книги из ГПНТБ / Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие]

-

10 -

определен, если хотя

бы одно

иэ чиоел pi

и р

конечное,

В дальнейшей ни иногда

будем писать

вместо ^ , о ( и

jb соответственноЪС(В)

. о < ( 6 ) и ^>(В)

Для того,

Нормально

разрешимый оператор

Б б - ^ Е ^

Ец,]"

i У ко­

торого оба дефектные числа конечны, называется

оператором

Нетера или ф -оператором.

Воли

о(

конечно,

^ = оо

,

то соответствующий оператор

назаваетоя

ф+

-оператором. В этом олучае в

прострадйхве __ ^ (В)

существует

о (

-

мерный

базио X , , ,

Если о( =00,

р - конечно,

то оператор

называется

Ф , -

оператором. В этом

олучае

в пространстве

}i

( В ) с у щ е с т ­

вует

|Ь - мерный

бааио

£4

,

£ l

r

. » v

£ a

•

Для

нетерова

оператора

В

общее

решение

однородного

уравнения

будет

ОС

— у ~ С к ~ С К

(

С к

~ произвольные

постоянные),

а уоловия

разрешимости

неоднородного

Р )Х=^| имеют вид

Если 0 ( = JS>>, то

оператор называется

квазифредгольмовым.

Частным случаем

квазифредгольмовых

операторов

являются

опера-

l )

Если сх^= 00

, ^ < о о (oi<aot

р

-

о о )

,

то говорят,

что

индекс

положительный

(отрицательный)

и бесконечный.

-

i t

-

торы

Фредгодъыа,

т , е .

операторы

вида

.В =

1 + Т ,

где

Т

- вполне

непрерывный

оператор, а I

-

единичный

опе­

ратор. Простым примером оператора фредгольма

является

интеграль­

ный

оператор

о непрерывным

ядром

Л

B x ^ x t i x

,

T x

= )

3 i ( s , t ) x ( t ) < i t .

Ои

Как известноt

он

действует

иа

пространства непрерывных

иа отрез­

ке

Функций

,

причем

является

вполне

непрерывным операюроы.

Нааваиие "оператор Нетера" имеет оледующую Историю* Теория

сингулярных

ингегральных

уравнений

о

ядром

t t g

в п е Р ~

вые раврабатывалооь в трудах Ф.Нетера» боновные теоремы этой

теории

нооят

его

имя. Нормально

разрешимые операторы

о

конечной

d -

характеристикой

являются

естественным

обобщением

интег­

ральных операторов о ядром tfcx^

« поэтому эа ними и

укрепилось название оператора

Катера*

Теория сингулярных интегральных уравнений о ядром Коши

раавивалаоь

в

работах

Т.^арлемана»

П.И.Муохелишвияи.ИйН.йекуа,

ф.Д.Гахова, С.Г»Ыихлина,Б»В»Хведвлмдзв, Н»П.Векуа к их

учеников.

Иоторичеокиа

обаор по

озону поводу

и

библиографию

мокше

найти

в монографиях

Н.й.Иуохелишвили

[16]

и Ф.Д.Гахова

t e l .

ном, И.ц.Гохбаргом и М.Г.Нрейном, T.Keso и другими

авторами.

Подробную библиографию можно найти * отагьв \ 5 } и

M i H f a x \ ь \

t 7 l , [ i i l , l l 2 l . ( l 6 b

-

I S

-

Следовательно, { ^ ' j

-

замкнутое

линейное многообразие, т . е .

подпространство

пространства

. Обозначим

это подпростракст-

ЕСО-сЧ

и

(2.3) следует,

к

г- а.

л

. Из (2.1)

что элементы ОС

6 С,

аннулируютоя такие

и функционалами ^ :

:

Представление

(2.2) единственно, так как равенство

Х ' + Х = Овозможно лишь при

Х ' = Х " = 0

• В самом

деле,

так

как

X.'(г

» т о

существуют единственным образов

опре­

деленные

постоянные

c L K

t такие,

З С ' —

Х \

,

Следовательно, X!'--\_(Х*Х^

т

Ум ©ш№

£

( X

) =

0

получаем:

C t K i =

О

» т - е -

X - О

• Фвтаэда

заключаем,

что

пространство

Е ,

разлагается

я яряшув сушву ло пространств

Аналогичное разбиение проведем в яртетраягагве

fct,. За основу

возьмем

систему

SL| , " X ^ i .

*2 р

эяеиввташ

«роотраяотва Е ^ >

биортогональных дефектным 'Здвшфгоиалая

£ ^

* * - -

»

т .е.

таких,

что

£ ^

(2-L ) =

b i t j

(

Ь

\

) .

Введем

в Е ^ , проектор Q t | не

^

~ мерное

подпространство

Е ^

, базисом ко то рого

служат элементы

9 ^ ,

К=-1. R,

положив

р

( 2 . . )

Произвольный элемент t j ^

можно

единственным

обрезом

1м>"лртавить

ввиде

Ц -

Q t j

- j . [ l j -

Q t j J - c t j

+ t j " ,

где

-

и

^

- Q ^

.

1 J = ( l - Q ) ^ | .

Множество

{^f}

обозначим

E«f°

Р.

Очевидно. Q - y - Q .

Следовательно,

~Р

как

ядро

ограни­

ченного

оператора

Q

будет

подпространством

пространстваЕ^.

В силу линейной Неаивиоиыооти элементов

"}h

иэ

(2.4)

вытекЯет,

что

£\(tj") —О

Для

воех ^=4,Я,,*.^« Таким

образом,

подпрост­

ранстве

Е ^ ~ ?

состоит

иэ

тех

элементов

L j

"

^

^

, для

которых

разрешимо

уравнение

и Х ^ ' Ч

. Следовательно ,

прортранот-

во

С*

'

-

это область значений или обрав

Jin

D

ОПера-

тора 2>

* Ясно, что

при

^ = 0

пространство

)

совпадает

со

воем

проотранотвоы

£

^ .

Так

яе,

как

й в

олуЧае

пространства

Ец

V

имеем

представле­

ние

пространства

Е ^

в виде

прямой

оуыыы »

§ а.

Сужение

нэтерова

оператора

D

на

ц

£али о ( Е & г О

» 50

уравнение

Эх

~ 'М

имеет

единотвен-

иое

решение

X ~ D

"Ч

» Г Д 0

Q

~

обратный

к D

,

ограничен-

янй ио теореме Банах* (Б Ж ) оператор.

Что

будет в

случае

Ы + ^у

О

? Тогда

уравнение

В х = ^

или неразрешимо, или у него решение не единственное, т . е .

обрат­

ного оператора на

воем

здесь

не

будет. Обозначим

через

В

сужений

оператора

В

«а

Е ^

^

Оператор

%

устанавливает

4

• и

Ь

^

1

взаимно

однозначное

" начальные буквы французского слова

lm.txQG

образ,

-

образ

D

•

и

С °°~

ы

соответствие»

В самой

деле»

каидоыу

DC

6

отвечав-!

один элемент

,

принадлеаащий

L ^

в

силу

того, что

уравнение

Вх

-

В^С."

разрешимо (оно имеет решение

Э ^ = З С " ) .

Наобороть

уравнение

разрешимо п р и ' 1 4 ^ Ел

в

Eoo^et

его

решение

"

v

двух

*• } .

,

единственно, ибо разность

различных

д

долине

одновременно

принадлежать

и

Ь

Г *

-

л L.^

, 4SO

Невозможно,

еоли эта

разность не

нуль*

По теоре-

ЕсхЭ- ь<

/|

оператора

D

.

Гавумейтоя, в

Е<

решение уравнения

8 л г = Ч

при tj £

t

^

)

» с Ч > О б у д в *

не

единственным»

X

-

fe

1 ( Ц

+/~Ск

Х к

*

С *

- произвольные

3

постоянный)

§ 4 . Лемма

Шмидта и теорема

Никольского

Прежде

чем приступить

в формулировке

и докввательотву

одного

вующего однородного

уравнения)»

. Итак, пусть для

уравнения

B x B « t ) + 5 K ( t , 5 W ( « A S = f i t )

C . i )

содержащее неопределенные пока функции

Ц ц Ш * 1 ^ « ( ^ ) •

которые

поябераы так,чтобы для уравнения (4.8)

имел меото

Первый

случаи

альтернативы»

Запишем однородное уравнение, соответствующее уравнение

(4.В), в

с * у

. . . f < * — :

.

• 4)

Исаи

X(t1 ** квЦвев виво

ненулевое

решение

уравнения

С*Л),

то

должно

йЫйолннтьвя уславИе

ортогональнйсти

его правой

части

у Можно Питать.)

что

- оу.-Мйруеная функция в

квадрата О.

и J C ( i } - суммируемые

с

квадратом функции Нв отрезке |4t

j

, или же считать,

ч ю

функции

^(ej^jfrt^^tCt) непрерывны. В каядом из

этих

случаев справедлива теорема ифедголъиа.

функциям

"^j('t)

ч образующим бааио

решений

однородного уравне­

ния, сопряженного с уравнением (4*2). Ьапишем это условие в

виде

3

fell

*

J ci

(4.5)

Выберем функции

(^Д-Ь) тай, чтобы

выполнялись равенства

При таком

выборе

функций L

( t l

иа (4.5)

получим

'К

ft'

=:)

С |

X j C b )

. где Х | ( " Ь )

-

баэйс решений

уравнения

(4 . ^),

С |

-

некоторые поотояннывь

Подставляя

полученное

ШракеНйв Для

fat) в

(4.б),будем

иметь

Ксли

теперь

выбрать функций

с^С^)

таи,

чтобы

то из предыдущего равенства1

Зуди* вытекать,что Ci-Ot

j - ^ V " ^

а это

означает,что и Х((г)

-

О .

Итак,для того,Чтобы уравнение

(4.4)

не имело других реше­

ний,кроме

нулевого,функции

и Z^Ct)

должны быть

-

18 -

биортогональньдаи

функциям

QCj(t)n

^ ( t )

соответственно. Еоли

3 ^ ( £ ) и %i(.fc) !®ат ортонррмированы,

то

проще всего

веять

Вспомогательное

уравнение

(4.3)^при

этом

примет вид

Х Ю +\}(Ct ) 5)XCS)l5

^ { t ) ^ № ) X K ( 5 ) i s

4Щ

Тк>

KM

<x-

при некотог-

Залетим далее, что еоли иоходное уравнение (4.1)

рой правой части

$-[Ъ)

разрешимо, т . е . выполнены

условия

,

принадлежа обраэу

оператора

XC ' t)

"Ь^ •R('fc) 5)X(S)ol5»

ортогонально

функциям

TijCfc) . Отсюда, в силу ортонормированнооти системы функций

"Х-к^-^'

^^^j^)

ц*

и равенств

(4.У)

вытекает,

что

Ив этого равенства чЗгедует-, что уравнение

(4.8)

совпадает

с

(4 . 1), что и утверждалось.

Сейчас мы сформулируем

соответствующий результат

для

общих

ную выше.

. > '

«

Демна Шмидта. Пусть

& (: ^ E ^ E J 1

квазифредгольмов

оператор и

к

(определение элементов

2 , к

£

и

функционалов | К

^ Е ^

см.

в § 2) ,

тогда:

^

4. Оператор <и имеет ограниченный обратный: уравнение

{^>ЭС — ^ единственным

образом

разрешимо в f~"/j при любом "jj из

2.

Если t j £

Е ^

• т о

решение

уравнения D X * - ^ cogna^-

дает с

решением уравнения

B^C^^j

в подпространстве

.

5.

Е о л и - и ^ Е ^ , зо решение

уравненияВх=^ оовпадае!

решением уравнения R.0C-1J

в

подпространстве

^ •

Доказательство. Запишем

уравнение

В Э С = ; 1

в виде

сиоте-

й

к« <

'

(4.8)

ра

В

на

Е,)

• Обозначим

через

R сужение оператора

R

на

. т ° г д а

f

л

о о - Ж

Л о т

- J

&

Х

ПРИ 0 С £

Е ,

ft ас

ПРИ х

t

£ J

^Этал

формула дает

выражение оператора оq

в

вида Прямой суммы

& 4- К

операторов 6

и R

,

определенных

на слагаемых

Е 1

,

прямой

суммы t

— t <

4- Г 1и действующих соответст-

1

из

|~С0-<Ч

Г * ° - « <

Г *

СГ°'

венно

£

в

Ь

и и

з

L ^ в

С ^