книги из ГПНТБ / Алабин М.А. Корреляционно-регрессионный анализ статистических данных в двигателестроении

значение ее для данного режима, а для остальных параметров— делением абсолютных значений параметра для каждого двигате­ ля на среднестатистическое значение параметра, соответствую­ щее номинальному значению тяги.

двигателя могут быть оценены значением тяги, на которое отла­ живается двигатель при стендовых испытаниях. При изменении величины тяги в поле технологического допуска изменяются п все взаимосвязанные параметры.

Двумерный корреляционный анализ может быть использован для получения уточняющих коэффициентов к формулам приве­ дения параметров двигателя к стандартным атмосферным усло­ виям. Как известно, атмосферные условия сказываются главным образом через температуру и влагосодержанне воздуха. По­ скольку в пределах возможного изменения атмосферных условий на земле влияние температуры и влагосодержанпя воздуха на параметры двигателя сравнительно невелико, то связь между зависимыми и независимыми переменными величинами следует считать линейной.

В тех случаях, когда изменение влагосодержанпя воздуха в рассматриваемой статистической информации незначительно и вариация результирующего параметра от неучтенных причин сравнительно невелика, определение уточняющих коэффициентов к формулам приведения целесообразно вести по суммарному влиянию на них температуры и влагосодержанпя воздуха. В этих случаях значения коэффициентов регрессии по влажности воздуха могут оказаться неправильными не только количественно, но и качественно — по знаку влияния. Это происходит от того, что слишком .мала вариация влагосодержанпя в воздухе и влияние влажности оказывается пренебрежимо мало по сравнению с ва­ риацией результирующего параметра под влиянием других при­ чин (точность замера, к.п.д. элементов двигателя и др.).

Поскольку значения уточняющих коэффициентов сравнитель­ но невелики, а численные величины их должны быть в достаток ной мере объективными, то к статистической информации, ис­ пользуемой для их определения, предъявляется ряд требований.

Статистическая информация должна быть достаточно пред­ ставительной — определение уточняющих коэффициентов долж­ но вестись по статистической информации не менее чем для 50 двигателей. Все эти двигатели должны быть равномерно распре­ делены в рассматриваемом диапазоне температур наружного воздуха и должны быть одинаковыми по конструктивной компо­ новке.

При привлечении к рассмотрению статистических материалов по двигателям, проходившим испытания на разных испытатель­ ных стендах, необходимо установить отсутствие разницы в сред­

72

них значениях одноименных параметров между выборками дви­ гателей, испытывавшимися на разных стендах. Для вероятност­ ной оценки существенности разницы двух выборочных средних подсчитывается значение величины t по формуле

где X iiiX i — значение параметра у двигателей основной выбор-

Определение уточняющих коэффициентов следует вести по статистическим данным тех выборок, для которых ^<3,0.

Для более правильной оценки величины уточняющего коэф­ фициента необходимо исключить из статистической информации все те отдельные значения каждого параметра, которые уклоня­ ются от интервального среднего значения более чем на За.

Для того чтобы все принятые к рассмотрению двигатели бы­ ли геометрически подобны, необходимо все данные, полученные по обычным формулам приведения на каждом отдельном двига­ теле, привести к единым значениям площадей сопловых аппара­ тов турбины, реактивного сопла и других регулировочных эле­ ментов, которые используются для получения основных данных двигателя в поле технологических допусков (углы установки на­ правляющих аппаратов компрессора, величина степени расши­ рения газов на турбине и др.).

Определим значение уточняющего коэффициента к формуле приведения давления воздуха за компрессором по статистиче­ ским данным, приведенным на рис. 4. Значения р2 соответству­ ют одинаковым значениям регулировочных элементов для всех двигателей на рассматриваемом режиме работы.

Из статистической информации исключаем два двигателя с /92= 8,32 при ^в=18 и 2 Г С , поскольку отклонение этих значений от среднего значения интервала температур ^в = 18-т-22° С боль­ ше За. По аналогичной причине исключаем из рассмотрения два

отклонениям случайных значений от среднего значения каждого параметра коэффициент регрессии Ью определится из уравнения

V (X, - X J { Хг - Х 2)= Ьъ 2 (*а - Х гГ

73

Т огда

л = J Z B ® L = — 0,002136.

х“ 14356

Значение Ьа найдется из уравнения

Ьа — Х 1 Ь12Х 2.

Тогда

Ь0= 8,44— (— 0,002136) 272 = 9,021.

Уравнение регрессионной зависимости давления воздуха за компрессором от температуры наружного воздуха запишется в виде

Рг = 9,021 — 0,0021 ЗбГв.

р2 ,кгс/см2

Рис. 4. Статистическая зависимость приведенных значений дав­ ления воздуха за компрессором от температуры наружного воз­ духа

Уравнение этой прямой нанесено иа рис. 4.

Приведенное значение давления воздуха за компрессором при подсчете по формуле с уточняющим коэффициентом найдется по уравнению

Важно не только определить корреляционные связи различ­ ных типов, но и оценить изменение этих связей во времени. Кор­ реляция рядов динамики имеет свои особенности — появляется еще один компонент, называемый трендом.

Линию трендов в ряду динамики можно уподобить линии регрессии. Если линия регрессии представляет собой плавное

74

изменение зависимой переменной под влиянием изменений неза­ висимой переменной независимо от действия всех не учтенных в данных условиях причин, то и линия трендов характеризует плавное изменение явления во времени также независимо от случайных отклонений.

Тренд, выражая общее направление, происходящее во вре­ мени, изменения данного явления, вместе с тем определяет и за­ висимость между членами динамического ряда. Эта зависимость, определяемая формой линии тренда, имеет ту же статистиче­ скую природу, что и зависимость между членами ряда, образую­ щего линии регрессии. Она может быть представлена в виде так называемой автокорреляции, которая статистически выражает­ ся в зависимости между соседними членами ряда.

Форма линии тренда наиболее правильно может быть опре­ делена статистическим путем — аналитическим выравниванием. Такое выравнивание ряда динамики, как и определение линии регрессии, основано на применении способа наименьших квадра­ тов. Поскольку линия трендов определяется для независимых переменных и для зависимой переменной в отдельности, то для всех рядов она определяется путем аналитического их выравни­ вания, например, по формуле прямой линии

0-1—& ( 66)

где t — единица времени (месяц, квартал, год).

Таким образом, для определения линии тренда необходимо решить систему нормальных уравнений

’Ea — a0n-\-alTjt-,

a l t^ a o Z t+ a ^ t2.

Если вычислить отклонения от найденного тренда эмпириче­ ских данных, то тренд исключается. Такие отклонения, представ­ ляющие кратковременные колебания в «чистом» виде, могут быть затем скоррелированы. Коэффициент корреляции между отклоне­ ниями от трендов вычисляется по следующей формуле:

г =

Изменение коэффициента корреляции рядов динамики может быть определено с помощью так называемой переменной кор­ реляции между рядами, представляющей серию скользящих ко­ эффициентов корреляции. При вычислении скользящего коэффи­ циента корреляции выбирается в сопоставляемых рядах динами­ ки какой-либо интервал скольжения и для него определяется первый коэффициент, затем после отбрасывания первого члена интервала и присоединения к интервалу следующего за ним

75

члена ряда, определяется второй коэффициент и т. д. По серии скользящих коэффициентов корреляции можно получить инфор­ мацию об изменении тесноты корреляционной зависимости меж­ ду сопоставляемыми рядами динамики во времени: на каком отрезке она усиливается или ослабевает.

Определим коэффициенты линии трендов для двух взаимо­ связанных параметров.

Линия трендов в этом случае для каждого параметра имеет вид

Xi = a.o-\-bix.

Подсчет коэффициентов системы нормальных уравнений для каждого параметра приведен в табл. 18 и 19.

%R

На основании табл. 18 нормальные уравнения для первого параметра будут иметь вид

46591 = 12a1+786li ;

■302841 =78a,+6506li.

На основании табл. 19 нормальные уравнения для второго параметра будут иметь вид

76

Таблица 19

тDc

6557= 12a2+78bi,;

42662 = 78«2+6506iу

Решая эти уравнения, получим

7?= 3890— 1,41т; 7)с= 545+0,Зт.

По этим уравнениям можно подсчитать для каждого квар­ тала теоретические значения параметра. Эти значения записаны в крайнем правом столбце табл. 18 и 19.

На графиках (рис. 5) видно, что отклонения от тренда в ряду одного параметра соответствуют в большинстве случаев откло­ нениям другого параметра в ту же сторону. Это свидетельству­ ет о прямой корреляционной связи между обоими параметрами. Для вычисления коэффициента корреляции между отклонениями от трендов составляем табл. 20.

Следовательно,

г = ------ -------------=0,186.

/279,8-15,61

Полученные линии трендов для рассматриваемых взаимосвязан­ ных параметров показывают, что с течением времени характер

77

изменения этих параметров противоположный: уменьшение тяги происходит при одновременном увеличении диаметра реактивно­ го сопла. За 12 кварталов тяга уменьшилась на 15,4 кгс, за этот

78

Глава III

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК И НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ МНОГОМЕРНЫХ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ

3. 1. Общий порядок расчета многомерных корреляционных связей

Основой для расчета многомерных корреляционных связей является соответствующим образом подобранный статистический материал, который представляется в виде таблицы, где один столбец включает значения результирующего параметра, а каж­ дый из последующих столбцов — взаимосвязанные значения со­ ставляющих параметров. От числа составляющих параметров зависит степень многомерности корреляционной связи и способ решения системы нормальных уравнений. При числе составляю­ щих параметров не более четырех система нормальных уравне­ ний может быть решена одним из способов, указанных вразд. 1.7, а при большем числе составляющих параметров решение систе­ мы нормальных уравнений наиболее целесообразно производить только на ЭВЛ\.

Исходя из того, что, как правило, все многообразие возмож­ ных корреляционных связей может быть описано либо линейной моделью, либо одним из видов логарифмической модели в на­ стоящей главе расчет характеристик многомерных связей ведет­ ся только применительно к этим видам моделей.

В общем виде расчет характеристик многомерных корреля­ ционных связей ведется в следующем порядке:

—на основании известной или ожидаемой формы влияния составляющих параметров на результирующий выбирается рег­ рессионная модель — линейная или логарифмическая. Если эта форма связи недостаточно ясна, то расчет начинается с линей­ ной модели с последующим переходом к логарифмическим. Со­ ответствующей оценкой полученных характеристик многомерных корреляционных связей для выбранных моделей окончательно устанавливается форма связи;

—составляется система нормальных уравнений в соответст­ вии с рекомендациями разд. 1 .6, и ее решением определяются численные значения коэффициентов выбранной модели;

80

— оцениваются полученные результаты регрессионного ана­ лиза, определяются «лишние» составляющие параметры. Опре­ деляются п оцениваются коэффициенты новой модели регресси­ онной связи без «лишних» составляющих параметров.

Далее дается порядок определения коэффициентов уравне­ ния корреляции для простейшей (трехмерной) многомерной кор­ реляционной связи и для высших многомерных моделей и поря­ док оценки точности и надежности получаемых численных зна­ чений коэффициентов. В примерах, относящихся к трехмерной модели, приводится аналитическое определение коэффициентов уравнения корреляции различными способами. В примерах, от­ носящихся к высшим порядкам модели, главное внимание уде­ лено получению и анализу уравнений регрессии на этапах опыт­ ной доводки, серийного производства и массовой эксплуатации.

3.2. Определение коэффициентов простейшего линейного уравнения корреляции

Простейшая многомерная статистическая связь может быть записана одной из формул (27), (28), (29). Система нормальных уравнений для простейшей многомерной связи может быть ре­ шена по полным статистическим данным или по статистическим данным, измененным на величину выбранного масштаба. Поря­ док выбора масштаба является таким же, как и для случая дву­ мерных корреляционных связей.

Определим коэффициенты уравнения корреляции для стати­ стической зависимости тяги от расхода воздуха через двигатель и диаметра реактивного сопла, статистические параметры кото­ рой характеризуются следующими величинами:

, 1 = 1 2 8 ; * 2 ( - ^ 1 . — ^ i ) a= 5 0 7 7 9 ; V ( X 2 _ ; ? 2) * = 3 ,3 0 6 ;

У № - х2)(х3- х а)

=0,0688;

81