книги из ГПНТБ / Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие]

- so

-

где 2

е 1 E

~

^

~ мерное

подпроотранство.

8аметим,

что

любой функционал

£ £

Е

мокно

задать,

опре­

делив

его

на

каждом

из слагаемых прямой суммы (6.4),

в

частно­

сти,

функционалы

£

^1 п

п

обращаются

в

ноль

на

Jbr\ О

/^S

^

слагаемом

J-vr« &

j

H i следовательно,

мномеотво

J L O M B

в о в п а ~

дает

о пространством

функционалов

над

2 ,

» т - 8 '

0

пространством,

сопряженным с

2 ; .

Воспользовавшись тем,что размерность

конечно­

(еж. {Ч],

г л . 1 , § 6 ,

стр.

49),

приходим

к

равенствам

c L l m Q j ^ g

= c L m X = d i m Ъ .

( б ' 5 )

Из (6.5)

и (6.8)

вытекает

доказываемое

соотношение

§ 7.

Уоловия

принадлежности линейного оператора классу

операторов Нетера

Вернемся к рассмотрению операторов Нетера. Обобщением тео­

ремы Никольского является следующее утверждение,

содержащее

необходимое и достаточное условие принадлежности оператора

классу операторов

Нетера.

Теорема 1,7.

Первая теорема

Аткинсона.

Для

того,чтобы оператор

2>6

^ Е ^ ~ ^ E g J

^ ы л

оператором

Нете­

ра, необходимо и достаточно, чтобы

существовали:

а)

линейный

оператор

Е ( £• |

Е г , ^

E/t^ >

б)

конечномерные

операторы

£-

|

Е ^ - *

Е ^ и

K ^ j E ^ E t } т

а к и

е » q

T o

-

81 -

Доказательство. Необходимость. Покажем,что

если

В

-

оператор Нетера о

d - характеристикой (с?^ ji)

, то

имеют

есто представления

(7,1),

при

0

н

а

- к

>

где

Р

и

Q

соответственно

<^

и

& -

мерина.проекте-

ft

П

роа-сх

ры

вида (2,1)

и

(2,4), а

£*>

- сужение

р

на

t

•

г ( §

8)*

Действительно,

в о л и . Х ^ ' Е ^

,

то

U B x = & ' 4

В х * Ь"1

B ( P t 1- Р ) х Л 4

Ъ ( \ - №

- 0

-

№ ,

а

если ^

£

Е я,

«

5 0

B U i j * В И ( ( Ы :

Щ * В & 1

( 1 - Q ) i J - С I - Q V ^

В первой

отроке

В Р ^ О ,

& * * В Л

ва

элементах

из

Е * * * * .

Во

второй

отроке

, так как 1я чет С *

и

В

^

« I

на

элементах ^ I - Q ) l i ,

принадлежащих

пространству

Е

оо -

ft

'•

о

доказательстве

Г

. Достаточность будет докааана ниае при

второй теоремы

Аткиноона.

Теорема а . 7» Вторая теорема Аткиноона,-.

Для того,чтобы оператор

В

6 •( Е ^ " -

^ Ёа.^ ^ а л

н е * е Р ° в ы м »

необходимо и достаточно,

чтобы

существовали

линейные операторы

такие,

что' И В

. B I T -

нотеровы

операторы.

доказательство. Необходимость уодовий теоремы

вытекает

из

Докажем юс достаточность. С церва установим, что числа сЧ

и

0

у оператора

и

конечны. Раоомотрим

уравнение

Каждый

нуль оператора

D

являетоя

нулем

Тан как

CtLlnf^CA. 1iB

-

конечная величина, ибо И В

-

оператор

Нетера,

то конечной

будет

и величина

Учтем теперь, что BU" - оператор Нетера. Равложим простран­

ство Ев

в прямую сумму.'

Е», = ЕГ~ ? С М Г ) +

Е / (

где

- равмернооть

коядра

нетерова

оператора

Имеют меото

вложения!

Поэтому

справедливо

неравенство

A i m

E ^ W B U

>

,

i . e . |>(В) 4

|»

(BU)

кИтак^

ortepatop

Имеет

конечную

О.» жарай8ерио*Ику»

Оотается

поКавать,

Чтб множество

Jrrt

В

вначенйй

Оператора

D

замкнуто»

0 этой

целью представим

прост-

ранйтво

E"i

в виде

прямой оуммы

. . j |

я

пище

-1

подпростран

'

=

-

В

и

Г 7

<ств

£ f

Ь . 1

докажем «начала, чяю выполняется

неравенство 4)

I x l ^ ^ ^ s t l i e a c i ] ^

>

а с с Е Г " *

(7.2)

и* которого ватем выведем вайкнутооть

образа оператора

В

•

'Воли указанное

неравенство

Не выполняется,

то найдется

такая пос­

ледовательность

{Tnji

х и

| |

^ o d ^ t E ^

.

что

| В э С ! к

| H K L

Действ иадвлшо,

для каждого

fu

в этом

случае

Ч

{-дао- *

II g r t j

вайдетои

такое

Х н . ^

С ij

•

что

~ |

|"

*

Можно о читать,

что

Ц SCtiil ~

^

' И - ' ^ Й , , . . .

Ё самом

деле,

llXnl!

.л

J

•

"

Г Ц к

следовательно*

.V ^

• <

*

и

где

Х ц -

" j j ^ j

l

• п Р и Ш 4

'НЭСкй

=

А"

. Учтем

теперь,

что

операторуЦВ

"8* нбтероед-

дахвечае*

Такой

оператор

V\/

i что

-

конечномерный»

а

вйачйт, й Вполне непрерывный.

Так на*

последьмтельйо.ть

{ Г п

|

о т ч а л а ,

то

*аная

ее

под^ооледовательНоЬтв (впять

наеовем

ее

Jj

что^Ц

сходится

к

некоторому

е л в й е й т у ^ ^ .

Таи най W ^ B ^ - H ^ O ,

той»

О

Оценки

вида

(7.2)

называются

априорными» они йовволяю*

заранее,

не решая уравнения, оценить норму решения (величина

известна, так как

Й З С ^ ^

-

известный элемент).

В =

Е .

^ , т.е. на одном ив слагаемых прямой суммы, в

которую разлагается пространство E t ;

Ниже будет

показано,что

значения

f

на элементах подпроотран-

отва

можно задавать произвольно. Возьмем далее

V ^ f c E j ,

и

положим i j =

H I

_

. Т о г д а

_ j _ y ~ ^ (^^(.^Ьц^

.Первое

слагаемое

в атом

равенстве опре­

д е л и в ,

так как

(I-Q)^^-"3MB

,

а

именно

^

Q ) ^ ] ~

- C j ( x )

,

где ОС -

решение

уравнения

В

х "

( l

- Q ) ^ j

. » . . , . = „ »

х . а + ^ о с ; . '

Вдесь {Хк} -бавио ядра оператора , & j X as ^

[(1~0)^]

(определение

оператора

D

ом. в § 8) . Таким

обравом,

рвши-

ние уравнения

В

\ £

^

имеет

в и д *

Дяя непрерывности

функционала

f ^ )

необходимо

и доста­

точно,

чтобы

С| ( 0 С к ) - О ^ K i l ^ j ' . * , ^

.В саном

деле* лишь

при выполнении этого условий

f-C^j)—* О

при f l j j {

<0 :

Отсюда

заключаем,что

Далее имеем

Л

-

86

-

fui. как

— О

, то функционал

f-

, определенный

формулой (7.3), будет

решением

уравнения

B*f-

— Q

при произ­

вольных вначенияк

-f

.

Следовательно,

Таким образом,

p(BW(BV-Vf(E»t

что

и требовалось

докавать.

При доказательстве

второй

теоремы

Лткинсона мы воспользо­

вались тем фактом,что

оценка (7,2) позволяет сделать вывод о.

замкнутости

образа оператора

В .

можно доказать более сильное утверждение.

Теорема

3,7.

Пусть

где

j ^ ^ E ) " *

Ei}

~ некоторый вполне непрерывный оператор.

Тогда ядро оператора В конечномерно,

а его образ

замкнут.

Доказательство. 1,

Покажем,что иа любой последовательности

решений

однородного

уравнения

В х = - 0

моаяо выделить

сходящуюся

подпоследователь

ность. Это будет

означать, что единичный шар в

подпространстве

компактен,

Ччо можбт

быть лишь в случае,

когда

-

конечномерно ( Б Ж ) . Указанный свойством

обладает подпоследо­

вательность

Х и

такая, Ч^то последовательность

,

w i ^

р

v.

к ;

имеет предел. В самом деле*

учитывая,что

D X n

~ О

, получим

из

условия

теоремы

Отсюда следует,что подпоследовательность

[ X ^

j

с ходящая-

ся,

что и трабовалосв»установить.

-

В7

-

Для доказательства замкнутости образа оператора (3

рас­

смотрим1 последовательность Ijn. t

Зт

5

t

имеющую предел

t j =; C-i m

' I j ^ . Для каждого

^ r

i

, найдем

такое

решение СС^

уравнения

В х = ^ и »

норма

которого минимальна. Такое

реше­

ние существует,

так как ядро оператора

В

конечномерно (см.,

например,

[18], стр. 27U-27I).

а, йокаяеац, w o пооледовательнооть

- {Хи ^

ограничена

в

. Предположим противное. Тогда существует такая подпосге-

довательнооть

(ОСи 1

. ч

т 0

^4 m 11 ^Си^ Й= 0

0

- Так как

F x

/

последовательность

i

*х ||Хц

II J 0 Г

Р а н

и ч е н н а

я » 1 0

M ° S H 0

построить

такую ее подпоследовательность,

что будет

существовать

предел р — |l»n1*t. i^4 »y1joCn |).^H

любых двух членов этой

последовательности

ЗС^

я Х+п^'

будет выполняться

неравенстяо

T f ^ i i i i 4

v m $ " w o e ) -

Ж # й ) - Ж ^ ) 1 | .

Так как последовательность

ограниченная,

то из (7.4)

следует,что последовательность

Л^Н^йЛи*"*

щфувдаиенталь-

на в

и имеет

предел

ОС

• Ив равенства

j

- ^

Jb^Tj

— ii- - ~

заключаем,

что В ОС: - О

. Переходя

в

(7.4) к п р е | ^ при " п '

П1— -^схэ и учитывая, что fjivn

.

t r _!L-д- ^ Q ,

получим

- - V 4 '

/

11 J L - ' V

Значит, оущеотвует таков число

f%

, что

b't

Так как последовательность "|Хм.^

ограниченная, то,

разрежая,

если нужно,

эту последовательность,

можно добиться

сходимости

последовательности

г

(избегая

усложнения

записи,

мы не вводим

новых обозначений для элементов разреженной

последовательнооти 3

)* Из С ^ )

получим для произвольных

1 ^ ~ Х п ^ № > к Г > к 4 +

Ш

х

П к Г

Х П

к

. ) (I. (7.6)

Учитывая сходимость последовательнооти

{ Ц и } и э

('/«б),

заключаем,

что последовательность

{ Х ц ^

фундаментальная.

В оилу

полнота пространства

E,j

отоюда следует,

что существу­

ет

Eitn X y j ^XtF,, ..

Следовательно,

в равенстве

, = В^Суг

,

можно переходить к предозцу при

—=>оо . Сделав этот предель­

ный переход, получаем равеш-вво 4$=В^С .Таким

образом, элемент

'tj

, определенный как предав пооледовательности

элементов

,

принадлежащих образу

опервтярнз

,

сам "принадлежит образу опера­

тора В

• Отоюда вытекает,что

Эт-Е>

-

замкнутое

множество.

Теорема

доказана.

Пусть

В £ {Е4

- >

. Ограниченный оператор

где

Т!| £

{ Е ^ ^ Е ^ -

вполне

непрерывный оператор,

называется

левый

регуляризатором

оператора

, Аналогично

вводитоя поня­

тие о

правом

регуляризаторе,

т . е . таком-ограниченном операторе

R n t { F t - * F , ) . « «

В R „ = I + % ,

Ц -

вполне

непрерывный оператор»

очевидно,

имеет

не более конечного Числа нулей. В самом деле,

вое

нули

иоаодного

оператора будут нулями

рзууляриаованного,

т . е .

|свд. В

С

Re/tRflB.

Отсида вытекает, что

c U i t e t B *

W R j , B < « 3 ^ т а к

к а к

g ^ g

_ о п е р а _

тор

Фредгольма,

раамернооть ядра которого, как известна,

конечна.

Замечание

2.

Если

RJI tJEjf*"*

^ " j - л е в ы й регулярцзатор

оператора

В

и оператор Т

£ \ E j f * E ^ -

вполне

непрерывный,

s o R ^ + T

также будет левым регуляризатором оператора ЕЗ . Аналогичное

утзервдение

справедливо и для правого

регуллриватора.

Теорема

1.6.

Если у ограниченного

оператора

6»<г { Е

^ Е%\

есть

левый рзгуляризатор

Й л ^ ^ Е ^

Е.*^

и

правый

регуляриза-

тор

R n

£ { Е г

- > Е < ] .

« К

j) будет такие

правым

регуляриза­

тором оператора

В> , а

-

его левый регуляризатором.

Доказательство.

По определению

регулприэаторов

имеем

равенства