Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

2.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

- *0 -

где 1 ^

HFjo

~ вполне непрерывные

операторы.

Умножая первое из полученных равенств справа на

\ \ п

второе

слева

на

• и вычитая

из

первого

соотношения

вто

рое, получим

R n i - T j R n - R ^ - ^ T ^ O .

Отсюда

заключаем,

что

R n -

Р д =

~rJ{

R n

R^l

ь .

Операторы

R n

l E V " *

Е|)

$ Л

I*,

( E < f

E-i]

вполне непрерывные как композиции вполне непрерывных и ограни

ченных,

следовательно,

R N

^RJI+Tt,

, где

Т з

вполне

непрерывный

оператор. Поэтому R N

будет

также

левым

регуляриза-

тором,

правым

(ом. замечание

на стр. 39).

Заметим еще,

что из условий теоремы вытекает, что В

оператор

Нетера

(См.теорему 2 . 7) .

Следствие. Любой регуляриэатор оператора Нетера - также

оператор

Нетера.

В самом

деле,

если

R. -

левый

(правый)

регуляриэатор

нетеро-

ва оператора

то

также

будет

и правым (левым) регуля-

ризатором этого оператора, так как

по первой теореме Аткинсо-

'на заведомо

еоть

еще

правый

(левый) регуляриэатор. Отсюда

получаем

BR = i + Т г . . т . » j s , - \

- 41 -

где Т< и Т1 - вполне непрерывные операторы. Отсюда видно, что Е» ! можно рассматривать как левый и правый регуляризатор

оператора R.	. Существование левого и правого		регуляриэатора
у оператора	R. обеспечивает по	второй теореме	Аткиноона его
нетеровость.
Теорема	2.8. Если оператор	В (г { E f * Eg.] допускает

левую регуляризацию, то он нормально разрешим.

СЛ'.Михлин доказал эту теорему для линейных замкнутых операторов. Для ограниченных операторов В доказательство этой теоремы содержится в приведенном выше доказательстве достаточ

ности уоловий второй теоремы Аткиноона,				причем		это доказательст
во можно приспособить и к более общему				случаю		замкнутого опера
тора	(см. [15],	отр. 27-28).
	§ 9. Свойства операторов Нетера
	Теорема 1.9.	(Теорема Аткиноона о		композиции операторов
Нетера).
Если В ^ { Е . , - *		Е*,)	> A f c { E j C * y	-	операторы Нетера, то
оператор			также	оператор Нетера, причем
	Х М В ) = ' К 1 А ) + Х ( Ь ) ,
г л е	K C A ) - i « d A , X ( B ) = l r u l B , X t A B ) = L M A B .
Доказательство. Покажем			сначала, ч т о / \ В		- оператор Нетера.

По первой теореме Аткиноона (обозначения ясны из текста) имеем:

Ч А = 1 - К ; , M ^ h X Д В = 1 - З С ; & И г 1 - » . г

Тогда

-42

UJUB = UJJ -!R'(B) = U,B - ид' В=I -XrUД'В,

л в и д = А ( 1 - К : Ш , = л и , - л з С Ч = I м. •

Операторы						,	по свойству			компоаиции	огра
ниченных операторов, из которых один является конечномерный,
будут конечномерными, а тогда по первой теореме										Аткинсона	(доста
точность)	оператор			будет	оператором			Негера.
Определим теперь				К ( Л	&)	=	С* (А В )		-	^ ( А В ) .
Для подсчета (X(А			Ь )	обозначим		черев			.		базас
нулей оператора		J\	,	а базис	нулей		оператора		В	черев ^	^
. . . ^^^^у	•	Ив уравнения J\ ВХ-Ополучаем									'
				+			г д е	С к	"	некоторые	постоян

ные. Если С к таковы, что это уравнение разрешимо, то его решение

будет решением исходного уравнения. Следовательно, для отыскания

воех	решений уравнения	надо подобрать	постоянные
С к 1	а к » новь* уравнение	о(£А]
	В а с	I С к х к	( 9 > 1 )

К«4 оказалось раврешенным. Условия разрешимости уравнения (9.1) , если

принять ва дефектные функционалы оператора 13 элементы базиса ядра оператора |^) , имеют вид

4В -

и л и

7 _ Л | ( < С К = 0 , iljK = ^ j ( 2 C K ) .


Если	X =	t a u c j		llJ^j^ll t т о	динейно-невависиюсс реюннй у
системы (9.2)			Суде?	< Х ( А ) - Х	•. Отсюда
			В х - / _ _ с и Х к			,	(9.8)
где	dU.~	произвольные постоянные, Х к				- линейные	комбинация
элементов rjCK			, они, очевидно,		линейно-невавиоимые. Из (9.8)
получаем			сЧ(6)-1		сЦ(В)

где	Хц^ — решение	уравнения
- бавис	нулей оператора	3 , (2i< - проиввольвыо поотоянные.

Отсюда можно заключить,чтоС<СЛВ) —с ^ГА)"^С^(&)'"'^,есда!

будет показано,что			система	функций	\| ^ } к \| к	ц
линейно-независима.			Это легко док а вать( сравни			о рассужденянни
в книге [ В ] стр.		200-201) методом			от противного.		Пусть
и не все С Ц	^6*;		равны нулю. Если при этом			все	q . K	—	^
то получится,	что	линейно -		вависимыми будут		/ l j K ,		что	налов-

можно. Если же хотя бы одно из				cLK	отлично от		нуля,	напримерj
А у. ,	то неоднородное		уравнение	(9.3)	будет	иметь	своим	решением
нулевой элемент,		что также невозможно.
	Подсчитаем теперь j3 (А в )			= <Х [ ( А В)		J ^ рассмотрим урав-
нение		( Д В ) Ч = В " А Ч = о
		( Д В ) Ч = В " А Ч = о
н применим к нему		предыдущидрассуждения. Тогда получим
	А Ч		= )		,
причем постоянные		й к	следует	выбрать так,чтобы			это уравнение
было	разрешимо.
	Из теоремы Б I I		следует, что условие,			необходимое		и доста

точное для разрешимости полученного уравнения, состоит в выпол

нении равенств	f>(b)
или	В(В)

Эта система является транспонированной к системе (9.2), следова тельно, ранг ее матрицы также равен X :» повторяя предыдущие рассуждения, получим

у> ( д в ) = о ( ( А " ) + о < ( в * ) - г = 1 Р ( А ) ч - р ( в ) - г .

Отсюда следует, что

т < { А В = о< (А В) - £> В)= СА ) - (3 СА ) + с< ( 6 ) - J 4 B ) ,

I»*' Х(ДВ)""К(А) + >((В) , ".то и требовалось.

-45 -

Следствие. Педик* регуляризатора (левого и ираноит*); оасратора Нетера 3 обращен, по знаку индексу В

В самом деле, регуляризатор оператора Нетера саы являетсяоператором Нетера, поэтому к выражениям

применима только что доказанная теорема. Учитывая, что индекс

операторов Фредгольма I -t

Т ^

] - [ . ^

равен

нули,

получаем

требуемое.

Покажем,

что

свойство':

^-ССАВ)— >С (А)+"Ж-£1Ь)

нвляет-

ся

характерным для

индекса

в том смысле, что любой функционал,

обладающий этим свойством, при выполнении некоторых условий

лишь целым постоянным множителем отличается от индекса.

С этоа

целью рассмотрим

множество

операторов

Нетера В 6 {F1 ~>Ег|',

удовлетворяющее следующим

условиям:

а)

если

, Btfc W

то

B-i

В г

W )

б)

если

любой

вполне-непрерывный

оператор,

то

в)

существует

такой

оператор

что

LncL С

г)

если оператор

B & W

то

его

регуляриаатор

R ^

также

принадлежит

Теорема

г.Э.

Пусть

функционал

V ( B )

определенный

на

множестве

операторов W

удовлетворяет

следующим

условиям:

1 ° .

Значения

VI В )

целые

положительные

или

отрицатель

ные числа

или

ноль.

2 ° .

Функционал

V ( 6 )

непрерывен

на V\/ .

				-	46	-
8	. Если
4 .	Если			и мнеет		ограниченный обратный оператор
При этих			условиях имеет место				равенство V(&)=			рХ(В),
где X (В)		-	индекс	оператора 3			«	а р -	целое число.
Доказательство.				Докажем		сначала,		что функционал		У(В>)	не
меняется, если			к В	добавить вполне				непрерывный оператор			Г
Б самом	деле,				и по l°t		2° выражение		J4(X)	~
~ У (13 + ^ Т )			будет целоэиачной непрерывной функцией *\ „
Отсюда	следует» M(0)siV(B)xJM(<)aV(6+T)i								что и утвержда-
аооь.			J

Теперь докажем следующее свойство функционала V(&) : Бели
K(B)=Os		то и V ( B ) = 0				. Действительно,			если	Х ( & ) = 0 ,
то по теореме			Никольского		(ом. § * }
обратимый,		а *Т - вполне			непрерывный			операторы. Следовательно,

по 4° v ( t f + T ) * V ( V ) ~ V ( 6 b O .

	Переходим в докавательству					соотношения X f B O ^ p X C B )
Возьмем		произвольный		оператор		B^W . Пусть X (&)=:?];> О
Учитывая		равенства		ьпА С =i 4 t			, indL	- ~ \		,
1н.с1 Й.£ s*-Vt >				(	R £ £	- регуляризатор			оператора
С	)t вавлючаем,		что		( $ £	В) =0	. итсюдайз		доказанное
го	выше вытекает,		что		V { £ t ^ S ) = 0 , следовательно,					по ь° ,
				Для вычисления значения V					заметим,
что	RC C ~ I + T ^			\|. г д е Т ^ -		вполне	непрерывный		оператор.
Следовательно, V (ft t C) = Л К 1 + Т С ~ )							- V C D	=	О	, но

-47 -

так

как V ( R C C ) = V ( R C ) + V ( c )

, то

V ( R C ) = - V ( C ) .

Следовательно, V ( B )

РК(Ь)

где

p - V ( C )

, что

и требовалось. Если

же

^ С ( В ) = ' Н : ^ О

то

( С

П$)~0

и,

следователь»?» V I L-

и снова

V v - 7 / —

Теорема

доказана пол

ностью.

Теорема 3.9, Еоли любые два из трех

операторов А

В> »

А Р>£"{Е""УЕ') нетеровы,

то и третий оператор нетеров,

причем

Х ( А В ) = Х ( А ) + Х ( е О .

Доказательство. В случае,

когда Д

- операторы

Нетера, теорема доказана выше. Иуоть

операторы

Нетера. Обозначим черев

регуляриэатор

оператора

и" приме

ним

I X

к равенству

А В - С

слева, что приводит

соотношению

U C = U . A B = a + T ) B ,

р л }

в котором ТГ

вполне непрерывный

оператор, йа

(9.4)

заключаем,

что

оператор

представим

виде

& = И С - Т & .

Так

как U.C

оператор Нетера И ' Х ^

вполне

непрервшвй1

оператор,

то из

(9.5) следует,

что1 иг ?S

оператор

Йетера,

Воспользовавшись

второй

частью

тебреиы:

1,9',, из равенстваАВ - С

П О Л У Ч А 9 М

Ж С ) = Х ( А В ) - Х ( А Н К ( В ) .

Аналогичным

образом

доказывается теорема и в случае, когда

и С

оператора1 Htere^a?..

48
§ 10. Теоремы о возмущении	операторов	Нетера
Теорема 1,10. Пусть В -	оператор Нетера, аг Г		- вполне
непрерывный оператор, тогда в+т	также	оператор	Нетера,причем

Х ( В + Т ) = Х ( В ) .

Доказательство. Воспользуемся необходимостью условий первой теоремы Аткинсоаа и найдем такой линейный оператор \\ , , что

		,	тогда будут иметь место
соотношения	. , ,	.<	_,_

U(b+T)=,i + K,'+ i i T ;

(B+T)U = b f t 4 T U :

Так как			как композиции ограниченного						и вполне
непрерывного	операторов			являются		вполне	непрерывными, то
						будут	операторами		Фредгольма.
Следовательно,		по второй			Теореме	Дткинсона В + Т		-	оператор
Нетера.
Для определения Ж. ( В+Т)						заметим, что		CU В) =
= Х (1 + ? 0 = 0 -			С другой		стороны, X [ t l ( B + T ) ]				=
sXCl+i^+UT) - ^ й о					предыдущей теореме
X ( И В )		- Х С Ш		+ "К(60		,	* Х 1 Ш В + Т ) 3 =
= Х ( И )	+ К ( В + Т ) .
Следовательно,		X	(И ) + К (В) = О , X (V ) + X ( В + Т ) = О.
Отсюда получаем,			что	(В) rz3C(lB + Т ) . Смысл				доказанной

теоремы очевиден: возмущение нетеродаа оператора вполне непреры вным не выводит из класса нетеровых операторов и не меняет

- 49 -

индекса оператора.

Теоремы (2.У) и (1.10) очевидным образом обобщают иавь^и . , . факты теории сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

Теорема

2.10. Для

того,чтобы

' K ( B t C ) -

Х ( Б )

, где

В ^ { j l ^ E J j

- оператор

Нвтера,

Ct^E^—?

достаточ

но, чтобы были обратимыми операторами

I +

liC

и I

CtL

(например,

) ,

где

1Л

•• какой-либо

регуляризатор

оператора

В .

Доказательство. Имеем

+ Т

j B ' U - ^

где ^

ЧГ

вполне

непрерывные

операторы. Отсюда,

учитывая

обратимость

оператора

получаем

v1rr>'n

вполне

непрерывный

оператор.

Следовательно,

v-1

( 1 ол,

a + u c y % B + c ) = i + T v

Аналогично получаем соотношения

(в+ои = I +см +т"=t'Tti+cuTV I](I+CU)=

r ( l +ТЛ(А	^ T t - в п о л н е непрерывный оператор),
	(B+cyUCI + CW4 = t + T ^ . (Ю.2)

Из соотношений ( Ю Л ) и (10.2) и второй теоремы Аткинсона следует,что оператор В + С будет оператором Нетера. Из (10.?) получаем по теореме о композиции операторов Нетера соотношение

Х(В*СЛ + >с(1П I K[(t + C U r l ' l = > t (I + T Y l .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ