612.34... т будет иметь вид

3. Производится решение определителей высших порядков тем постепенного перехода к определителям более низших по­ рядков, используя следующее свойство: определитель порядка т равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраическое дополнение.

Алгебраическое дополнение некоторого элемента есть минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент,

26

есть число четное и с обратным знаком, если это число — нечет­

пересечении которых расположен этот элемент.

Таким образом, например, из определителя 3-го порядка по­

Получаемые в конечном итоге определители второго порядка ре­ шаются по схеме крест-накрест, т. е.

У4 У л'за4 =У4У 4-(У-

УА' з А'4 у 4

Покажем на примере предыдущей системы уравнений поря­ док определения коэффициентов уравнения регрессии.

27

= 106,2 [(-257,2) 100 - ( - 5 0 ) (— 50)] +490,5 [8,8 •100 - 15 ( - 5 0 )]+

+ 150 [8,8 ( - 5 0 ) - 15 (-257,2)];

Д ' = - 1 6 8 4 7 4 9 .

^ЧНСЛ

Аналогичным путем находятся определители числителя для

^13.24 ( Д ч„сл ) И ^14.23 ( Д ч и с л ) :

Правильность определения коэффициентов проверяется под­ становкой их значений в одно уравнение из системы уравнений.

Система нормальных уравнений может быть решена также и

вследующем порядке.

1.Определяется сумма квадратов разностей численных значе­ ний результирующего параметра и среднего значения этого па­ раметра и такие же суммы квадратов для каждого составляю­

щего параметра:

■ ^ = 2 ^ — 7 + + С22^ ( Х 2- Х 2Г ,......

2. Определяется сумма парных произведений разностей ре­ зультирующего параметра с каждым составляющим параметром и сумма парных произведений составляющих параметров:

4. Решение этих систем, например, с помощью определи лей, позволяет получить для каждой системы уравнений значе­ ния неизвестных величии А2; А3\. ..; Ат:

28

5. Находим значения коэффициентов уравнения регрессии по соотношениям

^1т.23...т—1 = а т2 ^ 1 2 “ Г ^ т Э ^ З “ Г ■••“ Ь a m nfiLnr

Покажем порядок составления и решения системы уравнении

Решение этой системы позволяет получить первую пару зна­ чений Л2 и Л3:

а 22= 0,3328; n23= —0,011402.

Вторая система уравнений будет иметь вид

3,3062Ла + 8,812Л3 = 0; I

8,812Ла + 257,25Л3= 1 . |

Решение этой системы позволяет получить вторую пару зна­ чений Л2 и Л3:

Тогда

*12.34= 0,3328-106,23+ (—0,011402) (—490,5) =40,94;

*13.24= (— 0,01141) 106,23+0,00428 (— 490,5) = — 3,31.

Для определения параметров корреляционно-регрессионных зависимостей механизированным путем составляются программы применительно к «языку» соответствующего типа ЭВМ.

29