книги из ГПНТБ / Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие]

I0~!l2 -чаоовых лекций спецкуроа

"Теория Нетера",

который читает-

оя в течение, семестра студентам

четвертого курса,

специализирую­

Н.И.муохелвшвили [ 1 6 ] ИЛИ Ф.Д.Гахова

[ 8 } ,

Некоторые сведения иа функционального анализа приведены в

книге вместе о подробными ооывками на литературу.

После изучения данного руководства читатель мовет присту­

пить к чтению специальной

литературы

По теории Нетера. С этой

целью в первую очередь следует рекомендовать фундаментальное

исследование

И.Ц.Гохберга

и М.ГЛСрейиа (.5),

монографию

Д.Пшевор-

окой-Ролевич и О.Ролевича

[ 1 9 ] , а

танке многочисленные

журналь­

ные статьи,

обзор которых

оделвн в

книге

[Ц],

Автор благодарен Ф.Д.Берковичу,

В.А.Какичеву, Н.К.Карала»

1.

Замкнутость и полнота

[ в ] , гл . П.п.2.1,

стр.18-19}

И . 2 . 6 ,

стр.17j

ГЛ. I , | Ё ,

стр . 18,

14, стр.29-32.

2,

Банахово

проотранотво

[ в ^ , гл.П, п . ВИ - Е .4,

сир.52-5?

i>3],

ги.1,

§ 2,

отр.68-71.

Линейные

функционала

[ в ] , гл . П, §1,

п.1.1,стр.96;

13,.

гл.Ж, §3,

стр.143-145.

4.

Вполне

непрерывные операторы

[ в ] , г л . 1 5 , I 2,

п . 2 . 1,

с т р .

2/6;

ГЛ. ХЕ,

§ 1,

п.1.1-1.4, оТр.439-448}

[l3],

гл . Ц ,

$ 1,2,

отр . 261-286.

4

5.

Сопряженное

пространство

8

р гя . Т , п.1,2,

с т р . 1 4 5 -

147}

[l3],

гл . Ж,

§ 4,

отр.147J ГЛ,ВГ,

§ 3,

стр.196-199.

6.

Сопряженный! оператор

[ в ] , г л . П ,

п.3.1,3.2,

стр«

279-282; [13|, г д . И , $ 3, отр.201-204.

7.

Обратный оператор. Левы»

и правый

обратные опера­

торы

[ в ] , гл . Г,

n.2«3s

стр . 154-158; М.Щ,

п.1.1, стр.419;

[l3J

,

г л . Ж , § 5,

отр* t53-157}[e], гл . 1) § 1, стр..22-27*

8.

Теоремы

Фредгольма для интегральных

уравнений

в т о ­

рого

рода

[14J ,

r j i . i ,

§ 12, отр.77-80;

[ir] ,

гл . I ,

§ 6,7,

о т р .

36-42.

9.

Теоремы

Нетёра для сингулярных

интегральных

уравне­

ний о ядром Кошй

[16J,

гл . П,

§ 44-54,

стр . 156-187}

[з|,

ГЛ.П,

5 20-25, стр . 166-229.

10.

Прямая

сумма подпространств

[13] ,

гл.ТГ,

§ 1, стр .

63-64;

6

,

г я . I

, § 1,

п.1, стр.19-22.

11. Фактор-проотранотво

[18],

гл . И ;

§ i,

стр. 64-65;

[ 8 ] ,

гл. Ж ,

п.

1.8,

стр.

420-421.

Б.

Некоторые теоремы

I .

Пуоть Т

-

вполне

непрерывный

оператор,

действующий в

банаховом проотранотве

о областью значений,

принадлежащей

банахову

пространству E f c

. Тогда для уравнения ( I +Т)эС=1| ,

где

I

-

единичный оператор, X € Е,,, Ц£. Е^,

справедлива теория

Фредгольма [ i s ] ,

гл . Л ,

§ 2,

стр.

268-287.

I L

Пусть -[ЗСы]

-

некоторое

множество

элементов

банахова

пространства

Е

И

{^J\

-

множество

линейных

ограниченных

функционалов,

определенных

На пространстве

С .

Эти два множе­

ства

наоываютоя

биортогональными,

если

| i ( X i )

= l

при

t - j .

и |

i, ( X i ) =

0

при

I ф |

. Имеют Место следующие утверждения:

t.

Пусть

£А

• Хр^уь.*

- произвольная линейно-невави-

сяиая

система

элементов

пространства £

, тогда существует

биорто-

ряженном

пространстве (~ найдутся

такие влёментн ^ Д „ , , ^ ,

, что

О

ери i

Ф \

2.

Пусть | 4 , ^ , . . » » | ^ , -

проиввольнай

лянейно-невавн-

симая

оистема линейных ограниченных функционалов над простран­

ством

Е I

тогда в Е

найдутся тавив Элементы З:^ »ЗГ*

ОС»,

для которых

выполняются

соотношения (0.4) [13], стр. 205*210»

-

6 -

Ж. Теорема Банаха. Если линейный ограниченный оператор В

отображает вое банахово

пространство Е-) на все банахово прост­

ный оператор

В

» обратный

оператору

(3

,

отображающий

Е^,

на Е^ [ I S ] ,

ГЛ.Ж, §

5,

стр .

159.

U .

Пусть

линейный

ограниченный

оператор В

отображает бана­

хово

пространство

Е

в

себя

и

||В!1^^Л1

. Тогда

оператор

}+|3

инеет

обратный

линейный

ограниченный оператор

[13],

гл . Ж,

§ 5, стр. 156-157..

Ж.

Пуоть

в банаховом

пространстве Е

задано

линейное

много­

образие

) (

и

элемент

Х 0

€

X

•

находящийся

на

расстоянии

Тогда

оущеотвует

функционал

f

(Х%

определенный

воюду

на

Е

и

такой,

что

\(Х)~0

для

Х е Х »

f- (0Со )=1

[ и ] ,

гл . П ,

§

I , стр.

177|

t e l .

г л . И ,

п . 2 . 8 , отр, 186.

И,

Боли

для

элемента ЗС

банахова

пространства

Е.

и

всех

функционалов

t-

, определенных

на этой

пространстве, выполнено

соотношение

^ ( Х ) = 0

',

то

9 С = 0

[в],

гл .

П ,

п . 2 . 2 , отр. 186.

Ш .

Если

пространство

Е

бесконечномерно,

то

единичный шар

s Р

не

компактен

[ ю ] ,

гл . И ,

§

6,

1 ° , отр.

222-228.

Ж .

Если

А

-

вполне

непрерывный

оператор,

отображающий

банахово

пространство

Е>(

в

банахово

пространство

Eg/

,

то

соп­

ряженный

оператор

А

,

отображающий

Е&

в

Ел>

такие

вполне

непрерывен

[ i s ] ,

г л . XT,

§

I

,

стр. 266-£б7;

[ 8 ] ,

г л .

П ,

п.

З Л ,

отр.

288.

П .

Если

А

-

линейный

ограниченный оператор,

ннояество

Д | .

-

g

необходимо

и достаточно,

чтобы

Q ( X ) — О

для

всех

X

,

являющихся

решениями

уравнения Д Х г О

[ в ] ,

гь.ЮГ,

п . г . 4 ,

стр.

435.

X. Коли

L

- подпространство

банахова

пространства

£" и

коразмерность

подпространства |_>

конечна,

то

L i

nueetf прямое

дополнение

в

Е ,

т . е .

E = U M ,

г д е / Л

-

подпространство

пространства

£ .

При

втои dim

М

=

Aim

[б],

г л . 1 ,

§ 1, стр . 20.

Ссылки на приведенные теоремы обозначаются в тексте следую­

щий

образом:

Б I ,

Б I I и т . д .

-

в -

§ 1 .

Определения

Uycib

и Ej„ ~ банаховы пространства,• Е < ^ Ёа.^ -

Расонотрим

уравнение

решения

уравнения (1.1)

называются

нулями.оператора В .

мнояеотво нулей оператора Б>

нааываетоя ядром оператора В и обо»

начаетоя fceX 6

или Л е » ) .

г

множество кет

В

линейно

и

замкнуто1.

а) В ^ О ^ + с ^ О С ^ о Л

В Х - т + О ^ В х ^ О

.еслиВх^О,

В Х ^ - 0

|

,

- комплексные поотоянные|

б). »сли

В х п

= 0

и Cim

Х п =

Х ° , то

«

0 « Ь т ' В Х п = В ( ^ Х . ) = : В Х °

Таким обрааом,

|тет

В

- подпространотво банахова

пространства

Число

линейно

независимых

нулей

оператора £ )

, точнее —

размерность

подпространства

K£Z В

,

называется первым дефект­

ным числом

оператора В

и

обозначается

-

9

~

о ( = . d i r n

Кет. В

^ '

Рассмотрим неоднородное уравнение

B X r ' y .

(i„2)

Оператор (3

i

а вместе о ним и соответствующее

еиу уравнение

(1.2)

называется

нормально

разрешимый,

воли

в

пространстве

£ ^

, сопряженном

с

» существует

(быть

может, пуотое)

множество J\f

( Б )

функционалов

Z,

, таких,

что для раз­

решимости, уравнения

(1.1)

необходимо и достаточно,чтобы

£ ( < | ) = О Д я я в о е х Г е ^ С В ) .

Множество JV

( d)

называют

коядром оператора О и

обозначают

Элементы

мноиества

оно

будет

подпространством

пространства

Е^»

называемым де­

фектным

подпространством оператора В . Его размерность

обоз­

начается так:

flltm

C-oJce Ь В = j?>

и называется

вторым де­

фектным

числом

оператора В .

Упорядоченная пара

(Ь)

чисел oi

и

|Ь

называется

дефектной

характерно тиной,

или коротко;

c i -

характеристикой

оператора

В

,

а Число ЭС =.сЧ- ^

-

его индексом. Индеко

^

cLi-m

-

сокращение латинского

слова

Д л м е п з Ь о г ъ

-

размерность.

? ^

В § 5 будет

показано, что для операторов

НетераС©1сетВ=

s.

( с е ъ В

, где Б

- оператор,

сопряженный с Е> .

Отсюда

вытекает

замкнутость c o f c e i

Б

• для таких

опера­

торов.