книги из ГПНТБ / Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие]

-

70

-

Уравнение

разреаи-

мо при всех

^(t)t-

Elg^ » т . а .

^>(В)-0 . Оператор

В

в

атом

случае

обратим.

1йли

зе

'

|(t) = ( t - t 0 f k t )

Д ( ш С ( я , Й , f e * o д

ъ Ф Д

-n>i

то

опять

о( (8»}-Ф» Условие разрешимости уравнения

^

&(t)X(t)- 'y(t)

состой! в требовании ^Ш^С*)]

£(![0,&3.

8хо

означает,

что ^J(t)

должно

предотавлятвОй

в гиде

где

^J(t)

I а

значили Cj^ft) = T(t) £ |{t )

принадлежит

проо«рвно1ву

С [ $ Д З

* Оператор В

в этом олучае

не являет­

ся

нормально

разрешишь

тан как его образ не вамкнут.

В самом

Л в « , полога

Xfctt)* t*{\t-Ы*+

^) £ С [ 0 . , Й

; К ^ , 1 Г : 7

«огд*

(t) а f t o (t- tbfL

+ - L )

f J w

в .

Последовательность

{ ^ к }

сходитоя

в пространстве

В самом

деле,

.

71

_

Можно показать, что интегральный оператор

третьего рода

5 t { C [ a , S ] - | C L a - , & l )

с

непрерывный ядром %{t7§)\

В X

«

(Ь - t 0 f

XCt) + \ К

(t, 5) OCCS) A S

-

также имеет незамкнутый образ.

4.

пусть

В Х - )__0С к Тк з1=^..-,™ j

1 = № Г ) Ц

' l j

=

В

х

— ("^

^jjL,«..^jw).

Оператор

- В

действует »э

YL-

мерного

евклидова пространства

«

" t t i - йерное — Е ^ ,

Рассмотрим

уравнение

В х р ^

, где Ч| в ( ^ j . . >^м)(г

Е*Л

т . е . сиотему

W

линейных

алгебраичеояях

уравнений

о t t -

неиз­

вестными

^

Луоть

' I

-

ранг

матрицы

|jtU«ii

.Тогда 1 4

W i n ( m / n ) .

Однородное

уравнение

fc2.~0,

сопряженно» ti (45si}» s пред­

положении,

что Ctj.nr

-вещественные числа И проотранства

и

Имеемееи: С*с {(В)b j =^ ПY l--1' .l * ,* 1

)~П\-Ч,?&ти обравом,

Условие разрешимости системы (45.1) можно записать в виде

([1VJ,

отр. 58)

V ~

J?

-

П

' *

к

~~

*

где

-х

9-

Л -

любое

решение

однородной систем»

1'

5 '"7

Г1 У

(ii.'d).

Таким

образом,

В

- оператор

Нетора. В частной

случае,

когда Vn=.'VV ,

В

будет

оператором

Фредгольма.

5.

Пусть

Н

-

пространство

функций Х С ^ )

, авалитиче-

ских в единичном круге

и таких, что

»

Известно,

что функции

пространства

Н

имеют

почта

всюду на

единичной

окружности

предельные значения

' Х ( в ^ )

тавив» что

функция

суммируема.

Иуоть

— Н ^

^^wjjt^j^^)- вртмгрвнсвига коишгеис-

нозначных функций

^j-(t)

« определенных та едитгичний окружности

модуль

которых

суммируем о квадратом, т . « .

,,'оть оператор

ставит

в зарисич.адъ от пункции

0C{Z)iH

••• предельное

значение

на единичной

окружности:

/

^ = 3 C ' ( t . )

.•юродное уравнение

13 ,|Х - 0

в сишу теоремы

единственности

млитических функций

имеет

единственное

решение

J1 ~0

,

•эдователыю,

Ы{?)^-

О . Условия

разрешимости

неоднородного

апнеиия

В

4

Х =

^

имеют вид

CLu = 0 , К = - 1 , - Я . , . . - ,

I t M

мяратор

нормально

разрешим,

но

j ^ £ P > , | ) " ° < ~' -

Пусть

P 3

i

- оператор, который ставит? зерисимость

от •] л

( и ) ^

}-|

предельное

значение

ее вещественной части на

-

73

-

единичной

окрукности:

у< = ftcX(t),

'

у Р а в н е

" и е

имеет

решение X = LCt

С - произвольная

дей­

ствительная

поотоянная, следовательно, сС(Bilj-i

• Условие

раврешимости

неоднородного

уравнения З^Х^)

у-€

,

состоит в

выполнении

равенства

Ohb ^

- О •

Это уоловие можно записать в виде

Угп

й0=0,

CL«-0iK=O,

H = /,t,>.,

( 1 5 . 4 )

где

CLk

определяются формулой (16 . 3) . Подставляя зна ­

чения

из

(16.3) в (15 . 4),

получим

Оператор

$

%,

^нормально

разрешим,

но

^(Sb)'**0*

6.

Пусть

-

банахово

пространство

функцийх(Ц,

определенных на гладком замкнутом контуре

и

удов ­

летворяющих

условию

Гельдера

с п о к а з а т е л е м ^ ^

0<еС</

'

lx(tf)-xlt*)\<

A

Iti-til*

}

A^const.

Норма в

/У Л

имеет

вид

,

Обозначим

через

Lit'

tlMZ

,

MX

подпространство

пространства//^ .

состоящее

из элементов

X-*(t)& Ч^

, являющихся

пре­

дельными

значениями

Функций,

аналитических в

области $ +

(внутренность *С ).

Через

Н&

обозначим

подпрост­

ранство пространства

Н^

,

состоящее

иа

элементов

,

являющихся

предельными

-

74

*

значениями функций,

аналитических

в

обдаоти

Т}~ (внешность

) и исчезающих на беоконачнооти,

Хорощо известны

одедующие

факты

Ц 8 ] ,

[ 1 6 ] ) :

1 ° . Если #(.£>& Н<*

• 1 0

ФУНКЦИЯ

при условииj ню %

отремитоя к контурной точка Х- по любому

пути кв облаотаЯ

ооотватотвенно.

9 ° . * и и

0ОД<Иу то имеет меото представление

причем функции

(t) *

Я£

Ct)

определяввдн по ЭСЙ:)

ахянопевшш ^бравом! t£1 '(t)

*

T + Ct)

, X I t ) « T"Ct) .

на гладкой эамкнутой .гривой ^

без

самопереоеченай. Пуоть

<X{t)

j ^ ( " t ) £

Н

^ '

^

• Справедливы следующие

факты:

([12], [16], [18}):

1 ° .

Оператор

является

ограниченным

во

всех пространствах!"!^

; О с ^ i;

1 •

2 ° .

Оператор

S

инволютивен: S

— 1

»

В". Оператор

С

г

м ,

при U(t)£- N^t

вполне

непрерывен во воех пространствах Ц'-^

4 ° . Если

\ T ( t ) £ - » 1 0

оператор

умножения

на функцию!/^);

гГхьггс^хш

ограничен во

воех

пространствах

Мд

о

[X

^

•

Из свойств 1° и 4°

вытекает, что оператор

В

ограничен

во

всех

пространствах

Запишем

оператор

В,

в

виде

и

рассмотри»

ш р а

д е

н > I - g S ) ( q +

g $ ) = a 1 - 6 V В Т а -г £ T g S ;

(a

I +

g S ) ( a

-

g S) =: a S

6 1 -

B T Q + B T e S .

<is.f i >

-

78

-

В: силу

свойств i°

и

Ь°

операторы

Бполне непре­

рывны в

любом

пространстве

о

<

^

. Если Ob*"—Е

=£0,

то из (15.6) следует, что

оператор

= [о&-

ё^У

(<3-б5)будет

одновременно левым и правым регуляриэатором оператора В

» т . е .

В -

оператор

Нетера,

Можно показать,

что

условие о5"— S8" ^

О

является

и необходимым

для

нетеровооти

оператора

В .

Применим

теорему

4.10

к вычислению

индекоа рассматриваемого

оаератора

В<|

•

Покажем,что втот

оператор

гомотопен (ом. § 10,

стр.

52)

оператору

Во

« имеющему

вид J

где

Yb

определяется

формулой

( ДдЧ*

- приращение.функции

Ц'СО

П Р И

полном

обходе

контура

"X. в положительном

направлении).

Семейство

операторов

о помощью которого

осуществляется

гонотопия

операторов

В с

и

В 4

,

можно

задать

следующей

формулой:

Bft)=(Ut"e*M t t )bO-t, , ea , l W )S,

^де

однозвачная

наХ.

функция

определяется соотношением

''

V,"'. ~ *

^

* Оператор

\5УЛ)

-

нетеров

для 0<^4l

,

так

как

0| д *

— Е>х

¥

О

( М л

-

I •+

• t

,

| я

=

^ _ t * e 1

M t

) ) ,

В ( о ) ^ в 0 р

в и ) - В , .

Структуру

оператора

Ц>00 легко'-понять,

если

заметить,

что

уравнениям а)

В 0 Х = ^ , б)

В „ Х = 0| и в) В Л С С = ^

соответствуют

в той не порядке

задачи Римана:

По теореме 4.10

имеем

Индекс операто­

ра Во

находим, решая

соответствующую

вадачу Римана (15.8)

методом

аналитического

продолжения

°*Р. 121 ) • он ока­

зывается

равным чиолу у\, , определенному

соотношением (15.7).

В силу взаимной однозначности соответствия между решениями

уравнений В 0 Х = ^

и задачи (15 . В), а)

-заключаем,

что и

В р - ^

,

следовательно,

тА

= - I t •

В монографии £ l 6 ]

(стр. 484-486)

приведены, другие прило-